2024届青海省海南藏族自治州海南州普通高中高三上学期期中联考数学（理）试题含答案

这是一份2024届青海省海南藏族自治州海南州普通高中高三上学期期中联考数学（理）试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】解不等式确定集合，然后根据交集的定义计算．
【详解】得，所以，
由得，则，所以．
故选：B．
2．已知复数，则复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】利用复数的四则运算化简复数形式，由复数的几何意义与复平面内点一一对应即可求解.
【详解】由题意可得，，
故复数在复平面内对应点为，
因为是第一象限的点，
故选：A
3．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.
【详解】因为，，即，因此，.
故选：B.
4．（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用正弦的二倍角公式即可求解.
【详解】.
故选：B.
5．盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，已知某盲盒产品共有2种玩偶.假设每种玩偶出现的概率相等，小明购买了这种盲盒3个，则他集齐2种玩偶的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】列举出所有可能的情况，查出能集齐2种的情况有6种，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.
【详解】假设2种玩偶分别为，则买3个盲盒，
出现的玩偶为，，，，，，，共八种，
其中集齐2种的情况有6种，
所以集齐2种的概率为，
故选：A.
6．在△ABC中，D为BC中点，M为AD中点，，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】根据图象及其性质，即可得出，，进而根据，即可求出的值，即可得出答案.
【详解】
因为是的中点，所以，.
又因为是的中点，
所以，，
又，所以，，所以．
故选：A．
7．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分析可知在上恒成立，求出的取值范围，即可得解.
【详解】，则，
因为为上的增函数，故在上恒成立，即在上恒成立，
对任意的，，故.
故选：B.
8．执行如图所示的程序框图，输出的的值为（ ）
A．13B．14C．15D．16
【答案】C
【分析】根据程序框图依次执行即可得出.
【详解】第一次运行，是偶数，，
第二次运行，是奇数，，，
第三次运行，是偶数，，
第四次运行，是奇数，，终止运行，输出．
故选：C.
9．已知变量，满足约束条件则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先作出可行域，由，得，作出直线，向上平移过点M时，目标函数取得最小值，求出点M的坐标，代入目标函数可求得结果.
【详解】作出不等式组表示的平面区域，
由，得，作出直线，向上平移过点M时，目标函数取得最小值，
由，得，即，
所以的最小值为，
故选：D.
10．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】根据奇函数的性质，，以及，即可求解.
【详解】∵函数是定义在上的奇函数，∴.
∵，∴.
故选：D
11．已知命题：“关于的方程有实根”.若为真命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由题设知为假命题，结合一元二次方程的判别式求参数范围，再根据充分不必要关系求m范围.
【详解】若为真命题，则为假命题，
此时关于的方程没有实根，满足，解得.
因为是的充分不必要条件，则，可得.
故选：C
12．已知，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的对称轴方程为
C．的单调递增区间为
D．当时，的值域为
【答案】C
【分析】对于选项A,因为，所以的最小正周期为，所以选项A错误；
对于选项B, 的图象的对称轴方程为，所以选项B错误；
对于选项C， 的单调递增区间为（，所以选项C正确；
对于选项D， ，所以选项D错误．
【详解】对于选项A,因为
，
所以的最小正周期为，所以选项A错误；
对于选项B,由，得，
即的图象的对称轴方程为，所以选项B错误；
对于选项C，由，得
所以的单调递增区间为（，所以选项C正确；
对于选项D，因为，所以，所，
所以，所以选项D错误．
故选：C
二、填空题
13．已知，，若，则 .
【答案】
【分析】根据两向量垂直时，数量积为0，再代入坐标计算即可得解.
【详解】解：由题意可知，，解得.
故答案为：
14．从甲地去乙地有4班火车，从乙地去丙地有3班轮船，若从甲地去丙地必须经过乙地中转，则从甲地去丙地可选择的出行方式有 种．
【答案】12
【分析】由分步乘法计数原理可得答案.
【详解】由分步乘法计数原理知从甲地去丙地可选择的出行方式有（种）．
故答案为：12.
15．已知实数，，且，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】根据“1”的代换，结合基本不等式，即可得出答案.
【详解】由已知可得，
，
当且仅当，且，即，时等号成立．
所以，的最小值为.
故答案为：.
16．若关于x的不等式对任意恒成立，则实数a的最小值是 ．
【答案】/
【分析】将问题转化为，构造函数，求的最大值，得a的最小值.
【详解】由，可得，，可得，
令，可得，
令，有，
令，可得；令，可得；
可知函数的增区间为，减区间为，
所以，故，即a的最小值为．
故答案为：．
【点睛】关键点睛：利用，将问题转化为求函数的最大值问题.
三、解答题
17．在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足．
(1)求角的大小；
(2)若点为的中点，，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理及同角三角函数的基本关系计算可得；
（2）在中由余弦定理求出，再在中，由余弦定理计算可得；
【详解】（1）解：因为，
所以，即，所以，
因为，所以
（2）解：在中，由余弦定理有，
即，解得或（舍去），
又为的中点，所以，即，
在中，由余弦定理有，
即，所以；
18．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f(x)有极值．
（1）求a，b，c的值;
（2）求y＝f(x)在区间[－3，1]上最大值和最小值．
【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为.
【分析】（1）求导，结合导数的几何意义列方程组，即可得解；
（2）求导，确定函数的单调性和极值，再和端点值比较即可得解.
【详解】（1）由题意，，
因为曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，
所以，，
又当时，y＝f(x)有极值，所以，
所以；
（2）由（1）得，，
所以当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
又，，，，
所以在[－3,1]上的最大值为，最小值为.
19．新高考，取消文理科，实行“”，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人（把年龄在称为中青年，年龄在称为中老年），并把调查结果制成下表：
附：．
(1)分别估计中青年和中老年对新高考了解的概率；
(2)请根据上表完成列联表，是否有的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关?
【答案】(1)中青年对新高考了解的概率为，中老年对新高考了解的概率为．
(2)有的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联．
【分析】（1）利用概率公式即可求解；
（2）根据题目所给的数据填写列联表，计算，对照题目中的表格，得出统计结论；
【详解】（1）由已知可得中青年对新高考了解的概率为，
中老年对新高考了解的概率为．
（2）列联表如下所示：
所以，所以有的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联．
20．某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市个人数超过1000的大集团和3个人数低于200的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是大集团的概率为．
(1)在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率；
(2)若一次抽取3个集团，假设取出大集团的个数为，求的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算全为小集团的概率值；
（2）由题意知随机变量的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．
【详解】（1）由题意知共有个集团，取出2个集团的方法总数是，其中全是大集团的情况有，故全是大集团的概率是，
整理得到，解得．
若2个全是大集团，共有种情况；
若2个全是小集团，共有种情况；
故全为小集团的概率为．
（2）由题意知，随机变量的可能取值为，
计算，，，
，；
故的分布列为：
数学期望为．
21．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，若为函数的正零点，证明：．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，然后分，和讨论导数符号即可得单调区间；
（2）先由（1）中结论将不等式转化为，然后可转化为，令，可得，构造函数，利用导数讨论单调性，由单调性可证.
【详解】（1）函数的定义域为．
，
①当即时，，函数单调递增，增区间为，没有减区间；
②当时，由，可得函数的减区间为，增区间为；
③当时，由，可得函数的减区间为，增区间为；
（2）证明：当时，由及函数的减区间为，增区间为，可知等价于．
又由，等价于证明，
又由，
令，有，
可得
，
令，则，
可得函数单调递减，则，
可得当时，．
故有，可得得证．
【点睛】本题难点在于利用单调性和零点定义将不等式转化为，然后通过换元，构造函数，利用导数讨论单调性可证.
22．已知倾斜角为的直线的参数方程为（为参数）．在直角坐标系中，，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．直线与曲线交于两点．
(1)求的值及曲线的直角坐标方程；
(2)求的值．
【答案】(1),；
(2).
【分析】（1）根据题意和直线的参数方程的特征，可得;利用极坐标和直角坐标的互化公式，可得曲线的直角坐标方程；
（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，消元后,利用韦达定理即可.
【详解】（1）由直线的参数方程（为参数），可知;
所以直线的参数方程为：（为参数）.
因为曲线的极坐标方程为，所以，
利用极坐标和直角坐标的互化可得：，
化简可得的直角坐标方程为：.
（2）因为，且直线与曲线交于两点,
所以将直线 代入，
可得：，整理得：，
所以，所以.
23．已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若不等式有解，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分区间去绝对值即可求解，
（2）根据有解有解，利用绝对值的意义求出的最大值即可．
【详解】（1）由题意得，得，
当时，不等式变形为，解得，故，
当时，不等式变形为，解得，故，
当时，不等式变形为，解得，故，
综上可得，不等式的解为
（2）有解，
有解，
，
,，
即的取值范围是,．
年龄（岁）
频数
5
15
10
10
5
5
了解
4
12
6
5
2
1
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
了解新高考
不了解新高考
总计
中青年
中老年
总计
了解新高考
不了解新高考
总计
中青年
22
8
30
中老年
8
12
20
总计
30
20
50

0
1
2
3