2023-2024学年辽宁省抚顺市新宾县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省抚顺市新宾县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. a2+a3=a5B. (a2)3=a6C. a2⋅a3=a6D. 6a6−2a3=3a3
3.下列式子是分式的是( )
A. a−b2B. 5+yπC. x+3xD. 1+x
4.随着北斗系统全球组网的步伐，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，国产北斗芯片可支持接收多系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，将为中国北斗导航产业发展提供有力支持．目前，该芯片工艺已达22纳米(即0.000000022米).则数据0.000000022用科学记数法表示为( )
A. 0.22×10−7B. 2.2×10−8C. 22×10−9D. 22×10−10
5.信息课上，小文同学利用计算机软件绘制了美丽的蝴蝶，如图，在绘图过程中，小文建立平面直角坐标系，先画出一半图形，利用对称性画出另一半.若图中点A的坐标为(−3,2)，则其关于y轴对称的点B的坐标为( )
A. (3,2)
B. (2,3)
C. (3,−2)
D. (−3,−2)
6.如图，AC⊥BE，DE⊥BE，若△ABC≌△BDE，AC=5，DE=2，则CE等于( )
A. 2.5
B. 3
C. 3.5
D. 4
7.2022年北京冬奥会开幕式为世界奉献了一场精彩、简约、唯美、浪漫的中国文化盛宴，其中主火炬台的雪花状创意令人惊叹．如图是一个正六边形雪花状饰品，则它的每一个内角是( )
A. 60°
B. 105°
C. 120°
D. 135°
8.小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在( )
A. B.
C. D.
9.如图，把△ABC沿EF翻折，叠合后的图形如图，若∠A=60°，∠1=95°，则∠2的度数是( )
A. 15°
B. 20°
C. 25°
D. 35°
10.如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数( )
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC=180°；③∠ACB=2∠APB；④S△PAC=S△MAP+S△NCP．
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.分解因式：m3−16m=______．
12.若使分式xx−3有意义的取值范围是 ．
13.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(−3,0)，(0,2)，△OA′B′≌△AOB，若点A′在x轴的正半轴上，则位于第四象限的点B′的坐标是______．
14.如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=50°，则∠DAE的度数为______．
15.如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=45°，在腰AB上取一点D，DE⊥BC，垂足为E，另一腰AC上的高BF交DE于点G，垂足为F，若BE=3，则DG的长为______ ．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
16.解方程．
(1)5x−1=12x+1．
(2)1x−2+2=1−x2−x．
四、解答题：本题共7小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
先化简，再求值：(2x2+2xx2−1−x2−xx2−2x+1)÷xx+1，其中x=3．
18.(本小题9分)
如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，△ABC的三个顶点都在格点上．
(1)在网格中画出△ABC向下平移3个单位得到的△A1B1C1；
(2)在网格中画出△ABC关于直线m对称的△A2B2C2；
(3)在直线m上画一点P，使得C1P+C2P的值最小．
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，DE是AC的垂直平分线，求证：△BCD是等腰三角形．
20.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D．
(1)求证：△ADC≌△CEB．
(2)AD=5cm，DE=3cm，求BE的长度．
21.(本小题8分)
某班级组织同学们乘坐大巴车前往距学校50千米的博物院开展“研学之旅”.大巴车从学校出发，其中一位老师因有事耽误，没有赶上大巴车，因此比大巴车晚13小时从学校自驾小汽车出发，并以大巴车1.5倍的速度走同样的路线赶往博物院，结果与大巴车同时到达.求大巴车和小汽车的平均速度．
22.(本小题12分)
综合与实践：
【问题情境】
如图，池塘的两端有A，B两点，现需要测量该池塘的两端A，B之间的距离，需要如何进行呢？
【方案解决】
同学们想出了如下的两种方案：
方案①：如图1，先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至点D，BC至点E，使DC=AC，EC=BC，最后量出DE的距离就是AB的距离；
方案②：如图2，过点B作AB的垂线BF，在BF上取C，D两点，使BC=CD.接着过点D作BD的垂线DE，在垂线上选一点E，使A，C，E三点在一条直线上，则测出DE的长即是AB的距离．
问：(1)方案①是否可行？请说明理由；
(2)方案②是否可行？请说明理由；
(3)李明同学提出，在方案②中，并不一定需要BF⊥AB，DE⊥BF，只需要______就可以了，请把李明所说的条件补上．
23.(本小题12分)
综合与探究小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，∠MON=90°，点A，B分别在OM，ON上运动(不与点O重合)．
探究与发现：若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠BAO的平分线交于点D．

(1)①若∠BAO=70°，则∠D= ______ °；
②猜想：∠D的度数是否随A，B的运动而发生变化？并说明理由；
(2)拓展延伸：如图2，若∠ABC=13∠ABN，∠BAD=13∠BAO，求∠D的度数．
(3)在图1的基础上，如果∠MON=α，其余条件不变，随着点A、B的运动(如图3)，∠D= ______ (用含α的代数式表示)
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A，B，C选项中的图案都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】B
【解析】解：A、a2与a3不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、(a2)3=a6，故B符合题意；
C、a2⋅a3=a5，故C不符合题意；
D、6a6与2a3不属于同类项，不能合并，故D不符合题意；
故选：B．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3.【答案】C
【解析】解：A、是多项式，故本选项不符合题意；
B、是多项式，故本选项不符合题意；
C、分母中含有字母x，是分式，故本选项符合题意；
D、是多项式，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据分式的定义作答．
本题主要考查的是分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：0.000000022=2.2×10−8．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
5.【答案】A
【解析】解：若图中点A的坐标为(−3,2)，则其关于y轴对称的点B的坐标为(3,2)．
故选：A．
直接利用关于关于y轴对称点的性质(横坐标互为相反数，纵坐标不变)得出答案．
此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵△ABC≌△BDE，AC=5，DE=2，
∴BE=AC=5，BC=DE=2，
∴CE=BE−BC=5−2=3，
故选：B．
根据全等三角形的性质得到BE=AC=5，BC=DE=2，结合图形计算即可．
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：180°×(6−2)
=180°×4
=720°，
720°÷6=120°，
答：一个六边形的每个内角的度数是120°．
故选：C．
根据多边形的内角和公式：多边形的内角和=180°×(n−2)，再利用内角和÷6即可得出每个内角的度数．
本题主要考查了多边形内角和公式的灵活运用，关键是熟记公式．
8.【答案】C
【解析】解：如图：作点A关于街道的对称点A′，连接A′B交街道所在直线于点C，
∴A′C=AC，
∴AC+BC=A′B，
在街道上任取除点C以外的一点C′，连接A′C′，BC′，AC′，
∴AC′+BC′=A′C′+BC′，
在△A′C′B中，两边之和大于第三边，
∴A′C′+BC′>A′B，
∴AC′+BC′>AC+BC，
∴点C到两小区送奶站距离之和最小．
故选：C．
本题利用轴对称的性质，将折线最短问题转化为两点之间，线段最短问题，结合三角形的三边关系解题即可．
本题考查轴对称−最短路线的问题，将折线最短问题转化为两点之间，线段最短问题．会作对称点是解此类问题的基础，要求学生能熟练掌握，并熟练应用．另外本题的解决还应用了三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边．本题还会有变式：请你找出点C的位置．
9.【答案】C
【解析】解：∵△ABC沿EF翻折，
∴∠BEF=∠B′EF，∠CFE=∠C′FE，
∴180°−∠AEF=∠1+∠AEF，180°−∠AFE=∠2+∠AFE，
∵∠1=95°，
∴∠AEF=12(180°−95°)=42.5°，
∵∠A+∠AEF+∠AFE=180°，
∴∠AFE=180°−60°−42.5°=77.5°，
∴180°−77.5°=∠2+77.5°，
∴∠2=25°，
故选：C．
根据折叠的性质，再根据邻补角的定义运用合理的推理，结合三角形内角和定理即可求出答案．
本题考查了折叠的性质，解题关键在于根据轴对称变化关系找到对应边，对应角．
10.【答案】D
【解析】解：①过点P作PD⊥AC于D，
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，
∴PM=PN，PM=PD，
∴PM=PN=PD，
∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°，
∴∠ABC+∠MPN=180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
PM=PDPA=PA，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD(HL)，
∴∠APM=∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN(HL)，
∴∠CPD=∠CPN，
∴∠MPN=2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC=180°，②正确；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE=∠ABC+∠ACB=2∠PAM+∠ACB，∠PAM=12∠ABC+∠APB，
∴∠ACB=2∠APB，③正确；
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD(HL)，Rt△PCD≌Rt△PCN(HL)
∴S△APD=S△APM，S△CPD=S△CPN，
∴S△APM+S△CPN=S△APC，故④正确，
故选：D．
过点P作PD⊥AC于D，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明Rt△PAM≌Rt△PAD，根据全等三角形的性质得出∠APM=∠APD，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④．
本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
11.【答案】m(m+4)(m−4)
【解析】解：m3−16m
=m(m2−16)
=m(m+4)(m−4)．
故答案为：m(m+4)(m−4)．
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
12.【答案】x≠3
【解析】解：∵分式xx−3有意义，
∴x的取值范围是：x−3≠0，
解得：x≠3．
故答案为：x≠3．
直接利用分式有意义则其分母不为零，进而得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．
13.【答案】(3,−2)
【解析】解：∵点A，B的坐标分别是(−3,0)，(0,2)，
∴OA=3，OB=2，∠AOB=90°，
∵△OA′B′≌△AOB，
∴OA′=OA=3，A′B′=OB=2，∠B′A′O=90°，
∵点B′在第四象限，
∴点B′的坐标是(3,−2)，
故答案为：(3,−2)．
根据点A、B的坐标求出OA=3，OB=2，根据全等三角形的性质得出OA′=OA=3，A′B′=OB=2，再求出点B′的坐标即可．
本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的性质，能熟记全等三角形的对应边相等是解此题的关键．
14.【答案】25°
【解析】解：观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的垂直平分线，射线AE是∠DAC的角平分线．
∵DF垂直平分线段AB，
∴DA=DB，
∴∠BAD=∠B=40°，
∵∠B=40°，∠C=50°，
∴∠BAC=90°，
∴∠CAD=50°，
∵AE平分∠CAD，
∴∠DAE=12∠CAD=25°．
故答案为：25°．
根据作图痕迹判断可以求出∠BAD，然后利用三角形的内角和定理求出∠BAC即可求出∠CAD解决问题．
本题考查作图−基本作图，三角形内角和定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
15.【答案】6
【解析】解：过点G作MG⊥BF交BD于点M，过点M作NM⊥ED于N，如图所示：
∵AB=AC，∠A=45°，DE⊥BC，
∴∠ABC=∠C=67.5°，∠BDE=22.5°，∠ABF=∠A=45°，
∴∠FBC=∠ABC−∠ABF=22.5°，∠BGE=67.5°，
∴∠FBC=∠BDE，
∵MG⊥BF，NM⊥ED，
∴∠BGM=∠MND=90°，∠ABF=∠BMG=45°，
∴∠MGD=180°−∠BGE−∠BGM=22.5°，MG=BG，
∴∠MGD=∠BDG，
∴MG=MD=BG，DG=2DN，
在△DNM与△BEG中，
∠MND=∠BEG=90°∠BDE=∠FBCDM=BG，
∴△DNM≌△BEG(AAS)
∴DN=BE=3，
∴DG=2DN=6，
故答案为：6．
过点G作MG⊥BF交BD于点M，过点M作NM⊥ED，根据等腰三角形各角之间的关系得出∠FBC=∠BDE，再由垂直及等量代换得出∠MGD=∠BDG，利用等角对等边确定MG=MD=BG，DG=2DN，再由全等三角形的判定和性质求解即可．
本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，熟练运用等腰三角形的判定和性质是解题关键．
16.【答案】解：(1)去分母，得
5(2x+1)=x−1，
去括号，得
10x+5=x−1，
移项，合并同类项，得
9x=−6，
系数化为1，得
x=−23，
检验：把x=−23代入(x−1)(2x+1)≠0，
所以x=−23是原方程的解；
(2)去分母，得
1+2(x−2)=x−1，
去括号，得
1+2x−4=x−1，
移项，合并同类项，得
x=2，
检验：把x=2代入x−2=0，
所以此方程无解．
【解析】(1)根据解分式方程的过程即可求解；
(2)根据解分式方程的过程即可求解．
本题考查了解分式方程，解决本题的关键是解分式方程时要验根．
17.【答案】解：原式=[2x(x+1)(x+1)(x−1)−x(x−1)(x−1)2]·x+1x
=[2xx−1−xx−1]·x+1x
=xx−1·x+1x
=x+1x−1，
当x=3时，原式=3+13−1=2．
【解析】本题考查的是分式的化简求值，把所求的代数式化简，再代入求值即可．
先算括号里面的，再算除法，最后把x=3代入进行计算即可．
18.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，△A2B2C2即为所求；
(3)连接连接C1C2交直线m于点P，则点P即为所求点．

【解析】本题考查的是作图−轴对称变换和作图−平移变换．
(1)根据图形平移的性质画出△A1B1C1即可；
(2)根据轴对称的性质画出△ABC关于直线m对称的△A2B2C2即可；
(3)连接C1C2交直线m于点P，则点P即为所求点．
19.【答案】证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=∠ACB=12(180°−∠A)=72°，
∵DE是 AC的垂直平分线，
∴AD=DC，
∴∠ACD=∠A=36°，
∵∠CDB是△ADC的外角，
∴∠CDB=∠ACD+∠A=72°，
∴∠B=∠CDB，
∴CB=CD，
∴△BCD是等腰三角形．
【解析】先由AB=AC，∠A=36°，可求∠B=∠ACB=72°，然后由DE是AC的垂直平分线，可得AD=DC，进而可得∠ACD=∠A=36°，然后根据外角的性质可求：∠CDB=∠ACD+∠A=72°，根据等角对等边可得：CD=CB，进而可证△BCD是等腰三角形．
此题考查了等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识．解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
20.【答案】(1)证明：∵AD⊥CE，∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∴∠BCE=∠CAD(同角的余角相等)，
在△ADC与△CEB中
∠ADC=∠CEB∠CAD=∠BCEAC=CB
∴△ADC≌△CEB(AAS)；
(2)解：由(1)知，△ADC≌△CEB，
则AD=CE=5cm，CD=BE．
∵CD=CE−DE，
∴BE=AD−DE=5−3=2(cm)，
即BE的长度是2cm．
【解析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法(即SSS、SAS、ASA、AAS和HL)和全等三角形的性质(即全等三角形的对应边相等、对应角相等)是解题的关键．
(1)结合条件利用直角三角形的性质可得∠BCE=∠CAD，利用AAS和证得全等；
(2)由全等三角形的性质可求得CD=BE，AD=CE，利用线段的和差可求得BE的长度．
21.【答案】解：设大巴车的平均速度为x km/h，则小汽车的平均速度为1.5x km/h，
根据题意得：50x−501.5x=2060，
解得：x=50，
经检验，x=50是所列方程的解，且符合题意，
∴1.5x=1.5×50=75．
答：大巴车的平均速度为50km/h，小汽车的平均速度为75km/h．
【解析】设大巴车的平均速度为x km/h，则小汽车的平均速度为1.5x km/h，利用时间=路程÷速度，结合小汽车比大巴车少用20min，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出大巴车的平均速度，再将其代入1.5x中，可求出小汽车的平均速度．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22.【答案】AB//DE
【解析】解：(1)可行，理由如下：
在△ABC和△DEC中，
AC=DC∠ACB=∠ECDCB=EC，
∴△ABC≌△DEC(SAS)，
∴AB=DE；
(2)可行，理由如下：
∵BF⊥AB，DE⊥BF，
∴∠B=∠BDE，
在△ABC和△DEC中，
∠B=∠CDECB=CD∠BCA=∠DCE，
∴△ABC≌△DEC(ASA)，
∴AB=DE；
(3)只需AB//DE即可，
∵AB//DE，
∴∠B=∠BDE，
在△ABC和△EDC中，
∠B=∠CDECB=CD∠BCA=∠DCE，
∴△ABC≌△EDC(ASA)，
∴AB=DE，
故答案为：AB//DE．
(1)利用SAS定理证明△ABC≌△DEC可得AB=DE；
(2)利用ASA定理证明△ABC≌△DEC可得AB=DE；
(3)AB//DE，可得∠B=∠BDE，利用ASA定理证明△ABC≌△DEC可得AB=DE．
此题主要考查了全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形的判定与性质．
23.【答案】45 12α
【解析】解：(1)①∵∠BAO=70°，AD平分∠BAO，
∴∠BAD=35°，
∵∠MON=90°，
∴∠ABN=70°+90°=160°，
∵BC平分∠ABN，
∴∠ABC=80°，
∵∠D+∠BAD=∠CBA，
∴∠D=45°；
故答案为：45；
②不变化，
理由如下：
∵AD平分∠BAO，BC平分∠ABN，
∴∠BAD=12∠BAO,∠CBA=12∠NBA，
∵∠D+∠BAD=∠CBA，
∴∠D=∠CBA−∠BAD
=12∠NBA−12∠BAO
=12(∠NBA−∠BAO)
=12∠MON，
∵∠MON=90°，
∴∠D=45°，
∴∠D的度数不发生变化；
(2)由(1)②知：∠D=∠CBA−∠BAD，
∵∠ABC=13∠ABN,∠BAD=13∠BAO，
∴∠D=13∠ABN−13∠BAO=13(∠ABN−∠BAO)=13∠MON，
∵∠MON=90°，
∴∠D=30°；
(3)∵AD平分∠BAO，BC平分∠ABN，
∴∠BAD=12∠BAO,∠CBA=12∠NBA，
∵∠D+∠BAD=∠CBA，
∴∠D=∠CBA−∠BAD
=12∠NBA−12∠BAO
=12(∠NBA−∠BAO)
=12∠MON，
∵∠MON=α，
∴∠D=12α．
故答案为：12α．
(1)①先分别求出∠BAD=35°，∠ABC=80°，即可求出答案；②由∠D+∠BAD=∠CBA，需求∠CBA−∠BAD，由AD平分∠BAO，BC平分∠ABN，得∠BAD=12∠BAO,∠CBA=12∠NBA，进而解决此题；
(2)根据∠D=∠CBA−∠BAD，可得∠D=13∠ABN−13∠BAO=13(∠ABN−∠BAO)=13∠MON即可求出答案；
(3)由∠D+∠BAD=∠CBA，需求∠CBA−∠BAD，由AD平分∠BAO，BC平分∠ABN，得∠BAD=12∠BAO,∠CBA=12∠NBA，进而解决此题．
本题考查了角平分线的定义及三角形的外角的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．