2023-2024学年内蒙古呼伦贝尔市鄂伦春旗诺敏中学九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年内蒙古呼伦贝尔市鄂伦春旗诺敏中学九年级（上）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一元二次方程ax2+bx+c=0至少有一个根是零的条件是( )
A. c=0且a≠0B. b=0C. c=0且b=0D. c=0
2.已知y=2x2m是反比例函数，则m的值是( )
A. m=12B. m=−12C. m≠0D. 一切实数
3.已知点A(a,1)与点B(5,b)是关于原点O的对称点，则( )
A. a=−5，b=−1B. a=−5，b=1
C. a=5，b=−1D. a=5，b=1
4.若关于x的一元二次方程kx2−x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A. k<14B. k>14C. k>14且k≠0D. k<14且k≠0
5.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为( )
A. 2 2
B. 4
C. 4 2
D. 8
6.不透明袋子中有除颜色外完全相同的4个黑球和2个白球，从袋子中随机摸出3个球，下列事件是必然事件的是( )
A. 3个都是黑球B. 2个黑球1个白球C. 2个白球1个黑球D. 至少有1个黑球
7.将抛物线y=x2+1向下平移3个单位，再向右平移4个单位，得到抛物线( )
A. y=(x+4)2+4B. y=(x−4)2+4C. y=(x+4)2−2D. y=(x−4)2−2
8.若点(−1,y1)，(2,y2)，(3,y3)在反比例函数y=−5x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y1>y2>y3B. y2>y3>y1C. y3>y1>y2D. y1>y3>y2
9.如图，边长为3的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则扇形OAB(图中阴影部分)的面积为( )
A. π
B. 3π2
C. 3π
D. 9π4
10.如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为
( )
A. 56°B. 62°C. 68°D. 78°
11.如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且BE=CF，连接CE、DF，将△DCF绕着正方形的中心O按顺时针方向旋转到△CBE的位置，则旋转角为( )
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
12.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：
①b2>4ac；②abc<0；③2a+b=0；④8a+c>0；⑤9a+3b+c<0，
其中正确的结论是( )
A. ①②
B. ②③
C. ①③④
D. ①③④⑤
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
13.二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则m的值为______．
14.正比例函数y=x与反比例函数y=1x的图象相交于A，C两点，AB⊥x轴于B，CD⊥x轴于D，则四边形ABCD的面积为______．
15.圆锥的高为2 15cm，母线长为8cm，则侧面展开图扇形圆心角为______度．
16.2018−2019赛季中国男子篮球职业联赛(CBA)，继续采用双循环制(每两队之间都进行两场比赛)，总比赛场数为380场．求有多少支队伍参加比赛？设参赛队伍有x支，则可列方程为________________．
17.如图，直线y= 33x−3交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是______．
三、解答题：本题共9小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
解方程：x2+4x−2=2x+3．
19.(本小题6分)
已知反比例函数的图象经过点(2,−2)．
(I)求此反比例函数的解析式；
(II)当y≥2时，求x的取值范围．
20.(本小题6分)
如图，在△ABC中，点D是AB边上的中点，已知AC=4，BC=6，

(1)画出△BCD关于点D的中心对称图形；
(2)根据图形说明线段CD长的取值范围．
21.(本小题6分)
如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，且AD平分∠CAB，作DE⊥AB于E．
(1)求证：AC/​/OD；
(2)求证：OE=12AC．
22.(本小题6分)
如图1，将一张长20cm，宽10cm的长方形硬纸片裁剪掉图中阴影部分之后，恰好折成如图2的有盖纸盒，纸盒底面积为48cm2，求该有盖纸盒的高．(单位：cm)
23.(本小题8分)
在一个不透明的布袋里装有4个标号分别为1，2，3，4的小球，这些球除标号外无其它差别．从布袋里随机取出一个小球，记下标号为x，再从剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下标号为y，记点P的坐标为(x,y)．
(I)请用画树形图或列表的方法写出点P所有可能的坐标；
(Ⅱ)求两次取出的小球标号之和大于6的概率；
(Ⅲ)求点(x,y)落在直线y=−x+5上的概率．
24.(本小题8分)
某工厂生产一种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y(件)与售价x(万元/件)之间满足一次函数关系，部分数据如表：
(1)求y与x的函数关系式(不写自变量的取值范围)．
(2)该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元．
①求：三月份每件产品的成本是多少万元？
②四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元.若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润w(万元)关于售价x(万元/件)的函数关系式，并求最少利润是多少万元．
25.(本小题10分)
如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接OC，PB，已知PB=6，DB=8，∠EDB=∠EPB．
(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)求⊙O的半径．
(3)连接BE，求BE的长．
26.(本小题13分)
如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A(−3,0)，B(1,0)，交y轴于点C.点P(m,0)是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；
②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根是零，
∴c=0，a≠0，
故选：A．
根据方程解的定义，将x=0代入原方程，可得c=0，于是问题可求．
本题考查一元二次方程的定义，及系数的取值范围问题，根据已知条件，看哪个选项为最佳．
2.【答案】B
【解析】解：y=2x2m是反比例函数，则2m=−1，所以m=−12．
故选：B．
根据反比例函数的一般式是y=kx(k≠0)或y=kx−1(k≠)，即可求解．
本题考查了反比例函数的一般形式y=kx(k≠0)，也可转化为y=kx−1(k≠0)的形式，特别注意不要忽略k≠0这个条件．
3.【答案】A
【解析】解：根据题意得a=−5，b=−1，
故选：A．
本题比较容易，根据平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(−x,−y)，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．就可以求出a、b的值．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
4.【答案】D
【解析】解：∵关于x的一元二次方程kx2−x+1=0有两个不相等的实数根，
∴k≠0Δ=(−1)2−4×k×1>0，
解得：k<14且k≠0．
∴k的取值范围为k<14且k≠0．
故选：D．
利用二次项系数非零及根的判别式Δ>0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵直径AB垂直于弦CD，
∴CD=2CE，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠A=22.5°，
∴∠COE=∠A+∠OCA=45°，
∴△COE是等腰直角三角形，
∴CE=OE，
∵CE2+OE2=OC2，
∴2CE2=42，
∴CE=2 2，
∴CD=2CE=4 2．
故选：C．
由勾股定理求出CE的长，再由垂径定理得到CD=2CE，即可解决问题．
本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由勾股定理求出CE的长．
6.【答案】D
【解析】解：A选项：袋子中装有4个黑球和2个白球，摸出的三个球中可能为两个白球一个黑球，所以A不是必然事件；
B和C选项：袋子中有4个黑球，有可能摸到的全部是黑球，摸出2个黑球1个白球或2个白球1个黑球有可能不发生，所以B、C不是必然事件；
D选项：白球只有两个，如果摸到三个球不可能都是白梂，因此至少有一个是黑球，D正确．
故选：D．
正确理解“必然事件”的定义，即可解答．必然事件是指事件一定会发生，即事件发生的可能性为100%．
本题考查了“必然事件”，正确理解“必然事件”的定义是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：根据平移规律，抛物线y2=x2+1向下平移3个单位，再向右平移4个单位，得到抛物线：y=(x−4)2+1−3，即y=(x−4)2−2，
故选：D．
根据平移规律平移即可得到解析式．
主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
8.【答案】D
【解析】解：∵k=−5<0，
∴在每个象限内，y随x值的增大而增大，
∴当x=−1时，y1>0，
∵2<3，
∴y2故选：D．
k=−5<0，y随x值的增大而增大，(−1,y1)在第二象限，(2,y2)，(3,y3)在第四象限，即可解题．
本题考查反比函数图象及性质；熟练掌握反比函数的图象及x与y值之间的关系是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴∠AOB=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=2，
∴扇形AOB的面积=60π×32360=32π，
故选：B．
根据已知条件得到∠AOB=60°，推出△AOB是等边三角形，得到OA=OB=AB=3，根据扇形的面积公式即可得到结论．
本题考查了正多边形与圆及扇形的面积的计算，解题的关键是熟练掌握扇形的面积公式．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查圆内接四边形和三角形的内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质．
由点I是△ABC的内心知∠BAC=2∠IAC，∠ACB=2∠ICA，从而求得∠B=180°−(∠BAC+∠ACB)=180°−2(180°−∠AIC)，再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．
【解答】
解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAC=2∠IAC，∠ACB=2∠ICA，
∵∠AIC=124°，
∴∠B=180°−(∠BAC+∠ACB)
=180°−2(∠IAC+∠ICA)
=180°−2(180°−∠AIC)
=68°，
又四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDE=∠B=68°，
故选：C．
11.【答案】D
【解析】【分析】
由题意得到D对应点为C，连接OC，OD，∠DOC即为旋转角，利用正方形性质求出即可．
此题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．
【解答】
解：
∵正方形ABCD，O为正方形的中心，
∴OD=OC，OD⊥OC，
∴∠DOC=90°，
由题意得到D对应点为C，连接OC，OD，∠DOC即为旋转角，
则将△DCF绕着正方形的中心O按顺时针方向旋转到△CBE的位置，旋转角为90°，
故选D．
12.【答案】D
【解析】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0
即b2>4ac，∴①正确；
抛物线开口向上，a>0，与y轴的交点在负半轴，则c<0，
对称轴−b2a>0，则b<0，
∴abc>0，∴②错误；
又∵抛物线对称轴是直线x=1
即−b2a=1，可得2a+b=0，∴③正确；
∵从图象可以看到，当x=−2时，y>0
∴4a−2b+c>0
由③可知b=−2a
∴8a+c>0，∴④正确；
根据抛物线的轴对称性可知，它与x轴的另一个交点应该在3、4之间，
∴当x=3时，y<0
∴9a+3b+c<0，∴⑤正确．
故选：D．
根据函数图象与坐标轴的交点、开口方向、对称轴，以及特殊点的代入进行判断每一个选项即可．
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，关键是要会利用抛物线的轴对称性以及二次函数与方程之间的转换．
13.【答案】−1
【解析】解：根据图表可以得到，
点(−2,7)与(4,7)是对称点，
点(−1,2)与(3,2)是对称点，
∴函数的对称轴是：x=1，
∴横坐标是2的点与(0,−1)是对称点，
∴m=−1．
二次函数的图象具有对称性，从函数值来看，函数值相等的点就是抛物线的对称点，由此可推出抛物线的对称轴，根据对称性求m的值．
正确观察图象，能够得到函数的对称轴，联想到对称关系是解题的关键．
14.【答案】2
【解析】解：依照题意画出图形，如图所示．
联立正、反比例函数解析式成方程组，
y=xy=1x，解得：x1=−1y1=−1，x2=1y2=1，
∴点A(−1,−1)，点C(1,1)．
∵AB⊥x轴于B，CD⊥x轴于D，
∴AB/​/CD，AB=CD=1，
∴四边形ABCD为平行四边形．
∵点A(−1,−1)，点C(1,1)，
∴BD=1−(−1)=2，
∴S平行四边形ABCD=CD⋅BD=1×2=2．
故答案为：2．
联立正、反比例函数解析式成方程组，解之即可得出点A、C的坐标，结合AB⊥x轴于B、CD⊥x轴于D即可得出AB/​/CD、AB=CD=1，即四边形ABCD为平行四边形，根据点A、C的坐标结合平行四边形的面积公式即可求出四边形ABCD的面积．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、平行四边形的判定以及平行四边形的面积，联立正、反比例函数解析式成方程组，通过解方程组求出点A、C的坐标是解题的关键．
15.【答案】90
【解析】解：∵高为2 15cm，母线长为8cm，
∴圆锥的底面周长为 82−(2 15)2=2cm，
∴nπ×8180=2×2π，
解得：n=90，
故答案为：90．
首先利用勾股定理求得圆锥的母线长，然后利用圆锥的底面周长等于扇形的弧长求得圆心角的度数即可．
考查圆锥的侧面展开图公式；用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长．
16.【答案】x(x−1)=380
【解析】【分析】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数做为等量关系列方程求解．
设参赛队伍有x支，根据参加篮球职业联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛380场，可列出方程．
【解答】解：设参赛队伍有x支，则
x(x−1)=380．
故答案为x(x−1)=380．
17.【答案】(3 3−2,0)或(3 3+2,0)
【解析】解：∵直线y= 33x−3交x轴于点A，交y轴于点B，
∴令x=0，得y=−3，令y=0，得x=3 3，
∴A(3 3,0)，B(0,−3)，
∴OA=3 3，OB=3，
∴AB=6，
设⊙P与直线AB相切于D，
连接PD，
则PD⊥AB，PD=1，
∵∠ADP=∠AOB=90°，∠PAD=∠BAO，
∴△APD∽△ABO，
∴PDOB=APAB，
∴13=AP6，
∴AP=2，
∴OP=3 3−2或OP=3 3+2，
∴P(3 3−2,0)或P(3 3+2,0)，
故答案为(3 3−2,0)或(3 3+2,0)．
根据函数解析式求得A(3 3,0)，B(0,−3)，得到OA=3 3，OB=3根据勾股定理得到AB=6，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD=1，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，一次函数图形上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．
18.【答案】解：x2+4x−2=2x+3，
x2+4x−2x=3+2，
x2+2x=5，
x2+2x+1=5+1，
(x+1)2=6，
x+1=± 6，
x1=−1+ 6，x2=−1− 6．
【解析】先移项，再用配方法求解即可．
本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的配方法是解题的关键．
19.【答案】解：(I)设解析式为y=kx，
把点(2,−2)代入解析式得，
−2=k2，
解得：k=−4
∴反比例函数的解析式y=−4x；
(II)当y=2时，x=−2，
如图，
所以当y≥2时，−2≤x<0．
【解析】(I)设出反比例函数解析式，再把已知点的坐标代入可求出k值，即得到反比例函数的设解析式；
(II)利用反比例函数的解析式求出y=2的点，利用图图象求得答案．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
20.【答案】解：(1)所画图形如下所示：
△ADE就是所作的图形．
(2)由(1)知：△ADE≌△BDC，
则CD=DE，AE=BC，
∴AE−AC<2CD∴2<2CD<10，
解得：1【解析】本题考查中心对称图形及三角形三边关系的知识，难度适中．
(1)根据中心对称图形的性质找出各顶点的对应点，然后顺次连接即可；
(2)根据三角形的三边关系求解即可．
21.【答案】证明：(1)∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD，
∵AO=DO，
∴∠BAD=∠ADO，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC/​/OD；
(2)过O作OF⊥AC于F
∵DE⊥AB，OF⊥AC，
∴∠AFO=∠DEO=90°，
∵AC//OD，
∴∠FOD=∠AFO=90°，
∴∠FAO+∠FOA=90°，∠FOA+∠EOD=90°，
∴∠FAO=∠EOD，
在△AFO和△OED中，
∠AFO=∠OED∠FAO=∠EODAO=DO，
∴△AFO≌△OED(AAS)，
∴AF=OE，
∵OF⊥AC，OF过O，
∴AF=CF=12AC，
∴OE=12AC．
【解析】(1)根据角平分线的定义得出∠CAD=∠BAD，根据等腰三角形的性质得出∠BAD=∠ADO，求出∠CAD=∠ADO，根据平行线的判定得出即可；
(2)过O作OF⊥AC于F，根据垂径定理求出AF=12AC，根据全等三角形的判定得出△AFO≌△OED，根据全等三角形的性质得出AF=OE即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质，垂径定理等知识点，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．
22.【答案】解：设当纸盒的高为xcm时，纸盒的底面积是48cm2，
依题意，得20−2x2⋅(10−2x)=48，
化简，得：x2−15x+26=0，
解得：x1=2，x2=13．
当x=2时，10−2x=6>0，符合题意；
当x=13时，10−2x=−16<0，不符合题意，舍去，
答：若纸盒的底面积是48cm2，纸盒的高为2cm．
【解析】设当纸盒的高为xcm时，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是48cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23.【答案】解：(I)画树状图得：

共有12种等可能的结果数；
(Ⅱ)∵共有12种等可能的结果数，其中两次取出的小球标号之和大于6的有2种，
∴两次取出的小球标号之和大于6的概率是212=16；
(Ⅲ)∵点(x,y)落在直线y=−x+5上的情况共有3种，
∴点(x,y)落在直线y=−x+5上的概率是412=13．
【解析】(I)根据题意画出树状图，得出所有等情况数即可；
(Ⅱ)先找出两次取出的小球标号之和大于6的情况数，再根据概率公式即可得出答案；
(Ⅲ)先找出点(x,y)落在直线y=−x+5上的情况数，然后根据概率公式求解．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24.【答案】解：(1)在表格取点(30,40)、(32,36)，
设一次函数的表达式为：y=kx+b，
则40=30k+b36=32k+b，解得：k=−2b=100，
则一次函数的表达式为：y=−2x+100；
(2)①设三月的成本为m万元，
当x=35时，y=−2x+100=30，
由题意得：450=30(35−m)，
解得：m=20，
即三月份每件产品的成本是20万元；
②四月份每件产品的成本比三月份下降了14万元，则此时的成本为20−14=6，
由题意得：w=y(x−6)=(−2x+100)(x−6)=−2x2+112x−600(25≤x≤30)，
则抛物线的对称轴为x=28，
则x=25时，w取得最小值，
此时，w=950，
即四月份最少利润是950万元．
【解析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)①设三月的成本为m万元，当x=35时，y=−2x+100=30，由题意得：450=30(35−m)，即可求解；
②由题意得：w=y(x−6)=(−2x+100)(x−6)=−2x2+112x−600(25≤x≤30)，即可求解．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数的相关性质，是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵DE⊥PE，
∴∠DEO=90°，
∵∠EDB=∠EPB，∠BOE=∠EDB+∠DEO，∠BOE=∠EPB+∠OBP，
∴∠OBP=∠DEO=90°，
∴OB⊥PB，
∵OB是⊙O的半径，
∴PB为⊙O的切线；
(2)解：在Rt△PBD中，PB=6，DB=8，
根据勾股定理得：PD= 62+82=10，
∵PD与PB都为⊙O的切线，
∴PC=PB=6，
∴DC=PD−PC=10−6=4；
在Rt△CDO中，设OC=r，则有OD=8−r，
根据勾股定理得：(8−r)2=r2+42，
解得：r=3，
则圆的半径为3．
(3)延长PB、DE相交于点F，
∵PD与PB都为⊙O的切线，
∴OP平分∠CPB，
∴∠DPE=∠FPE，
∵PE⊥DF，
∴∠PED=∠PEF=90°，
在△PED和△PEF中
∠DPE=∠FPEPE=PE∠PED=∠PEF,
∴△PED≌△PEF(ASA)，
∴PF=PD=10，DE=EF，
∴BF=PF−PB=10−6=4，
在Rt△DBF中，DF= DB2+BF2= 82+42=4 5，
∴BE=12DF=2 5．
【解析】(1)由已知角相等及直角三角形的性质得到∠OBP为直角，即可得证；
(2)在直角三角形PBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到PC=PB=6，由PD−PC求出CD的长，在直角三角形OCD中，设OC=r，则有OD=8−r，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即为圆的半径．
(3)延长PB、DE相交于点F，证明△PED≌△PEF(ASA)，由全等三角形的性质得出PF=PD=10，DE=EF，求出DF的长，则可得出答案．
本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
26.【答案】解：(1)把A(−3,0)，B(1,0)代入y=x2+bx+c中，
得9−3b+c=01+b+c=0，
解得b=2c=−3，
∴这个二次函数的表达式为y=x2+2x−3；
(2)①∵y=x2+2x−3，
∴当x=0时，y=−3，
∴C点坐标为(0,−3)，
设直线AC的表达式为y=kx+b，
把A(−3,0)，C(0,−3)代入y=kx+b，
得b=−3−3k+b=0，
解得k=−1b=−3，
∴y=−x−3，
∵点P(m,0)是x轴上的一动点，且PM⊥x轴，
∴M点坐标为(m,−m−3)，N点坐标为(m,m2+2m−3)，
∴MN=(−m−3)−(m2+2m−3)=−m2−3m=−(m+32)2+94，
∵a=−1<0，
∴此函数有最大值，
又∵点P在线段OA上运动，则−3∵−3<−32<0，
∴当m=−32时，MN有最大值94；
②点Q的坐标为(0,−3 2−1)或(0,−1)或(0,3 2−1)．
【解析】(1)把A(−3,0)，B(1,0)代入y=x2+bx+c中，构建方程组解决问题即可；
(2)①构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可；
②分三种情形：如图2−1中，当点M在线段AC上，MN=MC，四边形MNQC是菱形时，如图2−2中，当NC是菱形的边时，四边形MNCQ是正方形，如图2−3中，当点M在CA延长线上时，MN=CM，四边形MNQC是菱形时，分别求解即可．
本题考查二次函数综合．
解：(1)见答案；
(2)①见答案；
②存在，理由如下：
如图2−1中，当点M在线段AC上，MN=MC时，
∵MN=−m2−3m，MC=− 2m，
∴−m2−3m=− 2m，
解得m=−3+ 2或0(舍)，
∴MN=3 2−2，
∵四边形MNQC是菱形，
∴CQ=MN=3 2−2，
∴OQ=3 2+1，
∴Q点坐标为(0,−3 2−1)，
如图2−2中，当NC是菱形的边时，四边形MNCQ是正方形，此时CN=MN=CQ=2，
可得Q点坐标为(0,−1)，
如图2−3中，当点M在CA延长线上时，MN=CM，四边形MNQC是菱形时，
则有m2+3m=− 2m，
解得m=−3− 2或0(舍弃)，
∴MN=CQ=3 2+2，
∴OQ=CQ−OC=3 2−1，
∴Q点坐标为(0,3 2−1)，
综上所述，满足条件的点Q的坐标为(0,−3 2−1)或(0,−1)或(0,3 2−1)． x
−2
−1
0
1
2
3
4
y
7
2
−1
−2
m
2
7
每件售价x/万元
…
24
26
28
30
32
…
月销售量y/件
…
52
48
44
40
36
…