四川省仁寿第一中学南校区2024届高三上学期12月月考数学（文）试卷(含答案)

这是一份四川省仁寿第一中学南校区2024届高三上学期12月月考数学（文）试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．如果复数是纯虚数,,i是虚数单位,则( )
A.且B.C.D.或
3．在中,“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．某程序框图如图,该程序运行后输出的值是( )
A.-3B.C.D.2
5．已知抛物线的焦点为F,点M在抛物线C上,且,O为坐标原点,则( )
A.B.C.4D.5
6．已知正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）中,,点E是的中点,则异面直线CE与所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
7．已知是第一象限角,满足,则( )
A.B.C.D.
8．同时转动如图所示的两个转盘,记转盘甲得到的数为x,转盘乙得到的数为y,构成数对,则所有数对中满足的概率为（ ）
A.B.C.D.
9．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,所得图象在区间上恰有两个零点,且在上单调递减,则的取值范围为( )
A.B.C.D.
10．已知,,,则a,b,c的大小关系为( )
A.B.C.D.
11．半正多面体（semiregular slid）亦称“阿基米德多面体”,是由边数不全相同的正多边形围成的多面体,体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体,是由正方体切截而成的,它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示）,则二十四等边体的体积与其外接球体积之比为( )
A.B.C.D.
12．定义在R上的奇函数满足,且当时,,则函数在区间上所有零点之和为( )
A.16B.32C.36D.48
二、填空题
13．已知向量,,则与夹角的余弦值为______.
14．设命题,,若是假命题,则实数a的取值范围是________.
15．设双曲线的左、右焦点分别为,,以为圆心的圆恰好与双曲线C的两渐近线相切,且该圆过线段的中点,则双曲线C的离心率是_____.
16．的外心为O,三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,,,则面积的最大值是______
三、解答题
17．已知数列中,,
（1）求证：数列是等差数列,并求出的通项公式;
（2）设,求数列的前n项和
18．某校举行中国共产主义青年团成立100周年知识竞赛,随机抽取300名学生的竞赛成绩（总分：100分）,统计结果如下.
（1）当时,分别估计男、女生竞赛成绩的中位数与.
（2）该校竞赛委员会规定成绩不低于80分者为优秀,否则为非优秀.根据所给数据,完成下面的列联表.
设,,若有的把握认为男、女生竞赛成绩有差异,求m的最小值.
附：,其中.
19．如图所示,已知是边长为6的等边三角形,点M、N分别在AB,AC上,,O是线段MN的中点,将沿直线MN进行翻折,A翻折到点P,使得平面平面,如图所示.
（1）求证：;
（2）若,求点M到平面PBC的距离.
20．已知A,B分别是椭圆的右顶点和上顶点,,直线AB的斜率为.
（1）求椭圆的方程;
（2）直线,与x轴交于点M,与椭圆相交于点C,D,求证：为定值.
21．函数的最小值为m.
（1）判断m与2的大小,并说明理由：
（2）求函数的最大值.
22．在直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为（t为参数）,曲线的参数方程为（为参数）,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线与曲线的极坐标方程;
（2）曲线与曲线交于A,B两点.求的值.
23．已知函数,.
（1）当时,求不等式解集;
（2）设,,记的最小值A,的最大值为B,求.（表示p,q中的较大值,表示p,q中的较小值.）
参考答案
1．答案：D
解析：,故,,
解得：或,故或,所以.
故选：D.
2．答案：C
解析：由复数是纯虚数,得,解得.
故选：C.
3．答案：B
解析：在中,,由,可得,
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
4．答案：D
解析：根据给定的程序框图,可得：
第1次循环,满足判断条件,,,执行循环;
第2次循环,满足判断条件,,,执行循环;
第3次循环,满足判断条件,,,执行循环;
第4次循环,满足判断条件,,,执行循环;
第5次循环,满足判断条件,,,执行循环;
第6次循环,满足判断条件,,,执行循环;
……..
可得S的输出,构成以4项,,,2为周期的周期性输出,
当时,输出的结果为.
故选：D.
5．答案：B
解析：设,由得,又,得,
所以,.
故选：B.
6．答案：B
解析：如图,取BC中点为D,连接AD,,设,,
,由,且,
所以四边形为平行四边形,所以,
故（或其补角）为异面直线CE与所成角,
由为等边三角形,D为BC的中点,所以,
又平面ABC平面,平面ABC平面,AD平面ABC,
所以AD平面,平面,所以,
所以.
故选：B.
7．答案：B
解析：因为是第一象限,则为第一象限角或第二象限角,
且,所以,
由题意可得：.
故选：B.
8．答案：C
解析：数对所有可能的结果有：,,,,,,,,,共9个;
其中满足的数对有：,,,共3个;所求概率.
故选：C.
9．答案：C
解析：依题意可得,
因为,所以,
因为在恰有2个零点,且,,
所以,解得,
令,,得,,
令,得在上单调递减,
所以,所以,又,解得.
综上所述,,故的取值范围是.
故选：C.
10．答案：A
解析：由题意可得,
,,
又,
由于,,,,
故,,综合可得,
故选：A.
11．答案：C
解析：设,则二十四等边体的外接球半径为2a,
其外接球体积为,
二十四等边体可以看成一个长方体加上四个四棱锥拼接而成的几何体,
故所求体积,
故二十四等边体的体积与其外接球体积之比为,
故选：C.
12．答案：B
解析：依题意函数为定义在R上的奇函数,所以,
又,所以函数关于轴对称,且,
所以,即,
所以,所以函数是周期为4的周期函数,
且函数的图象关于中心对称;
令,得,
由反比例函数性质知函数的图象关于中心对称,
又当时,,
结合对称性和周期性作出函数和的图象,如图所示,
由图可知,函数和的图象有8个交点,
且交点关于中心对称,
所以函数在区间上所有零点之和为.
故选：B.
13．答案：
解析：依题意,,
故与夹角的余弦值为.
故答案为：.
14．答案：
解析：是假命题,是真命题,
,,,,
当时,,当且仅当时,即时,等号成立,
,可取到,,,
故答案为：.
15．答案：
解析：
由题意知：渐近线方程为,由焦点,,
则圆的半径为,又该圆过线段的中点,
故,离心率为.
故答案为：.
16．答案：12
解析：取BC边的中点M,连接OM、AM,
O为的外心,,即,
M为BC边的中点,∴AM为BC边的中线,,
,
又,,整理得,
由余弦定理可得,,
又,由余弦定理,即,
由基本不等式,
即,当且仅当时,等号成立,
的面积,
即当且仅当时, 面积的最大值为12.
故答案为：12.
17．答案：（1）证明见解析;,
（2）
解析：（1）当时,由可得,易知;
两边同时取倒数可得,即,
由等差数列定义可得是以为首项,公差的等差数列,
所以,即,可得,
显然时,符合上式,即的通项公式为,;
（2）由（1）可得,
所以,
,
两式相减可得
,所以
18．答案：（1）82.5,83
（2）填表见解析;41
解析：（1）当时,在男生成绩样本中,
竞赛成绩在,,内的频数分别为30,30,60,
显然,,所以,
则,解得.
同理可知,,则,解得,
因此男、女生竞赛成绩的中位数的估计值分别为82.5和83.
（2）列联表：
由表中数据可知,,,
.
由题意可知,.整理,得.
又,,所以m的最小值为41.
19．答案：（1）证明见解析;
（2）
解析：（1）证明：因为是边长为6的等边三角形,且,
在中,可得,又因为点O是线段MN的中点,所以,
因为平面PMN平面MNCB,且PO平面PMN,平面PMN平面,
所以PO平面MNCB,又因为BM平面MNCB,所以.
（2）
由是边长为6的等边三角形,可得的高为,
因为,,可得,,
则的面积为,
又由PO平面MNCB,且,
所以三棱锥的体积为,
在直角中,,,可得,
所以的面积为,
设点O到平面PBC的距离为d,
因为,可得,解得,
又由,且MN平面PBC,BC平面PBC,所以MN平面PBC,
则点M到平面PBC的距离与点O到平面PBC的距离相等,
所以点M到平面PBC的距离为.
20．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）A,B分别是椭圆的右顶点和上顶点,,
可得,,因为,所以,
直线AB的斜率为,所以,解得,,
所以椭圆的方程为;
（2）设直线l的方程为,则,
与椭圆方程联立可得,
由得,
设,,可得,,
,
所以为定值.
21．答案：（1）
（2）0
解析：（1）理由如下：
由可得：函数定义域为;.
在上单调递增.
,
存在唯一的,使得,即.
当时,;当时,.
即函数在上单调递减,在上单调递增.
故.
;
,即.
因为函数在上单调递减,
,即,故.
（2）由,得：函数定义域为,
,.
在上单调递减.
当时,;当时,.
存在唯一的,使得,即.
当时,;当时,,
即函数在上单调递增,在上单调递减.
故.
,即.
由（1）知：,则.
令,函数在上单调递增,在上单调递增.
函数在上单调递增, .
故函数的最大值为0.
22．答案：（1）的极坐标方程为,
的极坐标方程为;
（2）
解析：（1）由题意得：由（t为参数）,消去t得：
故的极坐标方程为由（为参数）,
消去得：,故的极坐标方程为
（2）设,.联立,
所以,故.
23．答案：（1）;
（2）-4.
解析：（1）当时,,
当时,由得,解得,不符合题意,舍去
当时,由得,所以,
当时,由得,解得,不合题意,舍去,
所以不等式的解集为;
（2）如图,作出函数,的图像,则图像实线部分为的图像,虚线部分为的图像,
当时,令,则,
整理得,因为,所以,所以,
当时,令,则,所以,
因为,所以,所以,
综上,,所以.
分数段
男生
m
30
30
女生
10
40
优秀
非优秀
总计
男生
女生
总计
300
0.1
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828
优秀
非优秀
总计
男生
150
女生
150
总计
180
120
300