2024届陕西省部分学校高三上学期期中联考数学（文）试题含答案

这是一份2024届陕西省部分学校高三上学期期中联考数学（文）试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，若，则（ ）
A．1B．C．1或D．0
【答案】B
【分析】令集合中元素等于2，求得值并检验是否满足集合的定义即得．
【详解】若，则或.
当时，，不符合元素的互异性；
当时，，符合题意.
故选：B．
2．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】乘以分母的共轭，再求模长即可.
【详解】因为，所以.
故选：A
3．为了得到函数的图象，可将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】C
【分析】根据三角函数平移规则可知，将向左平移个单位长度即可得到.
【详解】易知，
故将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.
故选：C
4．已知向量均为单位向量，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用数量积运算性质求解.
【详解】，所以.
故选：B
5．已知是函数的极小值点，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】求导，根据极值点的定义即可求解.
【详解】因为，所以.
又是的极小值点，所以，解得.
当时，，
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以时，是的极小值点.
故，
故选：D
6．已知等比数列满足，则（ ）
A．1B．3C．4D．15
【答案】B
【分析】根据题意结合等比数列的通项公式运算求解.
【详解】设的公比为，
因为，解得，
所以.
故选：B.
7．在四面体中，两两垂直，且，则四面体外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将其转化为正方体的外接球即可.
【详解】设四面体外接球的半径为，因为两两垂直，且，
则此四面体外接球相当于棱长为6的正方体的外接球，
所以，
则四面体外接球的表面积为.
故选：D.
8．小明准备将新买的《孟子》、《论语》、《诗经》3本书立起来随机地放在书架上，则《论语》、《诗经》两本书相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据古典概型概率问题计算公式以及排列数的计算公式、捆绑法求得正确答案.
【详解】3本书立起来随机地放在书架上，基本事件有种，
其中《论语》、《诗经》两本书相邻的事件有种，
所以《论语》、《诗经》两本书相邻的概率为.
故选：A
9．若函数在定义域内单调递增，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据单调函数的定义与基本初等函数的单调性即可列出不等式组，解出答案.
【详解】因为在定义域内单调递增，
所以，解得.
故选：D.
10．如图，二面角的平面角的大小为，，，，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】作点在平面的投影，作，得是二面角的平面角，然后根据垂直进行计算可得．
【详解】如图，作点在平面的投影，作，垂足为，连接，
平面，则，同理，
又，平面，，
所以平面，又平面，所以，
所以是二面角的平面角，所以，
所以，
又是矩形，所以，，
从而，所以.
故选：A．
11．已知为坐标原点，分别是椭圆的左顶点、上顶点和右焦点，点在椭圆上，且，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据可得，再根据直线平行的坐标运算即可得关系，从而得关系，即可得椭圆的离心率.
【详解】
因为，则
又，所以
因为，所以，则，即，
所以
所以.
故选：D.
12．设函数是函数的导函数，，且恒成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意构造函数，求导后判断其单调性，然后由可得，则将原不等式转化为，再利用其单调性可得答案.
【详解】令，则，则在上单调递增.
因为，所以，
则等价于，
即，所以，
所以不等式的解集为，
故选：D
二、填空题
13．设满足约束条件，则的最小值为 .
【答案】
【分析】首先画出可行域，再数形结合即可得解.
【详解】由约束条件作出可行域如下图所示：
又，解得，
由图可知，当直线经过点时，取得最小值，且.
故答案为：
14．某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产量分别为件，为检验产品的质量，用分层抽样的方法从以上产品中抽取一个容量为的样本，已知从乙产品中抽取了7件，则 .
【答案】20
【分析】根据分层抽样的性质运算求解.
【详解】由题可知，，解得.
故答案为：20.
15．已知数列满足，则 .
【答案】
【分析】由已知可得，与已知的等式相减可得，从而可求得结果.
【详解】因为，所以，
所以，故.
故答案为：4
16．已知抛物线与直线交于两点，点在抛物线上，且为直角三角形，则面积的最小值为 ．
【答案】1
【分析】根据已知设，由垂直关系有，可得求a的范围且，即可求三角形面积最小值.
【详解】设，

则．
因为为直角三角形，
所以，即．
因为，所以．
所以．
故答案为：1
三、解答题
17．人口结构的变化，能明显影响住房需求.当一个地区青壮年人口占比高，住房需求就会增加，而当一个地区老龄化严重，住房需求就会下降.某机构随机选取了某个地区的10个城市，统计了每个城市的老龄化率和空置率，得到如下表格.
并计算得.
(1)若老龄化率不低于，则该城市为超级老龄化城市，根据表中数据，估计该地区城市为超级老龄化城市的频率；
(2)估计该地区城市的老龄化率和空置率的相关系数（结果精确到0.01）.
参考公式：相关系数.
【答案】(1)估计该地区城市为超级老龄化城市的频率为
(2)该地区城市的老龄化率和空置率的相关系数约为0.63
【分析】（1）由已知数据确定老龄化率不低于的城市个数后用频率估计概率；
（2）根据所给公式计算相关系数可得．
【详解】（1）由表中数据可知，调查的10个城市中，老龄化率不低于的有4个，
故估计该地区城市为超级老龄化城市的频率为.
（2），
则
.
故该地区城市的老龄化率和空置率的相关系数约为0.63.
18．的内角的对边分别为，.
(1)证明：；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)用正弦定理转化，结合正弦差角公式即可求解.(2)结合第一问的结论和余弦定理求得的余弦值，代入面积公式求解即可.
【详解】（1）因为，所以，
则.
又，所以，
故，即.
（2）由（1）可知，.
因为，所以，
则，
故的面积.
19．如图，在正四棱柱中，分别为的中点，.
(1)证明：平面；
(2)求四面体的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明是菱形，得，再由勾股定理逆定理证明，即可证得线面垂直；
（2）证明平面，然后由棱锥体积公式计算，
【详解】（1）连接，
在正四棱柱中，因为分别为的中点，
所以，且，
可知四边形为菱形，所以.
设，连接，
由，得，
即，所以，即.
因为平面平面，
所以平面.
（2）因为为的中点，，所以.
又，平面，所以平面.
，
20．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为.
(1)求双曲线的方程.
(2)已知双曲线的左､右顶点分别为，直线与双曲线的左､右支分别交于点（异于点），设直线的斜率分别为，若点）在双曲线上，证明为定值，并求出该定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析，定值为
【分析】（1）利用渐近线的定义得到，再利用的关系即可得解；
（2）由题意得到，再联立方程得到，进而得到，从而利用斜率公式进行化简计算即可得解.
【详解】（1）因为渐近线方程为，所以，即，
所以，则，
故的方程为.
（2）依题意，知，
因为点在双曲线上，
所以，即，
联立，得，
则，
设，则，，
所以
，
，
因为，所以，所以，
故
，
故为定值，定值为.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
21．已知函数.
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)当，时，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，得到，利用导函数的几何意义得到切线方程；
（2）令，求导后放缩得到，构造，二次求导，得到函数单调性，结合特殊点函数值，得到在上恒成立，在上单调递增，得到，证明出结论.
【详解】（1）因为，所以.
，
故曲线在处的切线方程为，
即.
（2）证明：令，
则.
因为，所以.
令，则.
令，则.
当时，单调递增，故，
即在上恒成立，则在上单调递增，则，
即在上恒成立，则在上单调递增，
故，即.
【点睛】导函数证明不等式，常常利用放缩法，常用的放缩有切线放缩或参数放缩，消去参数后，构造函数，利用导函数得到函数的单调性，结合特殊点的函数值，可大大减少难度.
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的方程为.
(1)求的普通方程和的直角坐标方程；
(2)若与相交于两点，点，求的值.
【答案】(1)的普通方程为，的直角坐标方程为
(2)
【分析】（1）将曲线的参数方程消去参数即得普通方程，利用直角坐标和极坐标转换公式替换即得的直角坐标方程；
（2）利用点在直线上和直线的参数方程中参数的几何意义即得.
【详解】（1）消去参数，得到的普通方程为.
由得到的直角坐标方程为.
（2）由（1）可知，点在上，将的方程化为参数方程：（为参数），
代入的普通方程，整理得：，设方程的两根为
则，故.
23．已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意分，，三种情况讨论即可求解；
（2）根据绝对值不等式求得，从而得到原条件等价于，进而求解即可．
【详解】（1）当时，不等式化为，解得；
当时，不等式化为，恒成立；
当时，不等式化为，解得，
综上所述，原不等式的解集为．
（2）因为，
所以恒成立等价于，解得或，
故的取值范围为．
城市
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
老龄化率
0.17
0.2
0.18
0.05
0.21
0.09
0.19
0.3
0.17
0.24
1.8
空置率
0.06
0.13
0.09
0.05
0.09
0.08
0.11
0.15
0.16
0.28
1.2