第14讲 线段垂直平分线、角平分线及轨迹（考点定位精讲讲练）-2022学年八年级数学上学期期末考试满分全攻略（沪教版）教师版

这是一份第14讲 线段垂直平分线、角平分线及轨迹（考点定位精讲讲练）-2022学年八年级数学上学期期末考试满分全攻略（沪教版）教师版，共17页。试卷主要包含了逆命题和逆定理，线段的垂直平分线，角的平分线，轨迹等内容，欢迎下载使用。

1.逆命题和逆定理
逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题；若其中一个命题为原命题，则另一个叫它的逆命题；
逆定理：若一个定理的逆命题经过证明是也是定理，那么这两个定理叫互逆定理，其中一个是另一个的逆定理；
2.线段的垂直平分线
3.角的平分线
4.轨迹
【典例分析】
考点一：逆命题和逆定理
例1 （2019位育10月考11）写出命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题：如果 ，那么 .
【答案】一个三角形的两条边上的高相等；这个三角形为等腰三角形；
【解析】解：原命题的条件是：等腰三角形，结论是：两条腰上的高相等；故其逆命题为：如果一个三角形的两条边上的高相等，那么这个三角形为等腰三角形.
例2 （宝山2017期末13）直角三角形两锐角互余的逆命题是 .
【答案与解析】直角三角形两锐角互余的逆命题是“两个锐角互余的三角形是直角三角形”.
考点二：.线段的垂直平分线
例3（2019位育10月考14）如图，在中，AB=AC，，AB的垂直平分线分别交AC和AB于点D和E，那么= .
【答案】；
【解析】解：因为AB=AC，，所以，又DE垂直平分线段AB，所以DA=DB，所以，所以.
考点三：角平分线
例4 （黄浦2017期末21）如图，，点C在OB上.
（1）求作：内部一点P，使点P到的两边OA、OB的距离相等，且PO＝PC；
（不要求写出作法和证明，但要求保留作图痕迹，并写出结论）
（2）若上题中的点P到OA的距离是4cm，则PC的长是 cm.
【答案】（1）如图所示；（2）8.
【解析】(2)因为P到的两边OA、OB的距离相等，所以PD=PE=4，又，点P在的平分线上，故，又，所以PO=2PE=8，又PO=PC，所以PC=8.
例5（2019位育10月考15）如图，已知：中，，AC=40，BD平分交AC于D，AD：DC=5：3，则D点到AB的距离为 .
【答案】15；
【解析】解：因为AC=40，AD：DC=5：3，所以，又BD平分交AC于D，故D点到AB的距离与D到BC边的距离DC相等，故D点到AB的距离为15.
例6（2019位育10月考23）已知：如图，在中，AB=2AC，过点C作，交的平分线于点D.求证：.

【答案与解析】解：过D作于点E，又，所以，又AD平分，所以，又AD=AD，故，所以AC=AE，又AB=2AC，故AE=BE，所以DE垂直平分线段AB，故DB=DA，所以即.
考点四：轨迹
例7 （普陀2017期末13）经过定点A且半径为5cm的圆的圆心的轨迹是 .
【答案与解析】经过定点A且半径为5cm的圆的圆心的轨迹是：以A为圆心，5cm长为半径的圆.
例8（浦东南片2020期末14）经过点且半径为的圆的圆心轨迹是_________.
【答案】以A为圆心，2cm为半径的圆;
【解析】解：经过点A且半径为2cm的圆的圆心轨迹是以A为圆心，2cm为半径的圆.
一、选择题
1.（2019位育10月考5）下列命题正确的是（ ）
A.到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；
B.线段的垂直平分线上的点与该线段的两端点均能构成等腰三角形；
C.三角形一边的两端到这边中线所在的直线的距离相等；
D.两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等.
【答案】C；
【解析】解：A、到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上或者在角平分线的反向延长线上，故A错误；B、若这点在该线段的中点时，不能构成等腰三角形，故B错误；C、正确；D、不一定全等，故D错误；因此答案选C.
2.（2019浦东四署12月考6）线段AB的垂直平分线上一点P到A点的距离PA=5，则点P到B点的距离PB等于（ ）
A.； B. ; C. ; D.无法确定.
【答案】A；
【解析】解：线段AB的垂直平分线上一点P到A点、B点的距离相等，故PB=5.
3.（浦东新区2020期末5）在下列各原命题中，其逆命题为假命题的是（ ）
A. 直角三角形的两个锐角互余 B. 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
C. 等腰三角形两个底角相等 D. 同角的余角相等
【答案】D；
【解析】解：A、逆命题是：两个锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题，故A不符合题意；
B、逆命题是：如果一个三角形有两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形，是真命题，故B不符合题意；C、逆命题是：有两个角相等的三角形是等腰三角形，是真命题，故C不符合题意；D、逆命题是：如果两个角相等，那么它们是同一个角的余角，是假命题，故D符合题意．故选：D．
4.（松江区2020期末6）下列说法错误的是（ ）
A．在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线
B．到点P距离等于1 cm的点的轨迹是以点P为圆心，半径长为1cm的圆
C．到直线l距离等于2 cm的点的轨迹是两条平行于l且与l的距离等于2cm的直线
D．等腰△ABC的底边BC固定，顶点A的轨迹是线段BC的垂直平分线
【答案】D；
【解析】解：在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线，A正确；到点P距离等于1 cm的点的轨迹是以点P为圆心，半径长为1cm的圆，B正确；到直线l距离等于2 cm的点的轨迹是两条平行于l且与l的距离等于2cm的直线，C正确；等腰△ABC的底边BC固定，顶点A的轨迹是线段BC的垂直平分线（BC的中点除外），D错误，故选：D．
5.（金山2020期末5）已知△ABC内一点M,如果点M到两边AB、BC的距离相等,那么点M( )
A. 在AC边的高上B. 在AC边的中线上
C. 在∠ABC的平分线上D. 在AC边的垂直平分线上
【答案】C；
【解析】解：∵由角平分线上点到角两边距离相等的性质，∴点M应在∠ABC的平分线上．故选C．
6.（市西2020期末6）下列说法错误的是（ ）
A. 到点距离等于的点的轨迹是以点为圆心，半径长为的圆
B. 等腰的底边固定，顶点的轨迹是线段的垂直平分线
C. 在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨边是这个角的平分线
D. 到直线距离等于的点的轨迹是两条平行于且与的距离等于的直线
【答案】B；
【解析】解：A、到点P距离等于1cm的点的轨迹是以点P为圆心，半径为1cm的圆，故A选项不符合题意；B、等腰△ABC的底边BC固定，顶点A的轨迹是线段BC的垂直平分线（线段BC中点除外），故B选项符合题意；C、在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线，故C选项不符合题意；D、到直线l的距离等于2cm的点的轨迹是两条平行于l且与l的距离等于2cm的直线，故D选项不符合题意；故选：B．
7.（浦东南片2020期末6）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A. 全等三角形面积相等；B. 等腰三角形两个底角相等；
C. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；D. 在角的平分线上任意一点到这个角的两边的距离相等.
【答案】A；
【解析】解：A.逆命题为：面积相等的三角形是全等三角形，是假命题，符合题意；B.逆命题为：两个角相等的三角形是等腰三角形，是真命题，不符合题意；C.逆命题为：一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形，是真命题，不符合题意；D.在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，是真命题，不符合题意.故选：A.
8.（浦东四署2020期末6）如图，在中，点D在BC边上，DE垂直平分AC边，垂足为点E，若，且AB+BD=BC，则的度数是（ ）
A.； B. ； C. ； D. .

【答案】D；
【解析】如下图，联结AD，因为AB+BD=BC，所以AB=CD，又DE垂直平分AC边，所以AD=CD，故AB=AD=CD，所以所以，
，故，因此选D.
二、填空题
9.（金山2020期末15）命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是__________
【答案】如果两个三角形的面积相等，那么是全等三角形；
【解析】解：命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是：如果两个三角形的面积相等，那么是全等三角形.
故答案为：如果两个三角形的面积相等，那么是全等三角形.
10.（2019位育10月考12）平面内到点O的距离等于3厘米的点的轨迹是 .
【答案】以O为圆心，3cm为半径的圆；
【解析】解: 平面内到点O的距离等于3厘米的点的轨迹是：以O为圆心，3cm为半径的圆.
11.（2019浦东四署12月考15）经过已知点A和点B的圆的圆心的轨迹是 .
【答案】线段AB的垂直平分线；
【解析】解：经过已知点A和点B的圆的圆心的轨迹是：线段AB的垂直平分线.
12.（市西2020期末9）命题“对顶角相等”的逆命题的题设是___________.
【答案】两个角相等；
【解析】解：命题“对顶角相等”的逆命题是：“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，题设是：两个角相等,故答案为：两个角相等．
13.（浦东新区2020期末14）到点P的距离等于4cm的点的轨迹是_____．
【答案】以P为圆心4cm长为半径的圆；
【解析】解：到点P的距离等于4cm的点的轨迹是以P为圆心，以4cm为半径的圆．
14.（2019位育10月考13）到三角形三个顶点距离相等的点，是三角形的 的交点.
【答案】三边的垂直平分线；
【解析】解：到三角形三个顶点距离相等的点，是三角形的三边的垂直平分线的交点.
15.（浦东四署2020期末16）如图，中，BD平分，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF，若，则的度数为 .
【答案】；
【解析】解：因为BD平分，所以，因为EF垂直平分BC，所以，故设，因为，所以，解得，故.
16.（浦东南片2020期末15）如图，在中，，垂直平分交于，若，则_________.
【答案】；
【解析】解：∵DE垂直平分AB,∴AE=BE,∵,∴∠BEC=,在Rt△BCE中， ，,BC=1，∴BE=2BC=2，∴,∴AC=AE+EC=2+.
17.（2019位育10月考16）如图，在中，BC=8cm，BC边的垂直平分线交BC点D，交AB于点E，如果的周长为15cm，那么的周长为 cm.
【答案】23；
【解析】解：因为BC边的垂直平分线交为DE，所以EB＝EC，又的周长为15cm，所以AE＋AC＋EC＝AE＋AC＋BE＝１５ｃｍ，即AB＋AC＝１５ｃｍ，所以AB＋AC＋BC＝１５＋８＝２３ｃｍ．
18.（2019浦东四署12月考16）如图，中，AD平分，AB=4，AC=2，且的面积为2，则的面积为 .

【答案】3；
【解析】解：过D点作因为AD平分，所以DE＝DF，又的面积为2，即，得DE＝１，所以，所以．
19.（2019复附10月考14）如图，在中，已知点O是边AB、AC垂直平分线的交点，点E是角平分线的交点，若，则= 度.
【答案】36；
【解析】解：因为点O是边AB、AC垂直平分线的交点，所以可得，又点E是角平分线的交点，所以＝＝，因为，所以，解得．
20.（2019浦东一署10月考17）根据下图和命题“等腰三角形底边上的中线是顶角的角平分线”写出：
已知： ；
求证： .
【答案】已知：中，AB=AC，AD是BC边上的中线； 求证：AD平分；
【解析】解：根据图形，可知已知条件：中，AB=AC，AD是BC边上的中线；结论是：AD是的角平分线.
21.（2019浦东四署12月考18）在中，边AB、AC的垂直平分线分别交边BC于点D、点E，，则= .
【答案】；
【解析】解：如图，当D在E点的右边时，可知，，故得
，解得即；当点D在点E的左边时，同理，，所以，得即，综上述.
22.（松江区2020期末15）如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线EF分别交BC、AB于点E、F，∠AEF＝65°，那么∠CAE＝ ．
【答案】40°；
【解析】解：∵AB的垂直平分线EF分别交BC、AB于点E、F，∴AF＝BF，EF⊥AB，∴AE＝BE，∴∠BEF＝∠AEF＝65°，∴∠AEB＝130°，∵∠C＝90°，∴∠CAE＝∠AEB﹣∠C＝40°，故答案为：40°．
23.（市西2020期末15）如图，已知在中，平分，，则___________. （用含的代数式表示）.

【答案】a-b;
【解析】解:在CB上截取CA′=CA，连接DA′，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠A′CD，在△ADC和△A′DC中， ，∴△ADC≌△A′DC（SAS），∴DA′=DA，∠CA′D=∠A，∵∠A=2∠B，∠CA′D=∠B+∠A′DB，∴∠A′DB=∠B，∴BA′=A′D=AD，∴BC=CA′+BA′=AC+AD∴AD=BC-AC=a-b.
24.（市西2020期末13）如图，已知在中，的垂直平分线交于点，交于点，若，则的周长是___________.
【答案】9;
【解析】解： ∵AB的垂直平分线DE交AC于点D，∴DA=DB，∴△DBC的周长为DC+DB+BC=DC+AD+BC=AC+BC=5+4=9cm，故答案为：9．
25.（浦东四署2020期末15）如图，中，AB＝8，BC＝10，BD是的角平分线，于点E，若DE＝4，则的面积为 .
【答案】36;
【解析】过D作于F，因为BD是的角平分线，，故DF=DE=4；
所以=
三、解答题
26.（2019位育10月考21）已知：内一点C.
求作：点P，使PC=PO，且点P到的两边OA、OB的距离相等.
【答案与解析】解：联结OC，作线段OC的垂直平分线，再作的角平分线OD，直线与射线OD交于点P，如图所示，点P为所画的点.
27.（2019浦东四署12月考24）如图，已知.
（1）根据要求作图：在边BC上求作一点D，使得点D到AB、AC的距离相等，在边AB上求作一点E，使得点E到点A、D的距离相等；（不需要写作法，但需要保留作图痕迹和结论）
（2）在第（1）小题所作出的图中，求证：DE//AC.

【答案与解析】解：（1）如图所示，点D和点E就是所求作的点；（2）因为点D到AB、AC的距离相等，所以，因为EA=ED，所以，所以，所以DE//AC.
28.（金山2020期末23）已知：△ABC中, AB=AC,∠BAC=120∘．
（1）利用直尺、圆规,求作AB的垂直平分线DE,交BC于点D、交AB于点E；(不要求写出作法, 但要求保留作图痕迹)
（2）若BD=3，求BC的长.
【答案】（1）见解析；（2）9；
【解析】解：（1）如图，DE为所作；（2）连接AD，如图，∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，
∴∠B=∠C=30°，∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∵BD=3，∴AD=3，∴∠BAD=∠B=30°，
∴∠CAD=120°−30°=90°，∴CD=2AD=6，∴BC=BD+CD=3+6=9.
29.（2019浦东四署12月考23）如图，在中，AD垂直平分BC，E是AB边上一点，连接ED，F是ED延长线上一点，连接CF，若BC平分，求证：BE=CF.
【答案与解析】解：因为AD垂直平分BC，所以AB=AC，BD=DC，所以，因为BC平分，所以，所以，在在△BDE和△CDF中， ，∴△BDE≌△CDF（ASA），所以BE=CF.
30.（2019曹杨10月考23）已知：如图，AD平分，AD=BD，. 求证：.

【答案与解析】解：过D点作于点E，，因为AD＝BD，所以，又，所以AE＝AC，因为AD平分，所以，在中，，所以，所以，所以．
31.（浦东新区2020期末23）已知：如图，在△ABC中，AB=2AC，过点C作CD⊥AC，交∠BAC的平分线于点D．求证：AD=BD．
【答案与解析】解：证明：过D作DE⊥AB于E，∵AD平分∠BAC，CD⊥AC，∴DE=DC，在△DEA和△DCA中，，∴△DEA≌△DCA，∴AE=AC，∵2AC=AB∴AE=AC=BE∵AE⊥DE
∴AD=BD
32.（徐教院附2019期中27）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，CE∥AB，AD平分∠EAB
(1)延长AD、CE相交于点F，求证:AB＝CE+AE
(2)当点E和点C重合时，试判断△ABC的形状，请画出图形，并说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）等腰三角形，图形及理由见解析.
【解析】解:（1）证明：∵点D是边BC的中点，∴BD=CD，∵CE∥AB，∴∠BAD=∠F，
在△ABD和△FCD中，,∴△ABD≌△FCD（AAS），∴AB=CF，∵AD平分∠EAB，
∴∠BAD=∠DAE，∴∠F=∠DAE，∴AE=EF，∵CF=CE+EF，∴AB=CE+AE；（2）解：△ABC为等腰三角形，图形及理由如下：过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，∵AD平分∠EAB即AD平分∠CAB，且DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM=DN，∠DMB=∠DNC=90°，∵点D是边BC的中点，
∴BD=CD，在Rt△BDM和Rt△CDN中，，∴Rt△BDM≌Rt△CDN（HL），∴∠B=∠C，
∴AB=AC，即△ABC为等腰三角形.
33.（2019浦东四署12月考26）已知：是三边都不相等的三角形，点O和点P是这个三角形内部两点.
（1）如图①，如果点P是这个三角形三个内角平分线的交点，那么有怎样的数量关系？请说明理由；
（2）如图②，如果点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，那么有怎样的数量关系？请说明理由；
（3）如图③，如果点P（三角形三个内角平分线的交点），点O（三角形三边垂直平分线的交点）同时在不等边的内部，那么有怎样的数量关系？请直接回答.
【答案】(1) ；（2）；（3）；
【解析】解：（1），因为BP平分，CP平分，所以，，所以=
==；（2）. 连接AO，因为点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，所以OA=OB=OC，所以，所以，所以=
=.（3），因为点P为三角形三个内角平分线的交点，所以即，因为点O为三角形三边垂直平分线的交点，所以，所以=即.
34.（2019复附10月考27）已知中，记.
（1）如图a, 若AP平分，BP、CP分别是的外角和的平分线，，用含的代数式表示的度数，用含的代数式表示的度数，并说明理由.
（2）如图b，若点P为的三条内角平分线的交点，于点D，猜想（1）中的两个结论是否发生变化，补全图形并直接写出你的结论.
= , = .
【答案】（1）；；（2）；；
【解析】解：（1）在中，，，所以，又，，所以=，所以，因为在中，，所以； 因为，所以，又因为BP平分，所以，同理，因为，所以，得，因为在中，，，所以即；（2）；.