2024届湖北省腾云联盟高三上学期12月联考数学试题含答案

这是一份2024届湖北省腾云联盟高三上学期12月联考数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知复数z满足，则（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】A
【分析】根据复数的性质即可求解.
【详解】由于，所以，故，
故选：A
2．下列函数是R上的单调递增函数且为奇函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据函数奇偶性的定义，结合基本函数的性质即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A, 的定义域为，故不符合题意，
对于B，故为奇函数，且当时，，为上的单调递增函数，进而可得在上的单调递增，故B满足题意，
对于C，为非奇非偶函数，故不符合题意，
对于D，为周期函数，故不是R上的单调递增函数，故不符合题意，
故选：B
3．已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用，结合两角和的余弦公式求值.
【详解】因为，所以，
又，所以为锐角，且.
∴.
故选：C
4．如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，比欧洲发现早500年左右．现从杨辉三角第20行随机取一个数，该数大于2023的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由杨辉三角的性质判断第20行的数大于2023的个数，结合古典概型的概率公式即可得解.
【详解】由杨辉三角的性质知第20行的数为，一共有21个数，
其中，
由杨辉三角的对称性可知，第20行中大于2023的数的个数为，
故所求概率为.
故选：A.
5．在中，“”是“为直角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】逐步分析条件，否定充分性，举例子否定必要性即可.
【详解】在中，若，则，
故，或，或，
故充分性不成立，令，，不符合，故必要性不成立，
故选：D
6．已知为数列的前n项和，，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．当数列的前n项积最大时，或者
D．数列的前n项和为
【答案】D
【分析】A选项，利用求出通项公式；B选项，计算出，，，故B错误；C选项，计算出，且当时，，得到当时，数列的前n项积最大；D选项，，利用等比数列求和公式求出答案.
【详解】A选项，当时，，
当时，，
因为，故，A错误；
B选项，，，
，由于，B错误；
C选项，由A知，，
故，
当时，，
综上，当时，数列的前n项积最大，C错误；
D选项，由A选项，，，
故的前n项和为
，D正确.
故选：D
7．已知某正四棱锥高为h，底面ABCD边长为a，内切球半径为r，外接球半径为R，下列说法中不正确的是（ ）
A．得到a，h的值，可以确定唯一的R
B．得到a，h的值，可以确定唯一的r
C．得到a，R的值，可以确定唯一的h
D．得到a，r的值，可以确定唯一的h
【答案】C
【分析】根据正四棱锥的性质，结合外接球以及内切球的性质即可结合选项逐一求解.
【详解】在正四棱锥中，当底面边长以及四棱锥的高确定时，此时正四棱锥是唯一确定的，
因此此时正四棱锥的内切球以及外接球均唯一确定，故AB正确，
如图，，为，的中点，,
由题意，为正四棱锥，底边长为，
根据等体积法可得,化简可得，
的值，可以确定唯一的h，D正确,
设外接球球心为,连接，
,化简可得，
当时，此时有两个不相等的实数根，
所以得到a，的值，不可以确定唯一的h，C错误，
故选：C．
8．椭圆C：（）的左右焦点分别为，，B为椭圆C的下顶点，延长交椭圆C于另一点A，若，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由椭圆的定义可得，又,由余弦定理可得则,由于，结合余弦定理，即可得出答案．
【详解】由椭圆的定义可得，
根据题意可得，
所以，
解得,
所以，
所以，
所以，所以，
所以，
故选：B
二、多选题
9．已知，是全集的两个非空真子集，下列说法中一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】结合韦恩图判断集合间的运算结果.
【详解】
如图所示，，A选项错误；，，，BCD选项正确；
故选：BCD.
10．已知m，n为异面直线，平面，平面．若直线l满足，，，，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．
【答案】AC
【分析】A选项，由线面垂直得到线线垂直，进而由线面平行得到线线平行；B选项，可举出反例；C选项，由线面垂直得到，，进而得到；D选项，假设，得到，与矛盾，D错误.
【详解】A选项，因为平面，则存在，使得且，
因为，由线面平行判定可得，A正确；
B选项，如图1，满足题目条件，但不垂直，B错误；
C选项，如图2，因为，所以，
平面，，故，
平面，，故，
又，，故，C正确；
D选项，假设，因为平面，所以，
则与矛盾，D错误.
故选：AC
11．已知数列满足，，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．，且，满足
C．（）
D．记的前n项积为，则
【答案】AD
【分析】A选项，变形得到，若，推出，矛盾，故，即；B选项，得到，若，推出，矛盾；C选项，假设（），代入条件得到，C错误；D选项，得到，利用累乘法可得：，因为，所以，则，也可构造法求出，得到BC错误.
【详解】A选项，由可得，
若，则，以此类推，，…，，与已知条件矛盾，
故，此时，且满足，所以A正确．
B选项，由可得，
因为，若，则，以此类推，，…，，与已知条件矛盾．
故，又，所以恒成立．
则，故是递减数列，所以B错．
C选项，假设（），则，
将代入中得，
，
或者取验证可知C不成立，所以C错．
D选项，由，，利用累乘法可得：
，
因为，所以，则．所以D正确．
另解AB选项：由，左右两边同时取对数，
，
令，则，设，
故，故，
故为等比数列，首项为，公比为2，
故，故，
代入，则．显然，故A正确，
因为函数单调增函数，且大于0恒成立，则单调递减，
则数列为递减数列，则不存在，且，满足，所以B错误；
故选：AD.
【点睛】方法点睛：由递推公式求解通项公式，根据递推公式的特点选择合适的方法，
（1）若，采用累加法；
（2）若，采用累乘法；
（3）若，可利用构造进行求解；
12．函数的图象称为牛顿三叉戟曲线．若关于x的方程有3个实根，，，，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】利用导数判断的单调性，结合单调性作出其图象.对于A：结合图象分析判断；对于B：由图可知，利用作差法结合函数单调性分析判断；对于C：根据题意整理得，结合运算求解即可；对于D：整理得，令，构建（），利用导数求其最值即可.
【详解】由题意可知：的定义域为，，
令，解得或；令，解得；
则在和单调递减，单调递增，且，
令，解得或，
可得的图象如图所示：
对于A：若关于x的方程有3个实根，由函数图象可知，符合题意，故A正确；
对于B：由图可知，则，
，
因为在上单调递增，由，可得，
所以，故B错误；
对于C：由可得，由图象可知，
即，解得，故C错误；
对于D：由，
令，则（），
构造（），则，
令，解得；令，解得；
则在单调递减，单调递增，
所以，即，故D正确．
【点睛】方法点睛：（1）作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．
（2）识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．
（3）用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．
三、填空题
13．函数在点处的切线方程为 ．
【答案】
【分析】求导，得到，得到切线方程.
【详解】，，
故在点处的切线方程为，即.
故答案为：
14．2023年10月5日晚，杭州亚运会女篮决赛在杭州奥体中心体育馆打响，中国女篮战胜日本女篮，以6战全胜的战绩强势夺冠，第7次获得亚运会金牌.中国队6场比赛得分依次为101，101，111，104，100，74，则中国队6场比赛得分的第75百分位数是 ．
【答案】104
【分析】根据百分位数知识即可求解.
【详解】由题意知：将场比赛得分从小到大排列为：，，，，，，
因为，
所以可得场比赛得分第百分位数为第位的数：.
故答案为：.
15．（），若存在，使得，则正实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据三角函数的值域可知存在，使得，即可利用整体法求解.
【详解】当时，，
故由可得，
因此存在，使得，
由于，（），
则，
因此，解得，
故答案为；
16．MN是棱长为2的正方体的内切球的一条直径，点E为的中点，若空间内动点Р满足AP⊥CE，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】根据向量的数量积运算可得，进而利用线面垂直可判断在平面上，即可利用空间向量求解点面距离求解.
【详解】设内切球的球心为,连接，可得
，
取,的中点为，连接，
由于E为的中点，所以又,
所以,因此,故,
又,所以,
又平面，平面，所以,
平面，
因此点在平面上不同于点处运动，
故当平面时，此时最小，
建立如图所示的空间坐标系，则,
,
设平面法向量为，则，
取，则，
故到平面的距离为
所以的最小值为，
故答案为：
【点睛】方法点睛：立体几何中与动点轨迹有关的题目归根到底还是对点线面关系的认知，其中更多涉及了平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别，所求的轨迹一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型.
四、解答题
17．在中，，，，为的平分线．
(1)求的面积；
(2)求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用余弦定理求出，再根据三角形的面积公式即可得解；
（2）利用二倍角的余弦公式求出，再根据角平分线定理求出，再解即可.
【详解】（1）在中用余弦定理，，
则，
所以；
（2）因为为的平分线，所以，
则，解得，
因为为的平分线，
在和中分别用正弦定理可得，
，
因为，
所以
所以，又，所以，
在中用正弦定理，，解得．
18．如图，已知两个正四棱锥与的所有棱长均为2．
(1)设平面与平面的交线为l，证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）根据线面平行的性质即可求解；
（2）建立空间坐标系，利用法向量与方向向量的夹角即可求解.
【详解】（1）由正四棱锥可知，平面，平面，
所以平面，平面平面，平面，所以．
又因为平面且平面，由线面平行的判定定理，平面．
（2）由题设知，是正方形，所以．由正四棱锥的性质，平面，
取中心为O，分别以直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图），
由题设条件，相关各点的坐标分别是，，，，
所以，，，
设平面QAB的法向量为，由，取．
设与平面所成角为，
则．
所以PA与平面QAB所成角的正弦值为．
19．甲，乙两学校进行体育比赛，比赛共设两个项目，每个项目胜方得分，负方得分，平局各得分．两个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在两个项目中获胜的概率分别为，，甲学校在两个项目中平局的概率分别为，．各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校两场比赛后获得冠军的概率；
(2)用表示甲学校两场比赛的总得分，求的分布列与期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据独立事件的乘法公式结合互斥事件概率的加法公式直接计算；
（2）确定随机变量的可能情况，再根据独立事件的乘法公式结合互斥事件概率的加法公式计算概率，可得分布列与期望.
【详解】（1）甲获胜分三种情况：胜胜，胜平，平胜，
则甲获胜的概率为
（2）所有可能取值为，，，，，，
，
，
，
，
，
，
其分布列如下表
.
20．记数列的前项和为，满足，且．
(1)求的通项公式：
(2)记，求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用退一相减法可得，进而确定数列的通项公式；
（2）利用裂项相消法确定当和时的前项和.
【详解】（1）由已知，
当时，，解得，
当时，，
则，
即，
则当时，，
即，，
所以，
则，，
又，满足上式，
所以，；
（2）由（1）得，
又当时，，即，
当时，，即，
设数列的前项和为，
则当时，；
当，
，
综上所述，.
21．已知．
(1)若恒成立，求实数的取值范同：
(2)设表示不超过的最大整数，已知的解集为，求．（参考数据：，，）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，根据函数的单调性可得函数的最小值，进而可得参数范围；
（2）由，可得，分情况讨论该不等式是否有解，可得，进而可得.
【详解】（1）由，得，令得，当时，，当时，．所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，因为恒成立，
所以，即，解得；
（2）由，
得，则，
设函数，，
令，可得，
所以当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以，即，
则当时，即时，
由（1）得在单调递增，恒成立，
且当时，；
当时，即时，由（1）知在单调递减，，不符合题意；
当时，易知有解；
因为的解集为，则，所以，即．
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
22．已知抛物线C：（）的准线方程为．动点P在上，过P作抛物线C的两条切线，切点为M，N．
(1)求抛物线C的方程：
(2)当面积的最大值时，求点P的坐标．（O为坐标原点）
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）根据准线方程得到方程，求出，得到抛物线方程；
（2）求出过M，N的切线方程，从而，均在直线上，联立，根据弦长公式结合求出，表达出的面积，，构造函数，求导，得到单调性，求出最值.
【详解】（1）因为准线方程为，所以，解得，
抛物线C的方程为．
（2）设，，则，
对求导可得，
故过M的切线方程为，即，
故，
故MP：，
同理可得NP：，
因为两切线均经过，
所以
，均在直线上，
可知MN：，当得，，解得，
则MN与y轴的交点坐标为．
联立，整理得，
由韦达定理，，，
则，
又因为在圆，则，
代入可得，
，
因为，所以，．
构造，，，
易知在上恒成立，故在上单调递增，
当时，取得最小值，此时取到最大值，点P的坐标为．
【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．