2024届陕西省西安市部分学校高三上学期12月联考数学（理）试题含答案

这是一份2024届陕西省西安市部分学校高三上学期12月联考数学（理）试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据集合的交运算即可求解.
【详解】由得，又，
所以，
故选：A
2．（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】结合复数的运算,计算即可.
【详解】根据题意：,
故选：D.
3．“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据对数不等式可得，即可由必要不充分条件的定义判断.
【详解】由可得，所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：C
4．设等比数列的前项和为，且，则（ ）
A．3B．9C．12D．15
【答案】B
【分析】根据条件列出关于首项和公比的方程组，求出首项和公比，然后根据等比数列前n项和公式计算即可求解.
【详解】由，得，解得，，
所以.
故选：B.
5．已知，且，则（ ）
A．有最小值8B．有最小值
C．有最大值8D．有最大值
【答案】A
【分析】根据基本不等式可得，即可由不等式的性质求解.
【详解】由可得，所以，
由于，且，则，故，当且仅当时取等号，
故，因此有最小值8，
故选：A
6．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据指数与对数的单调性即可与中间值比较作答.
【详解】由可得，
因此可得，故，
故选：D
7．在中，内角所对的边分别是，若，且外接圆的半径为2，则面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据正弦定理得，由余弦定理结合不等式可得，进而由面积公式即可求解.
【详解】由于，且外接圆的半径为2，所以．
由余弦定理得，
，
则
故选：D．
8．窗户，在建筑学上是指墙或屋顶上建造的洞口，用以使光线或空气进入室内.如图1，这是一个外框为正八边形，中间是一个正方形的窗户，其中正方形和正八边形的中心重合，正方形的上､下边与正八边形的上､下边平行，边长都是4.如图2，是中间正方形的两个相邻的顶点，是外框正八边形上的一点，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用平面向量数量积的定义，结合线段长即可得解.
【详解】记正八边形右下角的两个顶点分别为，连接，
由题意易得是等腰直角三角形，，则，
不妨设，由于题目要求的最大值，故只考虑的情况，
过作，垂足为，则，又，
所以，
显然，当点与点重合时，取得最大值，
所以的最大值为.
故选：A.
9．已知为第二象限角，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二倍角公式以及同角关系即可求解.
【详解】由于为第二象限角，则,
则，
由可得，
，
，
由于，
所以，故，
所以，
故选：B
10．已知正四棱锥内切球的半径为，且，则正四棱锥的体积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据等体积法即可求解棱长，进而由体积公式即可求解.
【详解】在正四棱锥中，连接，，，连，
则平面，
设，则，
由等体积法可得，
故，解得，
故
故选：D．
11．已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据整体法求解的根，即可根据三个零点列不等式求解.
【详解】令,则，进而可得或，
因此的非负零点有，
要使得在上恰有3个零点，则，解得，
故选：C
12．已知函数，是函数的4个零点，且，给出以下结论：①的取值范围是，②，③的最小值是4，④的最大值是.其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】作出图象，结合图象判断①；对方程化简计算判断②；由对数的运算性质得出，利用基本不等式判断③④.
【详解】作出函数的图象如下图所示：

因为是函数的4个零点，
所以直线与函数的图象有四个交点，且，
根据图象知：，所以①错误；
对于②，由图可知，，则，所以，
，则，所以，
所以，所以，正确；
对于③，由图可知，，由得，
即，所以，所以，
当且仅当即时，等号成立，显然不满足，
所以，错误；
对于④，因为，当且仅当时，等号成立，
所以，即的最大值是，正确.
综上，正确结论为②④，共2个.
故选：B.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
二、填空题
13．已知向量，，若，则 ．
【答案】2
【分析】由算出答案即可.
【详解】因为，，，
所以，解得，
故答案为：2
14．在正方体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 .
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解.
【详解】因为是正方体，建立以为原点的坐标系，如图，
设正方体的棱长为2，则有，，，
， ， ，
设异面直线与所成角为，
．
故答案为：．
15．对于数列，定义为的“优值”.若数列的“优值”，则 .
【答案】
【分析】根据给的定义可得，即可作差求解.
【详解】由题意可得，
所以，
故，，
相减可得，
所以，
故答案为：：
16．已知函数，直线，若直线与的图象交于点，与直线交于点，则之间的最短距离是 .
【答案】
【分析】由题意，函数图象上的点到直线的最短距离，利用相切时到的最短距离即可求解．
【详解】函数，直线，
若直线与的图象交于点，与直线交于点，
直线的斜率为，直线的斜率为，两直线垂直，
则函数图象上的点到直线的最短距离，即为，之间的最短距离，
由题意可得，．
令，则，解得，
，取点，
点到直线的距离，
则，之间的最短距离是．
故答案为：．
三、解答题
17．已知函数，且.
(1)求的解析式；
(2)若对任意的，不等式成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）代入即可求解，
（2）根据二次函数的单调性求解值域，即可结合对数的性质求解.
【详解】（1）由，且可得，解得，
所以
（2）由可得对任意的恒成立，
由于的对称轴为，所以在单调递减，在单调递增，且，
因此当时，，进而可得，
因此，解得
18．已知函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角恒等变换可得，然后根据三角函数的性质即得；
（2）根据图象变换规律可得，然后根据正弦函数的性质即得.
【详解】（1）因为，
令，解得，
则的单调递增区间是；
（2）因为，
将的图象向右平移个单位长度，
可得．
因为，所以，
所以，则，
即在区间内的值域为．
19．如图，在直三棱柱中，是的中点.
(1)证明：平面.
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量垂直证明线线垂直，即可由线面垂直的判定求证，
（2）利用法向量的夹角即可求解.
【详解】（1）由于三棱柱为直三棱柱，所以平面，
又所以
取中点为，过作的平行线作为轴，以为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则,
所以,
由于
故，因此，
又平面，所以平面，
.
（2）由（1）知平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则，
取则，故，
设平面与平面所成锐二面角为，
则,
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为
20．设数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的定义可得为公差为1的等差数列，即可求解，
（2）由裂项求和即可求解.
【详解】（1）由以及可得，
所以，，故为公差为1的等差数列，
所以，所以，
（2），
所以
21．在中，角的对边分别是，且.
(1)若，求的值；
(2)若外接圆的半径为4，求的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，结合已知以及利用平方关系解出即可；
（2）利用正弦定理进行边化角，结合已知以及辅助角公式转化为三角函数问题，求解即可.
【详解】（1）根据题意：因为
由正弦定理得：,
化简得：，
因为，所以，
即，
联立，消去得：,
解得：或（舍去），
在三角形内，,可得：，所以.
（2）因为外接圆的半径为4，
利用正弦定理可得：
结合上问可知：，
代入可得：,
在三角形内，,所以，
所以当时，即时，，
故的最大值为.
四、证明题
22．已知函数.
(1)设函数，其中是的导数，讨论的单调性；
(2)若，证明：.
【答案】(1)时，在单调递增，
时，在单调递增，在单调递减，
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数，结合分类讨论即可由导函数的正负确定函数的单调性，
（2）利用导数证明，即可利用放缩法结合导数证明，即可求证.
【详解】（1）由得，所以，
故，
当时，单调递增，
当时，令，则，
当时，单调递增，当时，单调递减，
综上可得：时，在单调递增，
时，在单调递增，在单调递减，
（2）先证明，记，
当单调递减，当单调递增，
所以，因此，当且仅当时取到等号，
记，则，
则当单调递增，当单调递减，
所以，即，当且仅当时取到等号，
由于，所以，故进而，
因此
所以时，，则，由于等号成立的条件不一样，所以等号取不到，
故，即，得证.
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
常用的不等式：，，，，.