2024届江苏省淮安市楚州中学、新马中学高三上学期第二次阶段检测数学试题含答案

这是一份2024届江苏省淮安市楚州中学、新马中学高三上学期第二次阶段检测数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，单空题，问答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据补集的概念即可求解.
【详解】依题意，全集，而，所以.
故选：C.
2．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.
【详解】因为存在量词命题的否定为全称量词命题，全称量词命题的否定是存在量词命题，
所以命题“”的否定是“”.
故选：C．
3．已知，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】D
【分析】根据复数的四则运算法则及共轭复数的概念计算即可.
【详解】由题意可得，
所以，则.
故选：D
4．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据不等式的性质结合必要不充分条件的判定方法求解即可.
【详解】当时，或或，所以“”推不出“”，
但是当时，，所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
5．在等比数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用等比数列通项公式可直接求得结果.
【详解】，，解得：.
故选：C.
6．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性可排除C；根据的符号可排除A；利用导数说明不是函数的极值点，即可排除D.
【详解】函数的定义域为，
因为，
所以函数为偶函数，故排除C；
因为，故排除A；
当时，，则，
因为，所以不是函数的极值点，故排除D.
故选：B.
7．在中，内角的对边分别为，已知，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】将切化弦，结合正弦定理得，再利用余弦定理求出答案．
【详解】因为，所以，
由正弦定理得：，
由余弦定理得：，
整理得，即．
故选：C．
8．已知函数（）在上恰有2个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由余弦型函数的性质列出不等式组，进而得出的取值范围.
【详解】因为：，所以：，
令：，则得：.
因为：在上有个零点，
所以：，解得：.
故的取值范围为：，故B项正确.
故选：B.
二、多选题
9．已知平面向量，，则（ ）
A．若，则
B．若，则与的夹角为锐角
C．若为任意非零向量，则存在实数，使得
D．若在上的投影向量为，则或
【答案】AD
【分析】利用平面向量共线的坐标表示可判断A选项；由与的夹角为锐角求出的取值范围，可判断B选项；设，根据平面向量数量积的坐标表示可判断C选项；利用投影向量的性质可得出，结合平面向量数量积的坐标运算可求得的值，可判断D选项.
【详解】对于A选项，若，则，解得，A对；
对于B选项，若与的夹角为锐角，则且、不共线，
所以，，解得且，B错；
对于C选项，设，其中，若存在，使得，
则，
令，此时，该方程无解，
若，不存在实数，使得，C错；
对于D选项，若在上的投影向量为，则，
即，整理可得，解得或，D对.
故选：AD.
10．设正实数x，y满足，则下列说法正确的是（ ）
A．xy的最小值为B．的最小值为4
C．的最大值为2D．的最小值为
【答案】BD
【分析】根据基本不等式即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A，因为，所以，当且仅当，
即时等号成立，的最大值为，故A错误；
对于B，因为所以，
当且仅当，即时等号成立，故B正确；
对于C，因为，
所以的最大值为，故C错误；
对于D，因为，所以D正确.
故选：BD.
11．已知函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，若将的图象向左平移个单位得到的图象头于轴对称，则（ ）
A．
B．直线为函数图象的一条对称轴
C．为函数图象的一个对称中心
D．若在上单调递增．则
【答案】ABD
【分析】由正弦型函数图象的变换求解函数解析式，然后利用性质逐项判断即可.
【详解】由题意知，故，又的图象向左平移个单位得到，所以，又，故，故A正确；
因为，且为极小值，所以直线为曲线的一条对称轴，故B正确；
因为，所以不是曲线的一个对称中心，故C错误；
由，得，即在上单调递增，故，故D正确．
故选:ABD．
12．已知，函数的图象记为，的图象记为.则（ ）
A．函数只有一个零点B．与没有共同的切线
C．当时，曲线在曲线的下方D．当时，
【答案】AC
【分析】利用导数，根据函数零点、切线、最值、不等式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，，
，在区间上，单调递减；
在区间上单调递增，
由于，所以函数只有一个零点，A选项正确.
C选项，由上述分析可知恒成立，
所以恒成立，且当时，，
所以当时，曲线在曲线的下方，C选项正确.
B选项，，
所以和在点处的切线方程为，所以B选项错误.
D选项，当时，，
令，
，由于，所以，
即，所以D选项错误.
故选：AC
【点睛】关键点睛：利用导数研究函数的零点，主要是利用导数求得函数的单调区间、极值点等，部分题目要结合零点存在性定理来判断函数零点的个数.求解曲线的切线方程，关键点是切点和斜率，斜率可利用导数求解，也可以利用切线上两个点的坐标来求得.
三、填空题
13． ．
【答案】/
【分析】由三角函数的诱导公式化简即可得出答案.
【详解】由三角函数的诱导公式，可得：
．
故答案为：.
14．设等差数列的前n项和为，公差，，则当取最小值时， ．
【答案】7
【分析】由题意可得，判断数列的前7项为负数，从第8项开始为正数，可得结论．
【详解】，
即即.
又，
该等差数列为递增数列，
该等差数列的前7项为负数，从第8项开始为正数，即前7项和最小.
当取最小值时，.
故答案为：7.
15．已知函数，若，则 ．
【答案】
【分析】由解析式易得，结合已知即可求目标函数值.
【详解】由，则，
又，故．
故答案为：
四、单空题
16．函数的定义域为，对任意，恒有，若， .
【答案】
【分析】设，得到，由，利用赋值法，分别求得的值，得出函数的周期性，结合周期性，即可求解.
【详解】设，可得，
因为，即，
若，令，则，所以；
令，则，即所以；
令，则，即所以；
令，则，即所以；
令，则，即所以；
令，则，即所以；
令，则，即所以；
令，则，即所以，
由此可得的值有周期性，最小正周期为，
且，
所以.
故答案为：.
五、问答题
17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）先由平方关系求出，再根据正弦定理即可解出；
（2）根据余弦定理的推论以及可解出，即可由三角形面积公式求出面积．
【详解】（1）由于， ，则．因为，
由正弦定理知，则．
（2）因为，由余弦定理，得，
即，解得，而，，
所以的面积．
18．已知等差数列的前n项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等差数列前项和以及通项公式结合已知联立方程组，求出基本量即可.
（2）由分组求和法以及等比数列公式法即可求解.
【详解】（1）设公差为d，依题意得,解得,
所以，．
（2）因为， ，
所以
．
19．已知函数．
(1)求函数的最小正周期和图象的对称轴方程；
(2)若存在，使得不等式成立，求．
【答案】(1)最小正周期为，对称轴方程为；
(2)
【分析】（1）化简，得，从而可得周期；令，求解即可得到对称轴方程；
（2）根据题意可得，又，从而可得，求解得，从而可得.
【详解】（1）
，
的最小正周期，
令，解得，
对称轴方程为；
（2），即，
又，
则，故，
．
20．已知函数在处取得极值．
(1)求的值；
(2)求函数在上的最值．
【答案】(1)
(2)最小值为．最大值为
【分析】(1)利用极值的定义列方程求解；
(2)利用导数讨论函数在的单调性，结合极值和区间端点处的函数值即可求最值.
【详解】（1）因，故，
由于在处取得极值，
故有即，
化简得解得，
经检验，时，，
令，解得或，令，解得，
所以在单调递增，单调递减，单调递增，
所以在处取得极值，
符合题意，所以．
（2）由（1）知．
令，得．
在时，随的变化．的变化情况如下表所示：
当时，有极大值，
当时，有极小值．
因为，
所以．
因此在的最小值为，最大值为.
21．在中，已知，，，设点为边上一点，点为线段延长线上的一点．
(1)当且P是边BC上的中点时，设与交于点，求线段的长；
(2)设，若，求线段长度的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由均为中点及重心的性质判断出点的位置，进而用基向量表示出，再根据数量积求得的模长；
（2）根据共线向量定理用向量表示点的位置，再根据平面向量基本定理用一组基向量表示出，分别代入题目条件的式子并化简变形，后用基本不等式即可求得最值.
【详解】（1）设，，当，得是的中点，
又是的中点时，则是的重心，
，
.
（2）设，则，
，
由，得：
∴，因为且，
所以即，
∴，
令，则
，
当且仅当即时取到等号，所以的最大值是，
又，
故线段的最小值为.
22．已知，．
(1)若在其定义域上为减函数，求的取值范围；
(2)若函数在上有且只有1个零点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题知在上恒成立，分离参数得，构造函数，利用导数求出其最小值即可得解；
（2）求导，再分和两种情况讨论，求出其单调区间，再结合零点得存在性定理即可得解.
【详解】（1）由题知在上恒成立，
∴，令，则，
由，得，∴在上单调递增，
由，得，∴在上单调递减，
∴当时，取得最小值，
∴；
（2）由题知，，，
∴，
由，得，
当时，，使得，
因为函数在上单调递增，
则当时，，当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
又，，
∴当，即时，在上无零点，
当，即时，在上有一个零点；
当时，，∴在上单调递减，
又，，
故在上无零点．
综上，的取值范围为．
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
2
3
正
0
负
0
正
11
单调递增
18
单调递减
-14
单调递增
-7