西南大学附属中学校2024届高三上学期12月月考数学试卷(含答案)

这是一份西南大学附属中学校2024届高三上学期12月月考数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知复数,则( )
A.B.C.D.
2．已知圆,圆,则这两圆的位置关系为( )
A.内含B.相切C.相交D.外离
3．在首项为1的数列中,满足,则( )
A.B.C.0D.1
4．若且,则( )
A.B.6C.36D.12
5．已知点M为外接圆O上的任意一点,,,,则的最大值为( )
A.1B.C.D.
6．在平面直角坐标系中,集合,集合,已知点,点,记d表示线段MN长度的最小值,则d的最大值为( )
A.2B.C.1D.
7．设,,,则( )
A.B.C.D.
8．点M,N为正四面体ABCD的内切球球面上的两个动点,T为棱AB上的一动点,则当取最大值时,( )
A.B.1C.D.
二、多项选择题
9．如图,在正四棱柱中,,O为此正四棱柱的外接球球心,下列说法正确的是( )
A.B.球O的表面积为
C.点O到AD的距离为D.四棱锥的表面积为
10．已知圆,直线(且m,n不同时为0),下列说法正确的是( )
A.当直线l经过时,直线l与圆G相交所得弦长为
B.当时,直线与l关于点G对称,则的方程为:
C.当时,圆G上存在4个点到直线l的距离为
D.过点G与l平行的直线方程为:
11．已知函数是偶函数,其中,若函数,则下列说法正确的是( )
A.
B.的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到
C.的一个单调递增区间是
D.若关于x的方程在上有两个不同的实根,则m的取值范围是
12．定义在上的函数同时满足以下条件:
①
②,
③
④
则下列说法正确的有( )
A.若,则B.方程在上无实数解
C.若,则D.
三、填空题
13．已知数列是等差数列,表示数列的前n项和,若,则______;
14．若,则______.
15．设椭圆的两个焦点是,,过点的直线与椭圆E交于点A,B,若,且,则椭圆E的离心率是______.
16．若,则的最大值为______.
四、解答题
17．等差数列满足,,等比数列满足,
（1）求数列,的通项公式;
（2）若,求数列的前n项和.
18．在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足
（1）求证:;
（2）若为锐角三角形,求的最大值.
19．五棱锥中,,,,,,,,平面平面ABCFE,M为PB的中点,
（1）求证:平面PCF;
（2）求直线AM与平面PCF所成角的正弦值.
20．研究表明,学生的学习成绩y(分)与每天投入的课后学习时间x(分钟)有较强的线性相关性.某校数学小组为了研究如何高效利用自己的学习时间,收集了该校高三（1）班学生9个月内在某学科(满分100分)所投入的课后学习时间和月考成绩的相关数据,下图是该小组制作的原始数据与统计图(散点图).
（1）当时,该小组建立了y与x的线性回归模型,求其经验回归方程;
（2）当时,由图中观察到,第3个月的数据点明显偏离回归直线l,若剔除第3个月数据点后,用余下的4个散点做线性回归分析,得到新回归直线,证明:;
（3）当时,该小组确定了y与x满足的线性回归方程为:,该数学小组建议该班在该学科投入课后学习时间为40分钟,请结合第（1）（2）问的结论说明该建议的合理性.
附:经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,
21．已知点,为椭圆内的两点,在椭圆C上存在两点A,B满足,直线AQ交椭圆C于点M(点M异于点A).
（1）当时,求点B的纵坐标;
（2）求点B,M横坐标乘积的最大值.
22．已知函数,其中.
（1）若在单调递增,求a的取值范围;
（2）若有三个极值点,记为,,,且,求的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：复数,
所以,
则,
故选:A.
2．答案：A
解析：
3．答案：D
解析：
4．答案：C
解析：由,得,
所以,
所以.
5．答案：B
解析：以B为原点,BA,BC所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系,则,,,点M为外接圆O上的任意一点,的外接圆的圆心O坐标为,半径为1,
圆O的方程为,
设,则,,
,
为圆O上的任意一点,
,
的最大值为.
故选B.
6．答案：D
解析：
7．答案：A
解析：,,,
则,
令,则,且,
所以,即;
又,所以,
综上,.
8．答案：D
解析：设正四面体ABCD的内切球的球心为O,半径为r,则,设,则,所以,所以,所以,所以,当且仅当M,O,N三点共线时取等号,所以当MN最大时,M,O,N三点共线,所以当取最大值时,M,O,N,T四点共线,此时,所以,所以,所以,所以,故选D.
9．答案：ACD
解析：如图所示
对于A选项,因为,所以,,又因为四棱柱为正四棱柱,所以,所以正四棱柱的表面积为,故A正确;
对于B选项,因为所以三棱锥的体积为,所以B错误;
对于C选项,由题意可得三棱锥的外接球就是正四棱柱的外接球,所以外接球半径为,所以外接球的表面积为,故C正确;
对于D选项,因为,,,,所平面平面,因为平面,所以直线平面,故D正确.
故选:ACD.
10．答案：AB
解析：
11．答案：ABD
解析：
12．答案：ACD
解析：由①知在上的图象关于直线对称,由④知在上的图象关于直线对称,所以在上的图象也关于直线对称,又由③知在上单调递增,由②知,所以,,,,,,故A,D正确;因为,在上有实数解,故B错误;对于C,当时,
,故C正确.
故选ACD.
13．答案：52
解析：由已知结合等差数列的求和公式及等差数列的性质即可求解.
由题意可得,,
故答案为:52.
14．答案：
解析：
15．答案：
解析：
16．答案：
解析：由已知得,
所以
当且仅当,,时去等号,
所以.
17．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）设公差为d,公比为q
则,解出,
.
又由,解出,
.
（2）由题意
①
②
①-②得:
18．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）由题
由正弦定理:
或(舍)
（2）为锐角三角形
由（1）,,原式
令
则原式
,
当时,所求式子的最大值为.
19．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）取BC中Q,连接EQ,MQ.
又为PB的中点,,
又平面PCF,平面PCF,
平面PCF,又,
四边形EABQ为平行四边形,,
又,,
又平面PCF,平面PCF,
,平面EMQ,平面EMQ
平面平面PCF,又平面EMQ,平面PCF.
（2）取EF中点D,连接PD由知,
又平面平面AC,故平面AC
以D为坐标原点,DP为Z轴,
过D作x轴,过点D作y轴建立如图所示空间直角坐标系,
由题得:,,,,,
设平面PCF的法向量为,,
有,令
又,
直线AM与平面PCF所成角的正弦值为
20．答案：（1）见解析
（2）见解析
（3）见解析
解析：（1）,
所求经验回归方程为:
（2）设的方程为,,
的方程为,故,
（3）由（1）（2）知,剔除异常值后
①时,的斜率为0.4,时,回归直线的斜率为0.01而0.4远大于0.01(或0.01接近于0)
②时,回归直线的最大值点为40
故认为建议合理
21．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）设,,由,即
有,从而
进一步,解得
故时,
（2）,
设
①当AQ斜率不存在时,B,M重合,此时
②当AQ斜率存在时,设直线
则
仅在椭圆内,与椭圆一定相交
当且仅当即时,等号成立
故
22．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）
由题,有在上恒成立
即在上恒成立
在上恒成立
令,
由,解得;由,解得
在上单调递减,在上单调递增
,
（2）由题知,有3个根,显然1为其中一个根,则有两根.
即有两根,亦即与有两个交点.
由（1）作出大致图像如下:
则有.故由，
令①
又②
由①②,解得
故.
月次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
某科课后投入时间(分钟)
20
25
30
35
40
45
50
55
60
高三（1）班某科平均分(分)
65
68
75
72
73
73
73
73.5
73