2024届青海省西宁市海湖中学高三上学期第二次阶段考试数学（理）试题含答案

这是一份2024届青海省西宁市海湖中学高三上学期第二次阶段考试数学（理）试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合，集合，则集合（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】分别求解集合和集合，进而求解即可.
【详解】解：由，可知或，
由，可知.
则.
故选：A.
【点睛】本题考查集合的交集运算，结合分式不等式的解法，考查运算能力，属于基础题.
2．已知命题：“若，则”，则下列说法正确的是
A．命题的逆命题是“若，则”
B．命题的逆命题是“若，则”
C．命题的否命题是“若，则”
D．命题的否命题是“若，则”
【答案】C
【分析】写出命题的逆命题和否命题，逐项判断即可．
【详解】解：命题：“若，则”，
命题的逆命题是“若，则”，
命题的否命题是“若，则”，
故、、错误，正确，
故选：．
【点睛】本题考查四种命题，注意逆命题交换命题的条件和结论，否命题分别否定条件和结论，属于基础题．
3．已知向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】首先根据向量的数量积可得，从而可判断出与的关系，利用充分条件、必要条件的定义即可得出答案.
【详解】若，等价于，
等价于，等价于，
即等价于，
但与之间没有必然的联系，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
4．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6
【答案】C
【分析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解.
【详解】由，当时，，
则.
故选：C.
5．设命题，则为
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】首先根据特称命题的否定是全称命题，结合其形式，求得结果.
【详解】因为为：，
故选：C.
6．若函数满足，则的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】令，得到，求出的解析式即可．
【详解】令，则，
故，
故，
故选：D
【点睛】本题考查了求函数的解析式问题，考查换元思想，是一道基础题．
7．已知函数，则的值为（ ）
A．4B．2C．D．
【答案】D
【分析】根据分段函数的解析式，先求出的值，再求的值．
【详解】解：因为
；
．
故选：D
【点睛】本题主要考查了分段函数的函数值，属于基础题．
8．函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据根式和零次方的性质运算求解.
【详解】由题意可得：，解得且，
所以函数的定义域是.
故选：D.
9．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.
【详解】由得：，
令，
为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，
，
，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.
10．设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.
11．已知，则
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】运用中间量比较，运用中间量比较
【详解】则．故选B．
【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．
12．函数的图像大致为 ( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.
详解：为奇函数，舍去A,
舍去D;
，
所以舍去C；因此选B.
点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．
二、填空题
13．已知函数是偶函数，则 .
【答案】1
【分析】利用偶函数的定义可求参数的值.
【详解】因为，故，
因为为偶函数，故，
时，整理得到，
故，
故答案为：1
14．曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】
【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．
【详解】由题，当时，，故点在曲线上．
求导得：，所以．
故切线方程为．
故答案为：．
15．设等差数列的前项和为，且,则 ．
【答案】
【详解】分析：设等差数列{an}的公差为d，由S13=52，可得13a1+d=52，化简再利用通项公式代入a4+a8+a9，即可得出．
详解：设等差数列{an}的公差为d，
∵S13=52，∴13a1+d=52，化为：a1+6d=4．
则a4+a8+a9=3a1+18d=3（a1+6d）=3×4=12．故填12.
点睛：本题主要考查等差数列通项和前n项和，意在考查学生等差数列基础知识的掌握能力和基本的运算能力.
16．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则 ．
【答案】
【分析】由三角形面积公式可得，再结合余弦定理即可得解.
【详解】由题意，，
所以，
所以，解得（负值舍去）.
故答案为：.
三、解答题
17．已知函数.
(1)当，时，求函数的值域；
(2)若函数在上的最大值为，求实数的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求得，利用二次函数的基本性质可求得函数在上的值域；
（2）分、、三种情况讨论，分析函数在上的单调性，结合可求得实数的值.
【详解】（1）解：当时，，
故当时，，，
此时，函数在上的值域为.
（2）解：函数的图象开口向上，对称轴为直线.
①当时，即当时，函数在区间上单调递增，
此时，解得，合乎题意；
②当时，即当时，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，.
若，由，可得，不合乎题意；
若，由，可得，不合乎题意；
③当时，即当时，函数在上单调递减，
此时，解得，不合乎题意.
综上所述，.
四、证明题
18．已知函数．
（1）求函数的定义域 ；
（2）判断的奇偶性并加以证明;
（3）若在上恒成立，求实数的范围.
【答案】（1）； （2）见解析； （3）.
【分析】（1）根据函数的解析式有意义，列出方程组，即可求解；
（2）直接利用函数的奇偶性的定义，即可作出判定；
（3）把在上恒成立，转化为在上恒成立，结合二次函数的图象与性质，即可求解.
【详解】（1）由题意，函数有意义，则满足，
解得，即函数的定义域为.
（2）由（1）知，函数的定义域为，关于原点对称，
又由，
即，所以函数是定义域上的奇函数.
（3）由
由在上恒成立，
即在上恒成立，
即在上恒成立，即在上恒成立，
即函数在上恒成立，
又因为，则函数的对称轴，
则只需，解得，
即实数的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，函数的奇偶性的判定与证明，以及对数函数的图象与性质的应用，其中解答中把对数式的恒成立，转化为二次函数的恒成立，结合二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
五、解答题
19．已知函数的部分图像如图所示.
（1）求函数的函数解析式
（2）在中，角A为三角形内角且，D在边BC上，AD是的角平分线，，，求AD的长度.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据函数图象求得A，结合周期求得，代入对称轴求得，从而求得函数的解析式；（2）由可得，利用三角形面积相等即可求得结果.
【详解】解：（1）由图可知：，，即，
根据，得，
由得，，
因为，∴
函数的解析式为.
（2）由可得，
因为为的角平分线，所以
又因为，
即
，代入可得.
20．已知向量
（1）当时，求的值；
（2）已知钝角中，角为钝角，分别为角的对边，且，若函数，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据得出，化简得出结果；
（2）根据正弦定理得出，代入f（B），求出f（B）的值．
【详解】（1）∵,∴，即
,
（2），
，
由角为钝角知
，
.
【点睛】本题考查了平面向量垂直与坐标的关系，三角函数的化简求值，属于中档题．
21．已知且，函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．
【答案】（1）上单调递增；上单调递减；（2）.
【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；
（2）方法一：利用指数对数的运算法则，可以将曲线与直线有且仅有两个交点等价转化为方程有两个不同的实数根，即曲线与直线有两个交点，利用导函数研究的单调性，并结合的正负，零点和极限值分析的图象，进而得到，发现这正好是，然后根据的图象和单调性得到的取值范围.
【详解】（1）当时，,
令得,当时，,当时，,
∴函数在上单调递增；上单调递减；
（2）[方法一]【最优解】：分离参数
,设函数,
则,令，得,
在内,单调递增；
在上,单调递减；
,
又，当趋近于时，趋近于0，
所以曲线与直线有且仅有两个交点，即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是,这即是,
所以的取值范围是.
[方法二]：构造差函数
由与直线有且仅有两个交点知，即在区间内有两个解，取对数得方程在区间内有两个解．
构造函数，求导数得．
当时，在区间内单调递增，所以，在内最多只有一个零点，不符合题意；
当时，，令得，当时，；当时，；所以，函数的递增区间为，递减区间为．
由于，
当时，有，即，由函数在内有两个零点知，所以，即．
构造函数，则，所以的递减区间为，递增区间为，所以，当且仅当时取等号，故的解为且．
所以，实数a的取值范围为．
[方法三]分离法：一曲一直
曲线与有且仅有两个交点等价为在区间内有两个不相同的解．
因为，所以两边取对数得，即，问题等价为与有且仅有两个交点．
①当时，与只有一个交点，不符合题意．
②当时，取上一点在点的切线方程为，即．
当与为同一直线时有得
直线的斜率满足：时，与有且仅有两个交点．
记，令，有．在区间内单调递增；在区间内单调递减；时，最大值为，所以当且时有．
综上所述，实数a的取值范围为．
[方法四]：直接法
．
因为，由得．
当时，在区间内单调递减，不满足题意；
当时，，由得在区间内单调递增，由得在区间内单调递减．
因为，且，所以，即，即，两边取对数，得，即．
令，则，令，则，所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以，所以，则的解为，所以，即．
故实数a的范围为．]
【整体点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，
方法一：将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解.
方法二：将问题取对，构造差函数，利用导数研究函数的单调性和最值.
方法三：将问题取对，分成与两个函数，研究对数函数过原点的切线问题，将切线斜率与一次函数的斜率比较得到结论．
方法四：直接求导研究极值，单调性，最值，得到结论.
22．已知函数.
（1）当时，求出函数的最大值，并写出对应的的集合；
（2）在中，角、、的对边分别为、、，若，，求的最小值.
【答案】（1）函数取最大值，此时的取值集合为；（2）.
【解析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，由可计算出的取值范围，利用正弦函数的有界性可求得的最大值及其对应的的值，即可得解；
（2）由结合角的取值范围可求得角的值，再利用余弦定理结合基本不等式可求得的最小值.
【详解】（1）函数
，
，所以，，
当或时，即当时，函数取最大值；
（2）由题意，化简得，，，，解得.
在中，根据余弦定理，得.
由，知，即.
当时，取最小值为.
【点睛】求函数在区间上最值的一般步骤：
第一步：三角函数式的化简，一般化成形如的形式或的形式；
第二步：由的取值范围确定的取值范围，再确定（或）的最值；
第三步：求出所求函数的最值．