2023-2024学年山东省潍坊市现代中学高三上学期12月普通高中学科素养能力测评数学word版含答案

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注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
2. 已知是虚数单位，若非零复数满足，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
3. 已知函数，下列函数是奇函数的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
4. 在中，，点为的中点，设，，则（）
A.B. C. D.
【答案】A
5. 已知为坐标原点，点在轴正半轴上，点在第一象限，且，，点在第四象限，且，，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
6. 已知直线：和曲线：有公共点，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】C
7. 已知奇函数在上可导，其导函数为，且恒成立，则（）
A. 1B. C. 0D.
【答案】B
8. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”．若把该数列的每一项除以所得的余数按相对应的顺序组成新数列，则数列的前项和是（）
A. B. C. D.
【答案】C
二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则（）
A. 的最小值为
B. 的图象关于点对称
C. 直线是图象的一条对称轴
D. 在区间上单调递减
【答案】ACD
10. 已知等差数列的前项和为，正项等比数列的前项积为，则（）
A. 数列是等差数列B. 数列是等比数列
C. 数列是等差数列D. 数列是等比数列
【答案】ABD
11. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，右顶点为，过的直线交双曲线的右支于，两点（其中点在第一象限内），设，分别为，的内心，则（）
A. 点的横坐标为2
B. 当时，
C. 当时，内切圆的半径为
D.
【答案】BCD
12. 如图所示的六面体中，，，两两垂直，连线经过三角形的重心，且，则（）
A. 若，则平面
B. 若，则平面
C. 若五点均在同一球面上，则
D. 若点恰为三棱锥外接球的球心，则
【答案】BD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13. 已知，为单位向量，，则________．
【答案】
14. 已知函数，若方程在区间上有且仅有两个实数解，则实数的取值范围为________．
【答案】
15. 正三棱台中，，，点，分别为棱，的中点，若过点，，作截面，则截面与上底面的交线长为________．
【答案】
16. 在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，过上一点（异于原点）作的切线，与轴交于点．若，，则________．
【答案】1
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知中，角，，的对边分别为，，，．
（1）求角；
（2）若为边上一点，且满足，，证明：为直角三角形．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式化简已知等式，可得，再利用二倍角公式即可得到的值，即可求得答案；
（2）根据得出，设，表示出相关各角，在利用正弦定理即可求得，即可证明结论.
【小问1详解】
在中，由正弦定理得，
所以，即，
因为，所以，
又因为，，，，
所以，所以；
【小问2详解】
证明：因为，所以，
设，在中，，则．
可得，，
在中，由正弦定理得，，
又因为，所以，
则，
化简得，因为，即，则．
所以是直角三角形．
18. 已知数列的前项和为，且满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）应用与的关系即可求解；（2）应用分组求和及等比数列求和公式即可求解.
【小问1详解】
因为，
时，,
两式相减得，
，，，，
相乘得，所以，
当时符合上式，
所以；
【小问2详解】
，
当为奇数时，
.
19. 某地区未成年男性的身高（单位：cm）与体重平均值（单位：kg）的关系如下表1：
表1 未成年男性的身高与体重平均值
直观分析数据的变化规律，可选择指数函数模型、二次函数模型、幂函数模型近似地描述未成年男性的身高与体重平均值之间的关系．为使函数拟合度更好，引入拟合函数和实际数据之间的误差平方和、拟合优度判断系数（如表2）．误差平方和越小、拟合优度判断系数越接近1，拟合度越高．
表2 拟合函数对比
（1）问哪种模型是最优模型？并说明理由；
（2）若根据生物学知识，人体细胞是人体结构和生理功能的基本单位，是生长发育的基础．假设身高与骨细胞数量成正比，比例系数为；体重与肌肉细胞数量成正比，比例系数为．记时刻的未成年时期骨细胞数量，其中和分别表示人体出生时骨细胞数量和增长率，记时刻的未成年时期肌肉细胞数量，其中和分别表示人体出生时肌肉细胞数量和增长率．求体重关于身高的函数模型；
（3）在（2）的条件下，若，．当刚出生的婴儿身高为50cm时，与（1）的模型相比较，哪种模型跟实际情况更符合，试说明理由．
注：，；婴儿体重符合实际，婴儿体重较符合实际，婴儿体重不符合实际．
【答案】（1）指数函数模型是最优模型；理由见解析
（2）
（3）（2）中幂函数模型更适合，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由表中数据比较指数函数模型误差平方和以及的大小，即得结论；
（2）根据身高与骨细胞数量以及体重与肌肉细胞数量的关系，结合已知数据，即可求得答案；
（3）分别计算出两种模型函数下的婴儿体重，比较大小，即得结论.
【小问1详解】
因为，所以指数函数模型误差平方和最小，
因为，所以指数函数模型最大，
所以指数函数模型是最优模型；
【小问2详解】
因为，所以，
因为，
所以，所以，
所以体重关于身高的函数模型为；
【小问3详解】
把代入，得不符合实际，
把，代入得，
把代入，得符合实际，
所以（2）中幂函数模型更适合.
20. 如图，三棱锥的平面展开图中，，，，，为的中点．
（1）在三棱锥中，证明：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）构造线面垂直再证线线垂直即可；
（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算面面角即可.
【小问1详解】
由，得，且为的中点，
所以，
取中点为，连接，，
可得，
在中，，
在中，，
所以，
所以
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以；
【小问2详解】
如图，过点作，交于点，
以，，分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系．
则，，，，
在中，可得点到距离为，
故可得，
，，
设平面与平面的一个法向量分别为，，
平面与平面的夹角为，
由,取，
所以，
由,取，
所以，
所以
所以两平面的夹角的余弦值为.
21. 已知函数，．
（1）若函数图象上存在关于原点对称的两点，求的取值范围；
（2）当时，恒成立，求正实数的最大值．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）问题可转化有解，得到，构造函数，求导讨论单调性，利用数形结合，找到与曲线在的有交点时的范围；
（2）恒成立问题，把不等式变形成，设，构造函数，转化成零点的问题，再利用单调性求解.
【小问1详解】
要使函数图象上存在关于原点对称的两点，
则有解，
则，
即，
令，则，
设
得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，，
所以；
【小问2详解】
由题意知，
则，
则，，
设，则，
即，
设，
，且，
当，即时，
易知方程有一根大于1，另一根小于1，
所以在上单调递增，故有不合题意，舍去，
当时，有，
所以，从而在上单调递减，
故当时，恒有符合题意，
所以正实数的取值范围为，因此的最大值为1．
【点睛】方法点睛：本题考查利用导数讨论方程根的个数问题.
问题一可转化有解，得到，构造函数，求导讨论单调性，利用数形结合，找到与曲线在的有交点时的范围；
问题二转化成恒成立问题，把不等式变形成，设，构造函数，转化成零点的问题，再利用单调性求解.
22. 如图，一张圆形纸片的圆心为点，是圆内的一个定点，是圆上任意一点，把纸片折叠使得点与重合，折痕与直线相交于点，当点在圆上运动时，得到点的轨迹，记为曲线．建立适当坐标系，点，纸片圆方程为，点在上．
（1）求的方程；
（2）不过点的直线交于，两点，且，求的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用椭圆定义判断动点轨迹为椭圆，结合题意，求出椭圆中的参数的值，即可得椭圆方程；
（2）设直线方程，联立椭圆方程，可得根与系数关系式，结合，利用数量积的坐标运算得出m的值，推出直线过定点，进而表示出的表达式，利用换元，结合函数的单调性，即可求得答案.
【小问1详解】
由对称性可知，所以，
由椭圆定义可知，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
由题意可知建立适当坐标系，点，纸片圆方程为，点在上．
即以EF的中点为原点，EF所在直线为x轴，EF的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，
则椭圆中，得，
又因为点在椭圆上，所以，则，
所以椭圆方程为；
【小问2详解】
由题意可知直线的斜率一定存在，不妨设直线的方程为，且，，
由，得，需满足，
所以，
又因，且，，
所以
，
将以及的表达式代入上式可得，
整理得，
解得或，
又因为不过点的直线交该曲线于，，所以不合题意，舍去，
所以，满足，所以直线的方程为，
所以直线过定点，
所以在中，
，
令，则且，
所以，
函数在上是增函数，所以当时，有最小值，
所以当，即时，有最大值．
【点睛】难点点睛：本题考查了椭圆的方程的求法以及直线和椭圆位置关系中直线过定点问题以及最值问题，解答的难点在于计算过程复杂，计算量大，特别是联立方程，结合根与系数的关系式求解的表达式，都是关于字母参数的运算，要特别细心.身高/cm
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
体重平均值/kg
函数模型
函数解析式
误差平方和
指数函数
二次函数
幂函数