2024届陕西省西安市长安区第一中学高三上学期第五次教学质量检测数学（理）试题含答案

这是一份2024届陕西省西安市长安区第一中学高三上学期第五次教学质量检测数学（理）试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用指数函数的性质可化简集合，根据对数函数性质得集合，然后计算交集．
【详解】由已知，，
∴．
故选：C．
2．已知，其中为的共轭复数，则复数在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】结合复数运算法则求的代数形式，由此可求复数，再求其在复平面上的对应点的坐标及其象限.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以复数在复平面上的对应点的坐标为，
该点位于第一象限.
故选：A.
3．已知a，b>1且a≠b，下列各式中最大的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件结合基本不等式、不等式性质及作差法比较作答.
【详解】因为a，b>1，a≠b，由基本不等式得：，由不等式性质得：，
又，
所以.
故选：D
4．已知函数为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【分析】由于函数是奇函数，所以其定义域关于原点对称，可求出，再把代入函数中验证即可
【详解】解：函数的定义域为且
因为为奇函数，所以定义域关于原点对称，则，
所以，
因为，满足为奇函数，
故选：D.
5．若，，则 等于（ ）
A． B．3
C．D．
【答案】A
【分析】根据已知确定 ，从而求得，进而求得，根据诱导公式即求得答案.
【详解】因为，，
所以 ，则 ，
故，
故选：A
6．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如，，已知函数，则函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】变换得到，确定，计算得到答案.
【详解】，
，故，则，故，
即，故的值域为.
故选：D
7．如图所示的三棱锥中，，，，，且，，则其外接球体积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先证出平面，平面，将三棱锥放入一个以为长，宽，高的长方体中，则长方体的外接球就是三棱锥的外接球，根据求出长方体外接球半径的最小值，即可得出三棱锥外接球体积的最小值．
【详解】因为，，且，平面，平面，
所以平面，
又因为，，且，平面，平面，
所以平面，
所以可以将三棱锥放入一个长方体中，该长方体以为长，宽，高，如图所示，
则长方体的外接球就是三棱锥的外接球，
下面计算该长方体外接球半径的最小值；
因为，
所以，
所以，即，
所以，
所以该长方体外接球体积的最小值为：，
所以三棱锥的外接球体积的最小值为，
故选：A．
8．若，，， 则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先由对数的运算法则把转化成同底的对数，再构造函数，利用导数判断单调性，得出的真数的大小关系，最后利用的单调性判断的大小.
【详解】由对数的运算法则得，.
令函数，则，即函数在R上单调递减.
．
令函数，则，
令函数，则，
在上单调递减，且，
，所以在上单调递增，在单调递减.
又 在恒成立
，即在上单调递增 ，则 ．
当时，.
又在上单调递增，，．
故选：C
【点睛】利用导数判断函数值大小应注意的问题：
在构造函数时需要视具体情况而定，在判断导函数的正负时，尽量不要求二阶导数，而是把原导函数令为一个新函数，再求导判断正负来得到原导函数的单调性.
9．围绕民宿目的地进行吃住娱乐闭环消费已经成为疫情之后人们出游的新潮流．在用户出行旅游决策中，某机构调查了某地区1000户偏爱酒店的用户与1000户偏爱民宿的用户住宿决策依赖的出行旅游决策平台，得到如下统计图，则下列说法中不正确的是（ ）
A．偏爱民宿用户对小红书平台依赖度最高
B．在被调查的两种用户住宿决策中，小红书与携程旅行的占比总和相等
C．小红书在所有被调查用户住宿决策中的占比与携程旅行在所有被调查用户住宿决策中的占比不相等
D．在被调查的两种用户住宿决策中，同程旅行占比都比抖音的占比高
【答案】D
【分析】由酒店预订条形图和民宿预订扇形图逐一分析四个选项得答案．
【详解】解：由右图可知，偏爱民宿用户对小红书平台的选择占比为，
则偏爱民宿用户对小红书平台依赖度最高，故A正确；
在被调查的酒店用户住宿决策中，小红书与携程旅行的占比总和为，
在被调查的民宿用户住宿决策中，小红书与携程旅行的占比总和为，
则在被调查的两种用户住宿决策中，小红书与携程旅行的占比总和相等，故B正确；
小红书在所有被调查用户住宿决策中的占比为，
携程旅行的占比为，携程旅行的占比略高于小红书占比，故C正确；
在被调查的两种用户住宿决策中，同程旅行占比分别为和，
抖音的占比分别为和，则酒店预订方面同程旅行占比高，民宿预订方面抖音的占比高，故D错误．
故选：D．
10．已知命题；命题在中，若，则．则下列命题为真命题的是
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先判断命题是真命题还是假命题，然后求得的真假性，最后对选项逐一分析，得出正确结果.
【详解】根据对数的真数为正数可知，命题为假命题.当时，，故命题为假命题.所以都是真命题.故为假命题，故A选项错误.为假命题，故B选项错误. 为真命题，故C选项正确. 为假命题，故D选项错误.故选C.
【点睛】本小题主要考查命题真假性的判断，考查含有简单逻辑连接词命题真假性的判断，属于基础题.
11．已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线在轴上方的一个交点，若直线的斜率为，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】先根据相同的焦点解得，再联立方程组解得A点坐标，最后根据直线的斜率求离心率.
【详解】因为抛物线与双曲线有相同的焦点，所以,
由，得
解得，所以
不妨设,则,
因此，
，
或，
因为点在轴上方，所以
因此，选B.
【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查基本分析求解能力，属中档题.
12．已知函数f（x）＝﹣x3+1+a（x≤e，e是自然对数的底）与g（x）＝3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（ ）
A．[0，e3﹣4]B．[0，2]
C．[2，e3﹣4]D．[e3﹣4，+∞）
【答案】A
【分析】根据题意，可以将原问题转化为方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，构造函数g（x）＝x3﹣3lnx，利用导数分析g（x）的最大最小值，可得g（x）的值域，进而分析可得方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，必有1≤a+1≤e3﹣3，解可得a的取值范围，即可得答案．
【详解】解：根据题意，若函数f（x）＝﹣x3+1+a（x≤e，e是自然对数的底）与g（x）＝3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，
则方程﹣x3+1+a＝﹣3lnx在区间[，e]上有解，
﹣x3+1+a＝﹣3lnx⇔a+1＝x3﹣3lnx，即方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，
设函数g（x）＝x3﹣3lnx，其导数g′（x）＝3x2，
又由x∈[，e]，g′（x）＝0在x＝1有唯一的极值点，
分析可得：当x≤1时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，
当1≤x≤e时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，
故函数g（x）＝x3﹣3lnx有最小值g（1）＝1，
又由g（）3，g（e）＝e3﹣3；比较可得：g（）＜g（e），
故函数g（x）＝x3﹣3lnx有最大值g（e）＝e3﹣3，
故函数g（x）＝x3﹣3lnx在区间[，e]上的值域为[1，e3﹣3]；
若方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，
必有1≤a+1≤e3﹣3，则有0≤a≤e3﹣4，
即a的取值范围是[0，e3﹣4]；
故选：A．
【点睛】本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知存在关于x轴对称的点转化为方程a﹣x3＝﹣3lnx⇔﹣a＝3lnx﹣x3在上有解，属于难题．
二、填空题
13．在锐角三角形中角A、B、C的对边分别为a， b， c，记，若，则 .
【答案】4
【分析】根据余弦定理和数量积的坐标表示可得，然后对目标式切化弦，再利用正弦定理、余弦定理角化边可得.
【详解】因为，所以，
又因为，
所以，即.
所以
.
故答案为：4
14．在正四棱柱（底面为正方形且侧棱垂直于底面）中..是的中点.则异面直线与所成角的大小为 ．
【答案】
【分析】取的中点，得，所以就是异面直线与所成的角，
设，利用勾股定理得到、、，由余弦定理可得答案.
【详解】取的中点，连接，所以，
即四边形是平行四边形，所以，
所以就是异面直线与所成的角，
设，
所以，
，
由余弦定理得，
即，
所以异面直线与所成的角为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了异面直线所成的角，关键点是作出平行线找到异面直线所成的角解三角形可得答案，考查了学生的空间想象力和计算能力.
15．已知圆，，是圆上两点，点且，则最大值是 .
【答案】
【分析】根据题意作出图象，结合圆的性质及直角三角形中线的性质，可得，即可求出最大值.
【详解】如图所示，设是线段的中点，则，

因为，于是，
在中，，，，
由勾股定理得，，
整理得，
故的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
故，
又由圆的弦长公式可得
.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了圆的性质，圆的弦，弦心距，半径的关系，考查了数形结合的思想，属于中档题.
16．数列的前项为，若对任意正整数，有（其中为常数，且），则称数列是以为周期，以为周期公比的似周期性等比数列，已知似周期性等比数列的前4项为1，1，1，2，周期为4，周期公比为3，则数列前项的和等于 .（为正整数）
【答案】
【分析】将数列的每四项看成一个整体项形成新数列得到数列前项的和即的前项和，再计算，相加得到答案.
【详解】根据题意知：将数列的每四项看成一个整体项形成新数列
则数列为首项是公比为的等比数列.
数列前项的和即的前项和为：，
则数列前项的和等于
故答案为：
【点睛】本题考查了数列的新定义问题，意在考查学生对于数列知识的综合应用.
三、解答题
17．为了检查工厂生产的某产品的质量指标，随机抽取了部分产品进行检测，所得数据统计如下图所示.

(1)求的值以及这批产品的优质率：（注：产品质量指标达到130及以上为优质品）；
(2)若按照分层的方法从质量指标值在的产品中随机抽取件，再从这件中随机抽取件，求至少有一件的指标值在的概率；
(3)以本次抽检的频率作为概率，从工厂生产的所有产品中随机抽出件，记这件中优质产品的件数为，求的分布列与数学期望.
【答案】(1)，优质率为25%
(2)
(3)分布列见解析，
【分析】（1）由频率分布直方图中，所有频率之和为1及优质率的定义即可求得结果.
（2）由分层抽样可得质量指标在有件，质量指标在有件，结合古典概型求其概率即可.
（3）由题意知，4件产品中优质产品的件数服从二项分布，即，进而运用公式求解即可.
【详解】（1）因为，所以，
产品质量指标超过130的频率为，
所以这批产品的优质率为25%.
（2）因为质量指标在和的频率分别为0.4和0.3.
所以质量指标在产品中抽取7件，则质量指标在有件，质量指标在有件.
所以从这7件中任取2件，至少有一件质量指标在的概率为.
（3）因为抽到产品为优质产品的频率为0.25，以频率作为概率，所以每件产品为优质产品的概率为.
所以4件产品中优质产品的件数.
则，，
所以，，
，，
，
所以的分布列为
.
18．如图①，△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，E，F分别为边AB，AC的中点，以EF为折痕把△AEF折起，使点A到达点P的位置(如图②)，且PB＝BE.
（1）证明：EF⊥平面PBE；
（2）设N为线段PF上的动点(包含端点)，求直线BN与平面PCF所成角的正弦值的最大值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）由题易证得，即可证得结论；
（2）取BE的中点O,连接PO,易证得PO平面，然后以O为原点，建立直角坐标系，利用空间向量求得与平面所成角的正弦值，求得其最大值即可.
【详解】（1）证明：因为E，F分别为边AB，AC的中点，所以EF∥BC.
因为∠ABC＝90°，所以EF⊥BE，EF⊥PE，又BE∩PE＝E，所以EF⊥平面PBE.
（2）取BE的中点O，连接PO，因为PB＝BE＝PE，所以PO⊥BE.
由（1）知EF⊥平面PBE，EF⊂平面BCFE，所以平面PBE⊥平面BCFE.
又PO⊂平面PBE，平面PBE∩平面BCFE＝BE，所以PO⊥平面BCFE，
过点O作OM∥BC交CF于点M，分别以OB，OM，OP所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则B，P，C，F，
＝，＝，
由N为线段PF上一动点，得＝λ(0≤λ≤1)，
则可得N，＝.
设平面PCF的法向量为＝(x，y，z)，则即
取y＝1，则x＝－1，z＝，
所以＝(－1，1，)为平面PCF的一个法向量．
设直线BN与平面PCF所成的角为θ，
则sin θ＝ ＝＝＝≤＝(当且仅当λ＝时取等号)，
所以直线BN与平面PCF所成角的正弦值的最大值为.
【点睛】本题考查了立体几何，利用空间向量解决线面角是解题的关键，线面角可以通过直线的方向向量和平面的法向量之间进行相应的计算，就能够得到线面角的大小.
19．在数列中，，，且对任意的N*，都有.
（Ⅰ）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，记数列的前项和为，若对任意的N*都有，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）证明见解析，；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）由条件变形为，从而证明数列是等比数列，然后由此结论结合累加法可得答案.
（Ⅱ）由，由裂项相消法求其前项和，再根据不等式恒成立分离参数可得答案.
【详解】（Ⅰ）由可得．
又，，所以，故.
所以是首项为2，公比为2的等比数列.所以.
所以.
（Ⅱ）因为.
所以
.
又因为对任意的都有，所以恒成立，
即，即当时，.
【点睛】关键点睛：本题考查证明数列为等比数列和利用累加法求数列通项以及裂项相消法求和，解答本题的关键是将裂成两项的差，利用裂项相消法求和，以及利用分离参数的方法得到，从而利用最值处理，属于中档题.
20．已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)若存在两个极值点，，证明：
【答案】(1)答案不唯一，具体见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）函数求导后，分子为含参的二次三项式，结合，我们可以从和结合开口方向和两根的大小来讨论；
（2），为函数的两个极值点，我们可以通过结合韦达定理，找到，的关系，带入到要证明的不等式中，然后通过整理，化简成一个关于的函数关系，再通过换元，构造函数，通过求解函数的值域完成证明.
【详解】（1），
设．，，
①当时，，，则，在上单调递增，
②当时，，的零点为，，且，
令，得，或，令，得，
在，上单调递减，在，，单调递增，
③当时，，的零点为，
在上单调递增，在，上单调递减．
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在，上单调递减，在，，单调递增；当时，在上单调递增，在，上单调递减．
（2）证明：由（1）知，当时，存在两个极值点，
不妨设，则，
要证：，只要证，
只需要证，
即证，
设，，
设函数，
，
，
，
，
在上单调递减，则，
又，
则，
则，
从而．
【点睛】(1)含参的二次三项式再进行分类讨论的时候，如果二次项含参数，在讨论有根无根的情况下要兼顾到开口方向以及两根大小的比较；
(2)如果函数在求导完以后，是一个分子上含有二次三项式，不含指数、对数的式子，那么函数的极值点关系，可以使用韦达定理来表示.
21．椭圆的离心率是，点是椭圆上一点，过点的动直线与椭圆相交于两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)求面积的最大值；
(3)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在，.
【分析】（1）由离心率及过点列方程组求解.
（2）设直线为与椭圆方程联立，将表达为的函数，由基本不等式求最大值即可.
（3）先讨论直线水平与竖直情况，求出，设点关于轴的对称点，证得三点共线得到成立.
【详解】（1）根据题意，得，解得，椭圆C的方程为.
（2）依题意，设，直线的斜率显然存在，
故设直线为，联立，消去，得，
因为直线恒过椭圆内定点，故恒成立，，
故，
令，所以，当且仅当，即时取得等号，
综上可知：面积的最大值为.
（3）当平行于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，
则有，即，所以点在轴上，可设的坐标为；
当垂直于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，
则有，即，解得或，
所以若存在不同于点的定点满足条件，则点的坐标为；
当不平行于轴且不垂直于轴时，设直线方程为，
由（2）知，
又因为点关于轴的对称点的坐标为，
又，，
则，
所以，则三点共线，所以；
综上：存在与点不同的定点，使恒成立，且.
.
【点睛】方法点睛：直线与椭圆交于，当且仅当时，取得最大值.
22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.
(1)写出直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；
(2)已知点，直线 过点且与曲线相交于、两点，设线段的中点为，求的值.
【答案】(1)；.
(2)
【分析】（1）根据已知方程即可求出直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；
（2）求出直线的倾斜角，将的参数方程代入曲线的极坐标方程并化简，结合韦达定理即可求出的值.
【详解】（1）由题意，
在（为参数）中，
，即：，
在中，，
∵
∴，
∴曲线的直角坐标方程为：
（2）由题意，，
在中，直线 过点，
∴，解得：，
∴，，
将的参数方程代入曲线的极坐标方程，并化简得，
∴
设点对应的参数为，
∴.
23．已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若存在，使得不等式的解集非空，求b的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）将代入函数解析式，去绝对值化简即可求解；
（2）将函数解析式代入不等式，分离参数，并构造函数，根据不等式解集为非空，即可知，由绝对值三角不等式性质可变形为，结合，即可求得b的取值范围.
【详解】（1）当时，函数，
解不等式化为，
即，
∴，解得，
∴不等式的解集为.
（2）由，
得，
设，
则不等式的解集非空，等价于；
由，
∴；
由题意知存在，使得上式成立；
而函数在上的最大值为，
∴；
即b的取值范围是.
【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，分离参数并构造函数法求最值的应用，绝对值三角不等式性质及应用，属于中档题.
0
1
2
3
4
P