精品解析：安徽省滁州市定远县育才学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试题（解析版）

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一、选择题（本大题共10小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列函数是二次函数的是（ ）
A. y＝ax2+bx+cB. y＝+x
C y＝x（2x﹣1）D. y＝（x+4）2﹣x2
【答案】C
【解析】
【分析】形如：，则是的二次函数，根据定义逐一判断各选项即可得到答案．
【详解】A. ，不是二次函数，故该选项不符合题意；
B. y＝+x，不二次函数，故该选项不符合题意；
C. y＝x（2x﹣1）=，是二次函数，故该选项符合题意；
D. y＝（x+4）2﹣x2，不是二次函数，故该选项不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．
2. 若y=（a+2）x2-3x+2是二次函数，则a的取值范围是（ ）
A. a≠0B. a＞0C. a＞2D. a≠－2
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的二次项系数不为0可得关于a的不等式，解不等式即得答案.
【详解】解：由题意得： a+2 ≠0，则a≠－2.
故选：D.
【点睛】本题考查了二次函数的定义，属于基础题型，掌握二次函数的概念是关键.
3. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当时，x的取值范围是（ ）更多优质滋源请 家 威杏 MXSJ663
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称的性质得到点A的横坐标为-2，利用函数图象即可确定答案．
【详解】解：∵正比例函数与反比例函数都关于原点对称，
∴点A与点B关于原点对称，
∵点B的横坐标为2，
∴点A的横坐标为-2，
由图象可知，当或时，正比例函数的图象在反比例函数的图象的上方，
∴当或时，，
故选：C．
【点睛】此题考查正比例函数与反比例函数的性质及相交问题，函数值的大小比较，正确理解图象是解题的关键．
4. 二次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数图象性质解题．
【详解】解：A.由图可知，二次函数图象的对称轴为：x=1，即，故A不符合题意；
B.二次函数图象与y轴交于负半轴，即c<0，故B不符合题意；
C.由图象可知，当x=1时，y=，故C不符合题意，
D.由图象的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点为（-2，0），当x=-2时，，，故D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
5. 将二次函数的图像平移后，可得到二次函数的图像，平移的方法是
A. 先向上平移1个单位长度， 再向右平移1个单位长度
B. 先向下平移1个单位长度， 再向左平移1个单位长度
C. 先向下平移1个单位长度， 再向右平移1个单位长度
D. 先向上平移1个单位长度， 再向左平移1个单位长度
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数图像平移方法，左加右减，上加下减判断即可；
【详解】将先向下平移1个单位长度， 再向左平移1个单位长度可得到的函数图像；
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的平移，熟悉函数图像平移规律是解答本题的关键．
6. 已知函数在此函数图象上有三点，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由得出抛物线的对称轴，再根据开口向下时，抛物线上的点距离对称轴越远对应函数值越小判断的大小关系即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴此函数图象的对称轴是：直线，
∴到对称轴的距离分别是：，
∵，且抛物线开口向下，抛物线上的点距离对称轴越远对应函数值越小，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，掌握抛物线开口向下时，抛物线上的点距离对称轴越远对应函数值越小是解题的关键．
7. 已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：
根据表格中的信息，得到了如下的结论：
①二次函数y=ax2+bx+c可改写为y=a(x−1) 2−2的形式
②二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下
③关于x的一元二次方程ax2+bx+c=−1.5的两个根为0或2
④若y>0，则x>3
其中所有正确的结论为（ ）
A. ①④B. ②③C. ②④D. ①③
【答案】D
【解析】
【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
【详解】解：由表格可得，
∵该函数的图象经过（-1，0），（3，0），
∴该函数图象的对称轴是直线x==1，
∴该函数图象的顶点坐标是（1，-2），有最小值，开口向上，
∴二次函数y=ax2+bx+c可改写为y=a(x−1) 2−2的形式，
故选项①正确，选项②错误；
∵该函数的图象经过（0，-1.5），其关于对称轴直线x=1的对称点为（2，-1.5），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=−1.5的两个根为0或2，故选项③正确；
∵该函数的图象经过（-1，0），（3，0），
∴若y>0，则x>3或x<-1，故选项④错误；
综上，正确的结论为①③，
故选：D．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点所代表的意义、图象上点的坐标特征等．
8. 已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点P（2，y0），且对于抛物线上任意一点（x1，y1）都有y1≥y0，若点A（﹣2，m+2）与点B(t ，n)均在该抛物线上，且 m﹣n＜﹣2，则t的值可以是（ ）
A. 7B. 4C. 1D. ﹣1
【答案】A
【解析】
【分析】利用二次函数的性质可知点P为抛物线的顶点，从而得到抛物线的对称轴，利用抛物线的对称性和二次函数的性质解答即可．
【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点P（2，y0），且对于抛物线上任意一点（x1，y1）都有y1≥y0，
∴点P（2，y0）为抛物线的最低点即顶点，此时a＞0，
∴抛物线的对称轴为直线x=2．
∴根据抛物线的对称性可得点（-2，m+2）与点（6，m+2）关于抛物线的对称轴对称，
∵a＞0，
∴当x＞2时，y随x增大而增大，当x≤2时，y随x的增大而减小，
∵m﹣n＜﹣2，
∴n>m+2，
∴t＞6或t<-2,
∴四个选项中，只有选项A符合题意，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了数形结合法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，数掌握二次函数的性质是解题的关键．
9. 若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据题意得到，再根据比例的基本性质进行求解即可．
【详解】解：∵
∴，
∵
∴
故选：C．
【点睛】本题考查的是比例的基本性质，解题的关键在于熟知如果且，那么．
10. 如图，点P是△ABC的边AC上一点，连结BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（ ）
A. ＝B. ＝C. ∠ABP＝∠CD. ∠APB＝∠ABC
【答案】B
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定定理（①有两角分别相等的两三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似）逐个进行判断即可．
【详解】解：A、∵∠A=∠A，＝∴△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意；
B、根据＝和∠A=∠A不能判断△ABP∽△ACB，故本选项符合题意；
C、∵∠A=∠A，∠ABP=∠C，
∴△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意；
D、∵∠A=∠A，∠APB=∠ABC，
∴△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了相似的三角形的判定定理的应用，能正确运用判定定理进行推理是解此题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
11. 抛物线 (，，为常数)的部分图象如图所示，设，则的取值范围是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置及抛物线经过可得，，的等量关系，然后将代入解析式求解．
【详解】解：抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴在轴左侧，
，
，
抛物线经过，
，
抛物线经过，
，
，，
，
，
当时，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．
12. 如图，平行于y轴的直尺（部分）与反比例函数的图像交于A，C两点与x轴交于B，D两点，连接AC，点A，B对应直尺上的刻度分别为5，2，直尺的宽度，，则点C的坐标是______．
【答案】(6，2)
【解析】
【分析】首先根据点、对应直尺上的刻度分别为5、2，．，即可求得的坐标，，的坐标，，关键是根据面积列出关于的方程，求出，即可求得的坐标．
【详解】解：直尺平行于轴，、对应直尺的刻度为5、2，且，
则的坐标为，，则的坐标为，
，，
，
又，
，
，
，
的坐标为
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，解题的关键是掌握反比例函数图像上点的坐标特征、比例系数的几何意义；熟练运用几何图形的面积的和差计算不规则的图形的面积．
13. 一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为8米，拱高6米，跨度20米．相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱MN的高度为 _____米．
【答案】3.5
【解析】
【分析】如图所示，建立坐标系，然后求出抛物线解析式，然后求出N点纵坐标，即可求解．
【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，
由题意得A点坐标（-10，0），B点坐标为（10，0），C点坐标为（0，6），N点横坐标为5，
设抛物线解析式为，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
∴当时，，
∴支柱MN的高度=8-4.5=3.5米，
故答案为：3.5．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键在于能够根据题意正确建立坐标系求解．
14. 如图，在矩形中，是边上一点，且，与相交于点，若的面积是，则的面积是______．

【答案】27
【解析】
【分析】根据矩形的性质，很容易证明∽，相似三角形之比等于对应边比的平方，即可求出的面积．
【详解】解：四边形是矩形，
，
，
，
∽，
，，
：：，
：：，即：：，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，综合性比较强，学生要灵活应用．掌握相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知二次函数（为常数，且）的图像与轴交于点，顶点为，点的坐标为．
（1）求和的值（可用含的式子表示）；
（2）已知点是抛物线上的点，，当且时，求的最大值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】(1)利用顶点坐标公式计算即可．
(2)利用两点间距离公式，求得a值，判定点D与对称轴的关系，利用二次函数的增减性，确定当x=3时，函数有最大值，代入计算即可．
【小问1详解】
，
，．
【小问2详解】
由（1）知，，，
，，
，
，即：，
解得，，
，
，
故函数解析式为，
，开口向上，且，
点在对称轴右侧，随的增大而增大，
时，有的最大值为．
【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标公式，抛物线的对称性，增减性，两点间的距离公式，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
16. 把二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数的图象．
（1）试确定，，的值；
（2）指出二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【答案】（1），，
（2）开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为
【解析】
【分析】（1）根据平移规律，可得答案；
（2）根据二次函数的图象性质，可得答案．
【小问1详解】
解：二次函数的图象的顶点坐标为，把点先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到点的坐标为，
所以原二次函数的解析式为，
所以，，；
【小问2详解】
解：二次函数，即
∵，
∴图象开口向下，
二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数的几何变换，二次函数的性质，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
17. 已知：如图，在△ABC中，点M为AC边的中点，点E为AB上一点，且AB=4AE，连接EM并延长交BC的延长线于点D，
求证：BC=2CD.
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】方法一：过C点作CP∥AB，交DE于P，如图，证明方法与方法一类似；
方法一：作CF∥DE于DE，交AB于F，如图，根据平行线分线段成比例定理，由ME∥CF得到= ，加上AM=MC，则AE=EF，由于AB=4 AE，所以
又因为 ，可得 ，即．
【详解】证明:（方法一）过点作∥交于点，
∴∽
∴
∵点为的中点，
∴
∵
∵
又∵
∴
∴
∵ ，，
∴
∴
∵
∴，即.
又∵
∴
（方法二）过点作 交于点，
∴
又∵点为中点，
∴
∴
∴
又∵，
∴
又∵
∴
∴．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
18. 某商店购进了一种消毒用品，进价为每件元，在销售过程中发现，每天的销售量件与每件售价元之间存在一次函数关系其中，且为整数当每件消毒用品售价为元时，每天的销售量为件；当每件消毒用品售价为元时，每天的销售量为件．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）设该商店销售这种消毒用品每天获利元，当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）
（2）每件消毒用品的售价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元
【解析】
【分析】根据给定的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数关系式；
利用销售该消毒用品每天的销售利润每件的销售利润每天的销售量，即可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【小问1详解】
设每天的销售量件与每件售价元函数关系式为：，
由题意可知：，
解得：，
与之间的函数关系式为：；
【小问2详解】



，
，且为整数，
当时，随的增大而增大，
当时，有最大值，最大值为．
答：每件消毒用品的售价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是找准题目的等量关系列出函数关系式．
19. 如图，点D是边上一点，连接，过上点E作，交于点F，过点F作交BC于点G，已知，．
（1）求的长；
（2）若，在上述条件和结论下，求的长．
【答案】（1）6 （2）
【解析】
【分析】（1）由，推出，由，推出，可得结论．
（2）由，推出，可得结论．
【小问1详解】
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【小问2详解】
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握这个定理是关键．
20. 如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于、两点．点在反比例函数图象上，连接，交轴于点．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）求的面积．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）点A（，1），M（－3，）是反比例函数图象上的点，可＝， 解得或舍去，所以，得到，所以反比例函数解析式为．
（2）由反比例函数的对称性可知，点的坐标为，由点和点的坐标可求得直线的函数关系式为，所以点的坐标为，分别过、作轴的垂线，垂足分别为点、点，则，由可求得的面积．
【小问1详解】
解：∵ 点A（，1），M（－3，）是反比例函数图象上的点，
＝，解得或舍去，
∴，
∴点的坐标为（4，1），点的坐标为（1，4），
∴反比例函数的解析式为．
【小问2详解】
解：∵ 反比例函数的图象与正比例函数的图象交于、两点，且A（4，1），．
∴点的坐标为，
设直线的函数关系式为，
把点，点分别代入得
，
解得，
∴直线的函数关系式为，
当时，，
∴点的坐标为（0，3），
如图，分别过、作轴的垂线，垂足分别为点、点，

则，
∴．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数交点的问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积等知识，利用反比例函数上点的坐标特征求得反比例函数的解析式是解题的关键．
21. 如图，抛物线与y轴交于点，顶点为．
（1）求抛物线对应的函数解析式．
（2）抛物线对称轴上是否存在一点C，使的面积为3？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在x轴上有一点P，使得的周长取最小值，求出点P的坐标．
【答案】（1）
（2）存在，或
（3）
【解析】
【分析】（1）直接利用顶点式求出二次函数解析式得出答案；
（2）利用，进而得出C点坐标纵坐标，即可得出答案；
（3）利用轴对称求最短路线的方法得出P点位置进而得出答案．
【小问1详解】
解：设抛物线为
∵顶点为，
∴，
将代入得，
解得，
∴抛物线的解析式为：，
即；
【小问2详解】
如下图，抛物线的对称轴上存在一点C，使的面积为3，理由如下：
由可知抛物线对称轴是直线，
过A作直线，垂足为D，则，
设点，
∴，
解得；
∴点C坐标为或；
【小问3详解】
如（2）图，设点关于x轴对称的点为E，则，
∵的长是定值，当的值最小时，的周长取最小值，
而，当P为直线与x轴的交点时，取最小值，即取最小值，
∴当P为直线与x轴的交点时，的周长取最小值，
设直线的解析式为：，
把和代入，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：，
令代入，
∴，
∴点P的坐标为．
【点睛】此题考查了求二次函数的解析式，二次函数与三角形面积，以及利用轴对称求最短路线，正确得出P点位置是解题关键．
22. 如图，，，点A，B分别在函数（）和（）的图象上，且点A的坐标为．
（1）求，的值：
（2）若点C，D分在函数（）和（）的图象上，且不与点A，B重合，是否存在点C，D，使得，若存在，请直接出点C，D的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）过点A作AE⊥y轴交于点E，过点B作BF⊥y轴交于点F，将点A代入即可求得，证明△AOE≌△BOF，从而求得点B坐标，将点B代入求得；（2）由可得OC=OA=OB=OD，可得C与B关于x轴对称，A与D关于x轴对称即可求得坐标．
【小问1详解】
如图，过点A作AE⊥y轴交于点E，过点B作BF⊥y轴交于点F，
∵，
∴∠AOE+∠BOF=90°，
又∵∠AOE+∠EAO=90°，
∴∠BOF=∠EAO，
又∵∠AEO=∠OFB，OA=OB，
∴△AOE≌△BOF（AAS），
∴AE=OF，OE=BF，
∵点A的坐标为，
∴AE=1，OE=4，
∴OF=1，BF=4，
∴B（4，-1），
将点A、B分别代入和，
解得，，；
【小问2详解】
由（1）得，点A在图象上，点B在图象上，两函数关于x轴对称，
∵，
∴OC=OA=OB=OD，
只需C与B关于x轴对称，A与D关于x轴对称即可，如图所示，
∴点C（4，1），点D（1，-4）．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征和全等三角形的判定和性质，熟知反比例函数的性质是解题的关键．
23. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点在轴上，且，，分别是线段，上的动点（点，不与点，，重合）．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）连接并延长交抛物线于点，当轴，且时，求的长；
（3）连接．
①如图2，将沿轴翻折得到，当点在抛物线上时，求点的坐标；
②如图3，连接，当时，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）①；②
【解析】
【分析】（1）把点B代入抛物线关系式，求出a的值，即可得出抛物线的关系式；
（2）根据抛物线可求出点A的坐标，点C的坐标，根据，利用三角函数，求出DE的长，再求出点E的坐标，根据点P与点E的横坐标相同，得出点P的横坐标，代入抛物线的关系式，求出点P的纵坐标，即可得出EP的值，最后求出DP的值即可；
（3）①连接交于点，设，则，求出，得出点，将其代入抛物线关系式，列出关于a的方程，解方程，求出a的值，即可得出G的坐标；
②在下方作且，连接，，证明，得出，说明当，，三点共线时，最小，最小为，过作，垂足为，先证明∠CAH=45°，算出AC长度，即可求出CH、AH，得出HQ，最后根据勾股定理求出CQ的长度即可得出结果．
【小问1详解】
解：∵在抛物线上，
∴，解得，
∴，即；
【小问2详解】
在中，令，得，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
①连接交于点，如图1所示：
∵与关于轴对称，
∴，，
设，则，
，
∴，
∵点在抛物线上，
∴，
解得（舍去），，
∴；
②在下方作且，连接，，如图2所示：
∵，
∴，
∴，
∴当，，三点共线时，最小，最小为，
过作，垂足为，
∵，，
∴，，
∵，
，，
，
∴
，
即的最小值为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，待定系数法求抛物线的关系式，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，三角函数的定义，作出辅助线，证明，得出当，，三点共线时，最小，是解题的关键．…
﹣1
0
1
3
…
…
0
﹣1.5
﹣2
0
…