2024届江苏省宿迁市泗阳中学高三上学期12月阶段测试数学试题含答案

这是一份2024届江苏省宿迁市泗阳中学高三上学期12月阶段测试数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求得，结合，得到，根据集合并集的运算，即可求解.
【详解】由集合，
因为，可得，所以.
故选：C.
2．已知，则（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出．
【详解】因为，所以，即．
故选：A．
3．若，，且，则等于（ ）
A．B．2或C．D．2
【答案】C
【分析】利用平方法，结合指数函数的性质进行求解即可.
【详解】，
，
因为，所以
又，
，
则.
故选：C
4．已知数列的前n项和，正项等比数列满足，，则使成立的n的最大值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【分析】先求得，由此求得，由此解不等式求得正确答案.
【详解】依题意，，
当时，；
当时，；
所以.
所以，
设正项等比数列的公比为，，
所以，
所以，
由得，
所以的最大值为.
故选：D
5．函数的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用时排除选项D，利用时排除选项C，利用时排除选项B，所以选项A正确.
【详解】函数的定义域为
当时，，可知选项D错误；
当时，，可知选项C错误；
当时，，可知选项B错误，选项A正确.
故选：A
6．已知，是方程的两根，且，，则的值为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】B
【分析】由韦达定理得，即，得，再根据两角和的正切公式解决即可.
【详解】由题知，，是方程的两根，
所以，即，
因为，，
所以，，
所以，
因为，
所以，
故选：B
7．在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发经BC，CA反射后又回到点P，若光线QR经过的重心，则的周长等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】以为坐标原点，,所在直线为轴，轴，建立如图所示的平面直角坐标系，通过对称光线的对称关系找到点关于，的对称点，，则即为的长.
【详解】解析：以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，
所以直线的方程为.
设，点关于直线的对称点为，点关于轴的对称点为，
易得，.
易知直线就是所在的直线.
所以直线的方程为.
设的重心为，则，
所以，即，所以（舍去）或，
所以，.
结合对称关系可知，，
所以的周长即线段的长度为：
.
故选：A.
8．已知是上的单调递增函数，，不等式恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】令在上是增函数，不等式恒成立等价于，所以，令，转化为.
【详解】依题意，在上是增函数，，不等式恒成立，
即恒成立，
等价于恒成立，
，
令，则，
易得，，.
故选：D.
二、多选题
9．，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中错误的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】ABC
【分析】根据线面垂直的定义和性质，结合面面平行的性质逐一判断即可.
【详解】对于A，若，，，则或与斜交或与平行，该命题错误；
对于B，若，，，则或与异面，该命题错误；
对于C，若，，则或与斜交或与平行，该命题错误；
对于D，若，，由线面垂直的性质可知，该命题正确.
故选：ABC．
10．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作x轴的垂线与双曲线交于A，B两点，若为直角三角形，则（ ）
A．
B．双曲线的离心率
C．双曲线的焦距为
D．的面积为
【答案】BD
【分析】画图分析，由双曲线的相关性质计算判断即可.
【详解】如图所示：

若为直角三角形，由双曲线的对称性可知：
，且.
设，则由双曲线的定义得：，.
所以在直角三角形中，由勾股定理得：.
解得：，所以，
所以的面积为：.故D正确；
，所以，故C不正确；
由可知，，，
所以，故A不正确；
，故B正确.
故选：BD.
11．利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A为“是一等品”，B为“是合格品”，C为“是不合格品”，则下列结果正确的是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】根据事件的关系及运算求解．
【详解】解：由题意知A，B，C为互斥事件，故C正确；又因为从100件中抽取产品符合古典概型的条件，所以，，则，故A、B，C正确；故D错误.
故选ABC.
【点睛】本题考查事件的关系及古典概型的概率计算，属于基础题．
12．已知a>1，b>3，且ab+1=3a+b，则（ ）
A．a+b有最大值B．a+b有最小值
C．ab有最大值D．ab有最小值
【答案】BD
【分析】原式可变形为（a-1）（b-3）=2，令m=a-1>0，n=b-3>0，利用基本不等式可得，.
【详解】由ab+1=3a+b可得（a-1）（b-3）=2，令m=a-1>0，n=b-3>0，
则，当且仅当时取等号.
由，解得，
故，当且仅当3a=b时取等号.
故选：BD
三、填空题
13．已知的面积为，求AC边的长为 .
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，根据题意结合向量的坐标运算可得C点坐标为，进而求AC边的长.
【详解】如图，设点C的坐标为，
因为，则B点坐标是，
可得，
又因为，则，解得，
且，则，解得，
可知C点坐标为，
则，所以.
故AC边的长为.
故答案为：.
14．等差数列中，，，则满足不等式的正整数的最大值是 .
【答案】59
【分析】计算得到，解不等式得到答案.
【详解】由得，即，又，解得，
故正整数的最大值为59.
故答案为：59.
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，解不等式，意在考查学生的计算能力.
15．已知首项都是1的两个数列，满足．若，则数列的前项和 ．
【答案】
【分析】根据已知条件判断出数列是等差数列，求得，进而求得，利用错位相减求和法求得.
【详解】因为，，
所以，所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，
故．
由，得，
于是数列的前项和
，
，
两式相减得
所以．
故答案为：
16．如图，在矩形中，，，为线段上一动点，现将沿折起得到，当二面角的平面角为，点在平面上的投影为，当从运动到，则点所形成轨迹的长度为 .
【答案】
【解析】根据折叠关系找出与有关的几何关系，得出点的轨迹为圆的一部分，再考虑在运动过程中扫过的弧长即可求解.
【详解】
在折叠后的图中，作垂足为，连接，根据三垂线定理，，
所以就是二面角的平面角为，，
根据折叠关系，与全等，对应边上的高位置相同，即在线段上，
且是线段的中点，取的中点，连接，则，
所以点的轨迹为以为直径的圆的一部分，当从运动到，点在圆周上从点运动到
，这段弧所对圆心角为，这段弧长为.
故答案为：
【点睛】此题考查折叠问题与二面角和投影的轨迹问题，关键在于通过几何关系进行转化得出动点的轨迹.
四、解答题
17．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求的值；
(2)若，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知，由正弦定理结合两角和与差的正弦公式，得到，再利用正弦定理求解；
（2）结合（1）利用余弦定理得到再由求解.
【详解】（1）解：由及正弦定理，
得，
，
从而，
得.
（2）由余弦定理知，
则，
，
当，，时取等号，
故面积的最大值为.
18．设为等差数列的前n项和，已知与的等差中项是1，且，求通项.
【答案】或
【分析】设，得到求解.
【详解】解：设，则，
由题意得
解得或
故或.
19．如图1，在平面图形中，，，，，沿将折起，使点到的位置，且，，如图2.

(1)求证：平面平面.
(2)线段上是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为?若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)线段FG上存在点M，
【分析】（1）根据题意，分别证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得平面平面；
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，假设线段上存在点满足题意，令,求得平面和平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式，列出方程，即可求解.
【详解】（1）证明：因为，所以，
又因为，所以，
因为，且，所以四边形为等腰梯形，
又因为，所以，
所以，所以，即，
因为，，平面AEG，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）解：由，，且，平面，
所以平面，
因为，可得，所以平面，
又由（1）知，，所以两两互相垂直，
以为原点，所在的直线分别为 轴、轴和轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，

因为，四边形是矩形，所以，
则，，.
假设线段上存在点满足题意，
令,则，可得，.
设平面的一个法向量为，则，
取，可得，所以，
由平面，则平面的一个法向量为，
设平面与平面所成角为，
则，其中，
所以，解得，即，
所以线段上存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为，且.
20．已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过点作垂直于x轴的直线，与双曲线C交于点M，N，且三角形为等边三角形，双曲线C与x轴两交点间距离为2．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设过的直线与双曲线C交于A，B两点，是否存在一个定点P使为定值？如果存在，求出点坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）由双曲线C与x轴的交点间距离可得的值，再由过焦点且垂直于轴的焦点弦时双曲线的通径，长为，及等边三角形可得，再由之间的关系求出的值，进而求出双曲线的方程；
（2）设直线的方程，与双曲线的方程联立求出两根之和即两根之积，设的坐标，由为定值可得对应系数成比例，可得的坐标，并求出定值.
【详解】（1）因为双曲线与x轴两交点间距离为2，
所以，，则．
设点在x轴的上方，则．
因为点在双曲线上，所以．
因为，所以，所以．
因为为等边三角形，所以为直角三角形．
在中，，所以．
由双曲线的定义可知，
故双曲线的方程为．
（2）存在．理由如下：
当直线斜率不为0时，设直线AB的方程为，
根据双曲线的对称性可得如果存在这样的点，则点在x轴上，设点，，，
则，．
将代入得直线的方程为，
联立，消去x得．
当时，，
则，，
所以
，
若为定值和参数m无关，即，
解得，故定点坐标为．
当直线的斜率为0时，则,
当时，也适合.
综上，存在一个定点使为定值．
【点睛】本题考查双曲线的通径，直线与双曲线的位置关系，判断是否过定点，考察运算求解能力及化归与转化思想，体现了数学运算，逻辑推理的核心素养.
21．随着人们生活水平的提高，健康越来越成为当下人们关心的话题，因此，健身也成了广大市民的一项必修课.某健身机构统计了2022年1∼5月份某初级私人健身教练课程的月报名人数（单位：人）与该初级私人健身教练价格（单位：元/小时）的情况，如下表所示.
(1)求（，2，3，4，5）的相关系数r，并判断月报名人数y与价格x是否有很强的线性相关性?（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性）（精确到0.001）
(2)请建立关于的线性回归方程；（精确到0.001）
(3)当价格为每小时230元时，估计该课程的月报名人数为多少人?（结果保留整数）
参考公式：对于一组数据（，2，3，…，n），相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
参考数据：.，，.
【答案】(1)-0.929，与有很强的线性相关性
(2)
(3)4人.
【分析】（1）利用公式求得相关系数判断；
（2）利用公式分别求得，，写出回归方程；
（3）将代入回归方程求解.
【详解】（1）解：由已知数据可得：
，
，
相关系数
因为，所以与有很强的线性相关性.
（2）因为，
，
所以关于的线性回归方程为.
（3）当时，，
故当价格为每小时230元时，估计该课程的月报名人数为4人.
22．已知函数．
(1)若，求函数的极值；
(2)当时，若对，恒成立，求的最小值．
【答案】(1)极小值为，极大值为
(2)
【分析】（1）求导，再根据极值的定义即可得出答案；
（2）令，求导得，由函数单调递增及，，可知存在，使得，即，从而可求出函数的最小值，，恒成立，则，从而可将表示出来，
【详解】（1）若，可得，
有，
令，可得，令，则或，
故函数的增区间为，，减区间为，
函数的极小值为，极大值为；
（2）令，
有，
由函数单调递增及，，
可知存在，使得，即，
当时，，当时，，
所以函数的减区间为，增区间为，
可得
，
由，恒成立，
有，可得，
有，
可得，
令，
有
，
令，则，令，则，
所以函数的减区间为，增区间为，
所以，
故的最小值为．
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
月份
1
2
3
4
5
初级私人健身教练价格（元/小时）
210
200
190
170
150
初级私人健身教练课程的月报名人数（人）
5
8
7
9
11