精品解析：2023年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校中考模拟数学试题（解析版）

这是一份精品解析：2023年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校中考模拟数学试题（解析版），共25页。试卷主要包含了选择题，羊二，直金十九两；牛二，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 有理数，，0，中，绝对值最大的数是（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据绝对值的含义求出各个数的绝对值，再比较大小即可．
【详解】，，0的绝对值为0，，
∵，
∴绝对值最大的数为-2，
故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值的含义以及有理数的大小比较等知识，掌握绝对值的含义是解答本题的关键．
2. 2022年5月，神舟十三号搭载的1.2万粒作物种子顺利出舱．其中1.2万用科学记数法表示为（ ）
A. 12×103B. 1.2×104C. 0.12×105D. 1.2×106
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：1.2万＝12000＝1.2×104．
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为更多优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘处法法则以及积的乘方运算法则即可求出答案．
【详解】解：A．与不是同类项，所以不能合并，故A不符合题意
B．原式=，故B不符合题意
C．原式=，故C不符合题意
D．原式=，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查合并同类项法则，同底数幂的乘处法法则以及积的乘方运算法则，本题属于基础题型．
4. 下列绿色能源图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 为了解我国中小学生的睡眠情况，应采取普查的方式
B. 一组数据1，2，5，5，5，3，3的众数和中位数都是5
C. 若甲、乙两组数据的方差分别是，，则甲组数据比乙组数据更稳定
D. 抛掷一枚硬币200次，一定有100次“正面向上”
【答案】C
【解析】
【分析】对于涉及范围较广的数据的调查应根据实际情况采用抽样调查；将一组数据由小到大（或由大到小）排列，如果数据个数为奇数，则处于中间位置的数就是中位数，如果数据个数是偶数，则中间两数的平均数即是中位数；众数指一组数据中出现次数最多的数；一组数据的方差越小，则表示该组数据越稳定；在随机实验中，随机事件出现的次数是不确定的．
【详解】解：A．为了解我国中小学生的睡眠情况，应采取抽样调查方式，故此选项不符合题意；
B．该组数据众数为5，中位数为3，故此选项不符合题意；
Ｃ．甲组数据的方差小于乙组数据的方差，所以甲组数据比乙级数据稳定，此选项符合题意；
Ｄ．抛掷硬币，“正面向上”为随机事件，出现次数随机，故此选项不符合题意．
故选Ｃ．
【点睛】本题主要考查统计调查收集数据的方法，数据分析的众数、中位数及方差，概率与随机事件；理解各概念及代表的数据特征是解题的关键．
6. 如图所示，几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图形是俯视图判断即可．
【详解】解：几何体的左视图是
故选：B．
【点睛】本题考查了几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图形是俯视图．掌握以上知识是解题的关键．
7. 如图，BD是的直径，A，C在圆上，，的度数是（ ）
A. 50°B. 45°C. 40°D. 35°
【答案】C
【解析】
【分析】由BD是圆O的直径，可求得∠BCD = 90°又由圆周角定理可得∠D=∠A= 50°，继而求得答案．
【详解】解：∵BD是的直径，
∴∠BCD=90°，
∴∠D=∠A= 50°，
∴∠DBC= 90°-∠D = 40°，
故选： C．
【点睛】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质，此题难度不大，解题的关键是注意掌握数形结合思想的应用．
8. 如图所示，与是位似图形，点O为位似中心．若，的周长为5，则的周长为（ ）

A. 10B. 15C. 25D. 125
【答案】B
【解析】
【分析】根据位似图形的概念得到，进而证明，根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵与是位似图形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴与的周长比为，
∵的周长为5，
∴的周长为．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念，相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
9. 我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子，每头牛、每只羊各多少两银子？设1头牛两银子，1只羊两银子，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子”，得到两个等量关系，即可列出方程组．
【详解】解：设1头牛两银子，1只羊两银子，
由题意可得：，
故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象初二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
10. 全国青少年校园足球联赛，是国内历史最久远、覆盖范围最广的中学足球赛事，在小组赛中，每小组有个队，小组内进行单循环赛（两支球队间只比赛一场），已知胜一场积分，平一场积分，负一场积分，小组赛结束后，积分前两名（相同积分比较净胜球）可以进入下一轮比赛如表是某次小组赛的积分表：
如果本小组比赛中只有一场战平，根据此表，可以推断丁队的积分是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分析比赛规则可知：胜一场两队共积分，平一场两队共积分，设丁队的积分是分，根据本小组比赛中只有一场战平及甲、乙、丙三队的积分，可列出关于的一元一次方程，解之即可求出结论．
【详解】解：设丁队的积分是分，
根据题意得：，
解得：，
丁队的积分是分．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 分解因式：x3y﹣9xy=____．
【答案】xy(x+3)(x﹣3)．
【解析】
【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解．
【详解】x3y﹣9xy
=xy(x2﹣9)
=xy(x+3)(x﹣3)
故答案为：xy(x+3)(x﹣3)．
【点睛】此题主要考查了分解因式，根据题目选择适合的方法是解题关键．
12. 函数中自变量的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【详解】解：根据题意得：x+1≥0且x+1≠0，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
13. 已知、是一元二次方程的两个根，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用一元二次方程的根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根，
∴根据根与系数的关系得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．一元二次方程的根与系数的关系为：，．
14. 一副三角板如图摆放，直线，则的度数是______．

【答案】##15度
【解析】
【分析】根据题意可得：，，，然后利用平行线的性质可得，从而进行计算即可解答．
【详解】解：如图：

由题意得：
，，，
，
，


，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
15. 如图，点M是反比例函数图像上的一点，过点M作轴于点N，点P在y轴上，若的面积是2，则________．

【答案】
【解析】
【分析】设，可求 ，， 由，即可求解．
【详解】解：设，
轴，
，，轴，
，
解得：，
在上，
，
故答案：．
【点睛】本题主要考查了在反比例函数中利用面积求，掌握解法是解题的关键．
16. 为了解某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉只，戴上识别卡并放回，经过一段时间后观察发现，只A种候鸟中有只佩有识别卡，由此估计该湿地约有______只A种候鸟．
【答案】
【解析】
【分析】在样本中只A种候鸟中有只佩有识别卡，即可求得有识别卡的所占比例，而这一比例也适用于整体，据此即可解答．
详解】解：设该湿地约有只A种候鸟，
则，解得．
答：估计该湿地约有只A种候鸟．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行运算是解题的关键．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【解析】
【分析】根据运算顺序，先算括号，再算除法，即可完成化简，然后把x的值代入化简后的式子中即可求出代数式的值．
【详解】


当时，
所以当时，代数式的值为
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，对于混合运算，要注意运算顺序；通分时，减数的分子要放到括号里，否则易发生符号错误．
19. 长沙银盆岭大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔湘江之上已知大桥主塔垂直于桥面于点，其中两条斜拉索、与桥面的夹角分别为和，两固定点、之间的距离约为，求主塔的高度（结果保留整数，参考数据：，）．

【答案】主塔的高度约为米．
【解析】
【分析】在中利用等腰三角形的性质，用表示，在中利用直角三角形的边角间关系，用表示出，最后利用线段的和差关系得结论．
【详解】解：在中，
，
．
．
在中，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴米．
答：主塔的高度约为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及等腰直角三角形的性质是解决本题的关键．
20. 中国共产党的助手和后备军——中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务.成立一百周年之际，各中学持续开展了A：青年大学习；B：青年学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项参加.为了解参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图.
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了____________名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有学生1280名，请估计参加B项活动的学生数；
（4）小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率.
【答案】（1）200；
（2）见解析； （3）估计参加B项活动的学生数有512名；
（4）画树状图见解析，他们参加同一项活动的概率为．
【解析】
【分析】（1）根据D项活动所占圆心角度数和D项活动的人数计算即可；
（2）根据总人数求出参加C项活动的人数，进而可补全条形统计图；
（3）用该校总学生人数乘以抽查的学生中参加B项活动所占的比例即可；
（4）画出树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们参加同一项活动的情况数有4种，然后根据概率公式计算即可．
【小问1详解】
解：（名），
即在这次调查中，一共抽取了200名学生，
故答案为：200；
【小问2详解】
参加C项活动的人数为：200－20－80－40＝60（名），
补全条形统计图如图：
【小问3详解】
（名），
答：估计参加B项活动的学生数有512名；
【小问4详解】
画树状图如图：
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们参加同一项活动的情况数有4种，
所以他们参加同一项活动的概率为．
【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，列表法或树状图法求概率，能够从不同的统计图中获取有用信息是解题的关键．
21. 如图，在中，，是边上一点，以为圆心，为半径的圆与相交于点，连接，且．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接OD．由等腰三角形的性质及圆的性质可得∠A＝∠ADC，∠B＝∠BDO．再根据余角性质及三角形的内角和定理可得∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．最后由切线的判定定理可得结论；
（2）根据等边三角形的判定与性质可得∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．再由解直角三角形及三角形内角和定理可得∠BOD的度数，最后根据弧长公式可得答案．
【小问1详解】
证明：连接OD．

∵AC＝CD，
∴∠A＝∠ADC．
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠BDO．
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°．
∴∠ADC+∠BDO＝90°．
∴∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．
又∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
【小问2详解】
解：∵AC＝CD，∠A＝60°，
∴△ACD是等边三角形．
∴∠ACD＝60°．
∴∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．
在Rt△OCD中，OD＝CDtan∠DCOtan30°＝2．
∵∠B＝90°﹣∠A＝30°，OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B＝30°．
∴∠BOD＝180°﹣（∠B+∠BDO）＝120°．
∴的长．
【点睛】此题考查的是切线的判定与性质、直角三角形的性质、弧长公式，正确作出辅助线是解决此题的关键．
22. 平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶元，售价为每顶元，平均每周可售出顶商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于元，经调查发现：每降价元，平均每周可多售出顶设每顶头盔降价元，平均每周的销售量为顶．
（1）平均每周的销售量顶与降价元之间的函数关系式是______；
（2）若售价为每顶元，求每周的销售利润；
（3）若该商店希望平均每周获得元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？
【答案】（1）
（2）每周销售利润为元
（3）每顶头盔应降价元或元
【解析】
【分析】（1）利用平均每周的销售量，即可找出与之间的函数关系式；
（2）利用每周的销售利润每顶的销售利润每周的销售量，即可求出结论；
（3）利用每周的销售利润每顶的销售利润每周的销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可求出的值，再结合降价后每顶头盔的售价不高于元，即可确定结论．
【小问1详解】
解：根据题意得：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：根据题意得：
（元），
答：每周的销售利润为元；
【小问3详解】
解：根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，符合题意；
当时，，符合题意．
答：每顶头盔应降价或20元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式；（2）根据各数量之间的关系，列式计算；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23. 如图，点是边长为的菱形的对角线上一点，连接并延长，交于．

（1）求证：；
（2）若垂直平分，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据菱形的性质得，，证明即可；
（2）连接，根据菱形的性质和等边三角形的判定与性质性质，结合锐角三角函数解答即可．
【小问1详解】
证明：四边形为菱形，
，，又
；
【小问2详解】
解：连接，

四边形是菱形，
，
垂直平分，
，
是等边三角形，则,
，
，
，
,
，
，
．
【点睛】此题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数，关键是根据菱形的性质得，解答．
24. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意自变量，这两个函数对应的函数值记为，，恒有点和点关于点成中心对称（此三个点可以重合），则称这两个函数互为“友好函数”．例如：和互为“友好函数”．
（1）判断：①和；②和；③和，其中互为“友好函数”的是________（填序号）．
（2）若函数的“友好函数”与反比例函数的图像在第一象限内有两个交点和点．
①求的取值范围；
②若的面积为，求的值．
（3）若，，三个不同的点均在二次函数（，，为常数，且）的“友好函数”的图像上，且满足，若存在常数，使得恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）①② （2）①；②
（3）
【解析】
【分析】（1）根据“友好函数”的定义，利用中点坐标公式，然后逐个函数进行判断即可；
（2）①根据定义可得函数的“友好函数”解析式为：，再根据题意可得方程有两个不同的实数根且，利用根的判别式可得的取值范围为；
②先确定直线与坐标轴的交点为，，设，的横坐标分别为，且是方程的两根，由根与系数关系可得，，再根据的面积为，可得，即，可得，，再代入计算即可；
（3）可确定的“友好函数”为，从而有，，由可得，根据点M，P的纵坐标相等，可得，所以，设，可得，根据恒成立得出，求解即可．
小问1详解】
解：①∵，
∴①中两个函数互为“友好函数”；
②∵，
∴②中两个函数互为“友好函数”；
③∵，
∴③中两个函数不是“友好函数”．
故答案为：①②．
【小问2详解】
①∵，
∴，
∴函数的“友好函数”解析式为：，
∵反比例函数的图像与直线在第一象限内有两个交点，
∴方程有两个不同的实数根且，
整理得：，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴的取值范围为．
②记直线与坐标轴的交点为，，如图，
当时，，
当时，，得：，
∴，，
设，的横坐标分别为，，
∵，是方程的两根，
∴，，
∵的面积为，
∴，
∴，
即，
∴，
解得：，
又∵，
∴，
∴，
∴的值为．
【小问3详解】
∵，
∴的“友好函数”为，
∵，在函数的上，
∴，，
∵，
∴，
解得：，即，
∵点M，P的纵坐标相等，
∴，即，
∴，
∴，
设，
∴
∵恒成立，
∴，
∴，
∴的取值范围是．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，中点坐标公式，割补法求面积等知识点．解题关键是理解题意，掌握“友好函数”定义，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
25. 如图，已知、是半径为1的两条弦，且，的延长线交于点D，连接、．
（1）证明：；
（2）连接，当是直角三角形时，求的长；
（3）①试探究的值是否为定值？如果是，请求出式子的值；如果不是，请说明理由；
②记、、的面积分别为、、，若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）或
（3）①是，，②
【解析】
【分析】（1）利用等腰三角形中等边对等角，或等弧所对圆周角相等来证明；
（2）分，，三种情况，分别讨论即可；
（3）①先证，推出，等量代换可得，变形可得；
②先证，推出，作交BD于H，设，，可得，，，利用列方程，求出x的值即可．
【小问1详解】
证明：连接，
∵，
∴，
同理：，
∴，
即；
【小问2详解】
解：（i）当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为正三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴；
（ii）当时，，
∴；
（iii）当时，，与三角形内角和定理矛盾，所以舍去．
综上所述：或；
【小问3详解】
解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∴
∴，
∴，
∴；
②在和中，
，
∴，
∴，
作交BD于H，设，，
，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即．
【点睛】本题属于圆内综合题，考查圆的基本性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识点，综合性较强，难度较大，属于中考压轴题，能够综合运用上述知识点是解题的关键．排名
球队
积分
甲
乙
丙
丁