2024届四川省绵阳市盐亭中学高三上学期第九次阶段检测数学（文）试题含答案

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1. 设集合，，U为整数集，＝（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据并集和补集的定义进行求解.
【详解】，
故
故选：A
2. 已知函数，则的值是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】直接代入分段函数计算即可.
【详解】由已知，
.
故选：C.
3. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化抛物线方程为标准方程，从而可求解.
【详解】化抛物线方程为标准方程，所以焦点坐标为.
故选：C
4. 已知等差数列满足，则中一定为零的项是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】借助等差数列的基本量进行计算即可.
【详解】由得，即，所以，所以.
故选：A.
5. 定义在R上的函数在上是增函数，且对任意恒成立，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数单调性和对称性求解即可.
【详解】因为对任意恒成立，
所以函数关于对称，
所以，
又因为函数在上增函数，
所以，
所以.
故选：A
6. 已知函数是定义域为R的奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性求解的解析式.
【详解】因为函数是定义域为R的奇函数，
当时，，
所以，
故选：C
7. 执行下面的程序框图，如果输入的，则输出的为（ ）
A. 7B. 6C. 5D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据循环结构，本题可转化为当即结束，经计算即可得解.
【详解】根据题意，即经过次循环后，结合根据判断框，
可得，
所以，又，
所以时循环结束.
故选：B
8. 已知向量，，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面共线向量的坐标表示可得，结合二倍角的正切公式计算即可求解.
【详解】由题意知，，
所以，得，
所以.
故选：A.
9. 学校兴趣小组为了测量市民活动中心广场一圆柱状建筑物的高度，在地面上选取相距120米的两点M，N，若在M，N处分别测得圆柱状建筑物的最大仰角为和，则该圆柱状建筑物的高度约为（ ）

A. 60B. C. 30D.
【答案】B
【解析】
【分析】设出圆柱状建筑物的高度，利用直角三角形的边角关系列出方程求解作答.
【详解】设圆柱状建筑物的高度为，则有，即，
所以.
故选：B
10. 设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据双曲线的定义可得，又可得：，，结合，再利用余弦定理即可得解.
【详解】根据双曲线的定义得，
又因为，所以，．
又因为，
所以在中结合余弦定理的推论得：
，
因为，得的大小为．
故选：C
11. 我们把由半椭圆和半椭圆合成的曲线称作“果圆”（其中）．如图，是相应半椭圆的焦点．若是等腰直角三角形，则构成该“果圆”的两个半椭圆的离心率之积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件求得和的关系式，从而求得两个半椭圆的离心率之积.
【详解】因为是等腰直角三角形，所以，
则，即，
则构成该“果圆”的两个半椭圆的离心率之积为
故选：A
12. 已知，且，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造函数，利用导数讨论其单调性，将问题转化为比较，再转化为比较，构造函数，利用导数讨论其单调性，利用单调性即可得答案.
【详解】由题知，，
记，则，
当时，，单调递增，
故比较的大小关系，只需比较的大小关系，
即比较的大小关系，
记，则，
记，则，
所以在上单调递减，
又，
所以，当时，，单调递减，
所以，即，
所以，所以.
故选：D
【点睛】本题难点在于构造函数，将问题转化成比较的大小关系后，需要再次构造函数，对学生观察问题和分析问题的能力有很高的要求，属于难题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. i是虚数单位，若复数z满足，则______.
【答案】
【解析】
【分析】计算，再确定共轭复数即可.
【详解】，，故.
故答案为：.
14. 直线与垂直，则的值为______.
【答案】0或
【解析】
【分析】利用两直线垂直的充要条件计算即可.
【详解】由题意可知：或.
故答案为：0或
15. 若曲线与直线有两个交点，实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】画出图象，转化为直线与半圆的交点问题，数形结合来进行求解.
【详解】根据题意画出图形，如图所示，由题意可得，曲线的图象为以 为圆心，2为半径的半圆，
直线l恒过，由图当直线l与半圆相切时，圆心到直线l的距离 ，
即，解得；
当直线l过B点时，直线l的斜率k＝，
则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为.
故答案为：
16. 已知函数的定义域为，满足，且当时，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件，求得，结合的值以及递推关系，即可求得结果.
【详解】由，得，
于是，
又当时，，故可得，
则.
故答案为：.
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设等差数列的公差为，通过，，成等比数列可求得，进而求出.
（2）利用，再进一步裂项操作即可求和.
【小问1详解】
设等差数列的公差为（），
因为，且成等比数列，
所以，即，
解得（舍去）或，
所以.
【小问2详解】
由（1）可得，
所以
18. 已知的图象与直线y＝1相切，并且切点横坐标依次成公差为的等差数列．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若函数在上有零点，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)利用三角恒等变换得到函数解析式，再根据三角函数图象的性质确定，进而即可求出单调递增区间；(2)利用方程与函数的零点间的关系，根据函数的单调性与最值求解.
【小问1详解】
由题可得
，
所以，
因为且图象与直线y＝1相切，所以切点为函数图象的最高点，
所以，所以，
又因为切点横坐标依次成公差为的等差数列，所以，解得，
所以，
令即（），
所以函数的单调递增区间为
【小问2详解】
将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，
所以，
因为所以，所以，
所以当即时，有最大值为，
当即时，有最小值为，
因为函数在上有零点，
所以在上有零点，
所以，所以，
所以.
19. 已知两点，动点到点的距离是它到点的距离的倍.
（1）设动点的轨迹为曲线，求的标准方程；
（2）设直线，若直线与曲线交于两点，当最小时，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题目条件得到方程，化简后得到答案；
（2）求出直线过定点，当与直线垂直时，最小，根据垂直关系得到斜率，从而求出直线方程.
【小问1详解】
由题意得，
化简得，即为动点的轨迹方程；
【小问2详解】
由直线，即，
可令，
解得，则直线过定点，
设的圆心为，
当与直线垂直时，最小，此时，
即，得，
直线的方程为.
20. 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求的单调区间和极值．
【答案】（1）
（2）单调递减区间为，单调递增区间为；极小值为，无极大值.
【解析】
【分析】（1）求导，得到，利用导数几何意义求出切线方程；
（2）求定义域，求导，当时，，当时，，当时，，得到单调区间和极值情况.
【小问1详解】
，
，，
故曲线在点处的切线方程为，即；
小问2详解】
的定义域为，
故，
当时，，
当时，，当时，，
故的单调递减区间为，单调递增区间为，
的极小值为，无极大值.
21. 已知椭圆：的右焦点为F（1，0），短轴长为2.直线过点F且不平行于坐标轴，与有两个交点A，B，线段的中点为M.
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
（3）延长线段与椭圆交于点P，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由题可知，，，再结合，解出值即可得解；
（2）设直线的方程为，联立直线的方程和椭圆的方程，得韦达定理；利用中点坐标公式以及斜率公式得直线的斜率，进而得解；
（3）若四边形为平行四边形，则，利用平面向量的线性坐标运算可以用表示点的坐标，再将其代入椭圆方程即可得到关于的方程，解之即可得解．
【小问1详解】
由题意可知，，，
，，
椭圆的方程为．
【小问2详解】
设直线的方程为，，，，，
联立，消去得，，
则，
为线段的中点，，，
，
为定值．
【小问3详解】
若四边形为平行四边形，则，
，，
点在椭圆上，，解得，即，
当四边形为平行四边形时，直线的斜率为．
选做题：第22题，23题中 选做一题，多做或做错按照第一题计分
[选修 4-4: 坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线（为参数）．
（1）求的极坐标方程；
（2）已知点，曲线的极坐标方程为，与的交点为，与的交点为，，求的面积．
【答案】22
23.
【解析】
【分析】（1）首先将的参数方程化为普通方程，再化为极坐标方程；
（2）设点、的极坐标分别为、，即可求出、的极坐标，从而求出，求出点到直线的距离，即可求出面积.
【小问1详解】
曲线（为参数）消去参数可得，
又，代入上式得，整理得，
即的极坐标方程为.
【小问2详解】
设点、的极坐标分别为、，
由，解得，即的极坐标为，
由，解得，即的极坐标为，
所以，
又点到曲线的距离为，
所以.
[选修 4-5: 不等式选讲]
23. 已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）记函数的最小值为m，若a，b，c均为正实数，且，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）去掉绝对值，再讨论得出解集；
（2）由函数的单调性得出，结合以及换元法，得出，最后由基本不等式得出最值.
【小问1详解】
由题意可得，
，
不等式等价于或，解得或.
即不等式的解集为.
【小问2详解】
由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
且，即函数在最小值，即.
因为，所以.
令，则
，
当且仅当，即时，取等号.
即的最小值为.