哈尔滨市第九中学校2024届高三上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份哈尔滨市第九中学校2024届高三上学期期中考试数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．若复数z满足,则z的共轭复数的虚部为( )
A.B.C.D.
3．在等差数列中,若,,则( )
A.20B.24C.27D.29
4．“,”是“”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
5．下列命题中,真命题的是( )
A.函数的周期是B.,
C.函数是奇函数.D.的充要条件是
6．设,,是与的等差中项,则的最小值为( )
A.B.3C.9D.
7．已知中,,,点D为AC的中点,点M为边BC上一动点,则的最小值为( )
A.27B.0C.D.
8．在流行病学中,基本传染数是指在没有外力介入,同时所有人都没有免疫力的情况下,一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期,感染者与其他人的接触频率,每次接触过程中传染的概率决定.对于,而且死亡率较高的传染病,一般要隔离感染者,以控制传染源,切断传播途径.假设某种传染病的基本传染数,平均感染周期为7天(初始感染者传染个人为第一轮传染,经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……)那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为(参考数据:,)( )
A.35B.42C.49D.56
二、多项选择题
9．数列满足:,,,下列说法正确的是( )
A.数列为等比数列B.
C.数列是递减数列D.的前n项和
10．下列说法中正确的是( )
A.在中,,,,若,则为锐角三角形
B.非零向量和满足,,则
C.已知,,且与的夹角为锐角,则实数的取值范围是
D.在中,若,则与的面积之比为
11．已知函数,则( )
A.若,则
B.若函数为偶函数,则
C.若上单调,则
D.若时,且在上单调,则
12．已知,若恒成立,则不正确的是( )
A.的单调递增区间为
B.方程可能有三个实数根
C.若函数在处的切线经过原点,则
D.过图象上任何一点,最多可作函数的8条切线
三、填空题
13．已知数列的前n项和为,且,则数列的通项公式______.
14．已知的面积,,则________;
15．若,则________.
16．,为一个有序实数组,表示把A中每个-1都变为,0,每个0都变为,1,每个1都变为0,1所得到的新的有序实数组,例如:,则.定义,,2,3,…,若,中有项为1,则的前项和为________.
四、解答题
17．设向量,,
（1）若,求x的值;
（2）设函数,求的最大值
18．如图,在四棱锥中,底面ABCD是菱形,,平面ABCD,,且点E,F分别为AB和PD中点.
（1）求证:直线平面PEC;
（2）求PB与平面PAD所成角的正弦值.
19．已知数列满足,且.
（1）求通项公式;
（2）若数列的前n项和为,且,求数列的前n项和.
20．在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,的面积为.已知①;
②;
③,从这三个条件中任选一个,回答下列问题.
（1）求角B;
（2）若.求的取值范围.
21．已知等差数列满足,且,,成等比数列.
（1）求的通项公式;
（2）设,的前n项和分别为,.若的公差为整数,且,求.
22．已知函数,.
（1）当时,求的单调区间;
（2）当时,若不等式恒成立,求m的取值范围;
（3）设,证明:.
参考答案
1．答案：D
解析：因为,,
所以,
故选:D.
2．答案：D
解析：因为复数z满足,
所以,所以z的共轭复数.
其虚部为:2.
故选:D
3．答案：D
解析：,所以,又,所以,
所以,
故选:D
4．答案：A
解析：,时,,
,时,,
所以“,”是“”的充分而不必要条件,
故选:A.
5．答案：C
解析：选项B,代入,可判断;
选项C,结合定义域和,可判断;
选项D,由得且,可判断
解析：由于,,所以函数的周期不是,故选项A是假命题;
当时,故选项B是假命题;
函数的定义域关于原点对称,且满足,故函数是奇函数,即选项C是真命题;
由得且,所以“”的必要不充分条件是“”,故选项D是假命题
故选:C
6．答案：C
解析：是与的等差中项,
,,
即,即,
则,
当且仅当,即时取等号.
故选C.
7．答案：D
解析：以BC所在直线为x轴,线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示,
由题意可知,,,,
设,其中,则,,
故,
所以当时,有最小值.
故选:D.
8．答案：B
解析：感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n轮传染,
则每轮新增感染人数为,
经过n轮传染,总共感染人数:,
,当感染人数增加到1000人时,,化简得,
由,故得,又平均感染周期为7天,
所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要天,
故选:B
9．答案：AB
解析：数列满足:,,,
,,
,
数列为首项为,公比为3的等比数列,故A正确;
,,故B正确;
数列是递增数列,故C错误;
数列的前项和为:,
的前项和,故D错误.
故选:AB
10．答案：BD
解析：即,,为钝角,故A错误;
,,
,,故B正确;
,当时,与同向,夹角不是锐角,故C错误;
,,
延长AO交BC于D,如图所示.
,共线,存在实数,,
D,B,C共线,,,
,,.
,,故D正确.
故选:BD.
11．答案：BD
解析：对于选项A,若,则,即,,,则A错误;
对于选项B,若函数为偶函数,则或,即,则B正确;
对于选项C:若在上单调,则,但不一定小于,则C错误;
对于选项D:若,则,当时,,在上单调,,解得,则D正确.
故选:BD.
12．答案：ABC
解析：A选项,因为函数,时,由于恒成立,
故要想恒正,则要满足,
时,恒成立,,
当时,在恒成立,
故在单调递增,又当时,,
故在上恒成立,满足要求,
当时,令,故存,使得,
当时,,当时,,
故在上单调递减,
又当时,,故时,,不合题意,舍去,
综上:,
当时,,,
且,画出函数图象如下,
故的单调递增区间为,,A错误;
B选项,可以看出方程最多有两个实数解,不可能有三个实数根,B错误;
C选项,当时,,则,
则函数在处的切线方程为,
将代入切线方程得,解得,
当时,,则,
则函数在处的切线方程为,
将代入切线方程得,,
其中满足上式,不满足,故C错误;
D选项,当时,设上一点,
,当切点为,则,
故切线方程为,此时有一条切线,
当切点不为时,设切点为,
则,此时有,
即,其中表示直线的斜率,
画出与的图象,
最多有6个交点,故可作6条切线,
时,当切点不为时,设切点为,
则,,,
,,
结合图象可得,存在一个点,
使得过点的切线过上时函数的一点,
故可得一条切线,
当M点在时的函数图象上时,由图象可知,
不可能作8条切线,综上,过图象上任何一点,
最多可作函数f(x)的8条切线,D正确.
故选:ABC
13．答案：
解析：当时,,解得:;
当时,,,
则数列是以1为首项,2为公比的等比数列,.
故答案为:.
14．答案：2
解析：由题可知,因为,所以解得
由数量积的定义可得
15．答案：
解析：,.
,
.
故答案为:
16．答案：
解析：因为,依题意得,,,
显然,中有2项,其中1项为,1项为1,
中有4项,其中1项为,1项为1,2项为0,
中有8项,其中3项,3项为1,2项为0,
由此可得中共有项,其中1和的项数相同,
设中有项为0,所以,,
从而①,
因为表示把A中每个都变为,0,每个0都变为,1,每个1都变为0,1所得到的新的有序实数组,
则②,
①+②得,③,
所以④,
④-③得,,
所以当n为奇数且时,
,
经检验时符合,
所以(n为奇数),
当n为偶数时,则为奇数,
又因为,
所以,
所以,
当n为奇数时,,
所以的前2n项和为
.
故答案为:.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由,
,
及,得.
又,从而,所以.
（2）,
当时,,
当时,
即时,取最大值1.
所以的最大值为.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明:取PC的中点M,连接MF,EM,
在中,因为M,F分别为PC,PD的中点,可得且,
又因为E为AB的中点,所以且,
所以且,所以四边形AEMF为平行四边形,所以,
因为平面PCE,平面PCE,所以平面PCE.
（2）因为底面ABCD是菱形,且,连接BD,可得为等边三角形,
又因为E为AB的中点,所以,则,
又由平面ABCD,以D为坐标原点,以DE,DC,DP所在的直线分别为x,y和z轴建立空间直角坐标系,如图所示,
因为底面ABCD是菱形,且,,
可得,,,,
则,,,
设平面PAD的法向量为,则,
取,可得,,所以,
设直线PB与平面PAD所成的角为,
则,
所以直线PB与平面PAD所成角的正弦值为.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,
所以
,
所以.
（2）因为,所以当时,,得;
当时,,
所以(时也成立).
因为,
所以,
所以
,
故.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）选①,由可得:
,故有,
又,;
选②,,
由正余弦定理得,,
又,;
选③,,由正弦定理可得,
,
,,,又,.
（2）由余弦定理得,,.
又有,当且仅当时取等号,
可得.即的取值范围是.
21．答案：（1）或()
（2）当n为正偶数时,,当n为正奇数时,
解析：（1）设等差数列的公差为d,
,,
,,成等比,,
即,得,解得或,
当时,;
当时,;
或().
（2）因为等差数列的公差为整数,由（1）得,
所以,则,
.
①当n为偶数时
.
②当n为奇数时
.
所以当n为正偶数时,,当n为正奇数时,.
22．答案：（1）递增区间为,递减区间为
（2）
（3）证明见解析
解析：（1）当时,,
则,
令,得;令,得,
所以的单调递增区间为,单调递减区间为.
（2）由,得,
设,
当时,,,
所以当时,,不符合题意.
当时,,
设,,
其图象为开口向下的抛物线,对称轴为,
当,即时,
因为,
所以当时,,即,
此时单调递增,所以,不符合题意.
当,即时,在上单调递减,
所以,
所以,所以在上单调递减,
所以,符合题意.
综上所述,m的取值范围为.
（3）由（2）可得当时,,即,
令,,则,
所以,,…,,
以上各式相加得,
即,
所以