2023-2024学年河南省许昌高级中学许济洛平高三上学期第二次质量检测数学含答案

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1. A 2. B 3. D 4. A 5. C 6. B 7. D 8. C
二、选择题
9. ACD 10. ABD 11. BD 12. AD
三、填空题
13. 1 14. 154 15.1613 16. (-2,0)U(2,3)
四、解答题
17. 解:(1)在△ABC中, 因为 bsinA+csA=3−1acsB+c,
由正弦定理可得： sinBsinA+csA=3−1sinAcsB+sinC,
所以 sinBsinA+csA=3−1sinAcsB+sinA+B,
所以： sinAsinB+sinBcsA=3−1sinAcsB+sinAcsB+csAsinB,
整理得 sinAsinB=3sinAcsB,, 又A∈(0,π), 所以sinA>0,
所以 sinB=3csB,得 tanB=3,……………………………………………4分
因为B∈(0,π),所以. B=π3.…………………………………………………………5分
(2)由(1)知, B=π3,又 a=1,b=3,
在△ABC中， 由余弦定理. b²=a²+c²−2accsB,得 3=1+c2−2×1×c×12,
所以 c²−c−2=0,则c=2,或c=-1(舍), ………………………………8分
所以△ABC的面积 S=12acsinB=12×1×2×32=32. ……………………10分
18. 解:(1)若选①, 因为数列{an}中, an+12=anan+2, 所以数列{an}为等比数列.
设{an}的公比为q, 则q>0, 由题意得 2a₃+2=2a₂+a₄,
又 a₁=1, 可得 2q²+2=2q+q³, 即 q³−2q²+2q−4=0,
则有 q³+2q−2q²−4=qq²+2−2q²+2=q²+2q−2=0,
因为 q²+2>0, 解得q=2, 故 aₙ=2ⁿ⁻¹.…………………………………………2分
若选②，因为 Sn+1−2Sn=1n∈N∗,所以 Sn+2−2Sn+1=Sn+1−2Sn=1n∈N∗,
所以 Sn+2−Sn+1=2Sn+1−Snn∈N∗, 即 an+2=2an+1n∈N∗;
当n=1时, 有 S₂−2S₁=1, 即 a₂−a₁=1, 且 a₁=1, 则 a₂=2a₁.
所以数列{an}是首项 a₁=1,公比q=2的等比数列， 所以 aₙ=2ⁿ⁻¹. ……………4分
若选③， 由 Sₙ₊₁+1aₙ=Sₙ+1aₙ₊₁, 得 Sn+1+1an+1=Sn+1an,
所以 Sn+1an=S1+1a1=a1+1a1=2, 所以 Sₙ=2aₙ−1.
当n≥2时, Sₙ₋₁=2aₙ₋₁−1,
所以 aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁=2aₙ−1−2aₙ₋₁−1=2aₙ−2aₙ₋₁, 所以 aₙ=2aₙ₋₁,
所以， 数列{ aₙ}是以首项 a₁=1,公比q=2的等比数列， 所以 aₙ=2ⁿ⁻¹.…………6分
(2)由(1)可知: 数列{bₙ}满足 bn=nan=n2n−1,
数列{bₙ}的前 n项和 Tn=1+22+322+⋯+n2n−1①
则 12Tn=12+222+⋯+n−12n−1+n2n②
-②可得: 12Tn=1+12+122+⋯+12n−1−n2n=1−12n1−12−n2n=2−n+22n,
所以 Tn=4−n+22n−1, ……………………………………………8分
不等式 csnπλ