2023-2024学年上海市嘉定区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市嘉定区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列二次根式中，属于最简二次根式的是( )
A. 12B. x3C. a4D. a2−b2
2.如果 n与 2是同类二次根式，那么下列各数中，n可以取的数为( )
A. 4B. 6C. 8D. 12
3.下列方程中，没有实数根的是( )
A. x2−3x−1=0B. x2−3x=0C. x2−2x+1=0D. x2−2x+3=0
4.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是( )
A. 三边长之比为3：4：5B. 三内角之比为3：4：5
C. 三内角之比为1：2：3D. 三边长的平方之比为1：2：3
5.如图，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥BC，若BC=10cm，则△DEC的周长为( )
A. 8cm
B. 10cm
C. 12cm
D. 14cm
6.如图，等边三角形OAB的一边OA在x轴上，双曲线y= 3x在第一象限内的图象经过OB边的中点C，则点B的坐标是( )
A. (1, 3)B. ( 3,1)C. (2,2 3)D. (2 3,2)
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
7.方程x2=x的解是______ ．
8.函数y= 2−xx−3的定义域是______ ．
9.已知f(x)=22−x，那么f( 2)=______．
10.写出一个一元二次方程的一般式，使它同时满足以下要求：①二次项系数为2，②两根分别为3和−12：______ ．
11.定理“全等三角形的对应角相等”______ (填“有”或“没有”)逆定理．
12.已知线段AB=3，那么满足AP+BP=3的点P的轨迹是______ ．
13.已知直角坐标平面上点P(−1,2)和Q(3,0)，则PQ= ______ ．
14.一种型号的智能手机，原来每台售价7500元，经过两次降价后，现在每台售价为4800元，如果每次降价的百分率相同，那么这个百分率是______．
15.如果直角三角形的面积是8，斜边上的高是2，那么斜边上的中线长是______ ．
16.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形底角的度数为______ °.
17.已知直角三角形两边x、y的长满足|x2−4|+ y2−5y+6=0，则第三边长为______．
18.我们规定：如果一个三角形一边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”.如图，已知直线l1//l2，l1与l2之间的距离是3，“等高底”△ABC的“等底”BC在直线l1上(点B在点C的左侧)，点A在直线l2上，AB= 2BC，将△ABC绕点B顺时针旋转45°得到△A1BC1，点A、C的对应点分别为点A1、C1，那么A1C的长为 ．
三、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题5分)
计算：( 3−1)2+( 3− 2)( 2+ 3)+ 2+1 2−1−3 12．
20.(本小题6分)
用配方法解方程：2x2−4x−1=0．
21.(本小题6分)
已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x−2成反比例，且当x=1时，y=−1；当x=3时，y=5.求y与x的函数关系式．
22.(本小题7分)
某县在实施“村村通”工程中，决定在A、B两村之间修筑一条公路，甲、乙两个工程队分别从A、B两村同时相向开始修筑，施工期间，乙队因另有任务提前离开，余下的任务由甲队单独完成，直到道路修通．下图是甲、乙两个工程队修道路的长度y(米)与修筑时间x(天)之间的函数图象，请根据图象所提供的信息，解答下列问题：
(1)写出乙工程队修道路的长度y与修筑时间x之间的函数关系式： ；
(2)甲工程队前4天平均每天修路 米，后12天平均每天修路 米；
(3)该公路的总长度为 米．
23.(本小题8分)
已知，如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AC平分∠BAD，点E是BD中点，AF⊥BD，垂足为点F.求证：
(1)∠ABF=∠DAF；
(2)CB=CD．
24.(本小题8分)
如图，点P是一个反比例函数与正比例函数y=−2x的图象的交点，PQ垂直于x轴，垂足Q的坐标为(2,0).
(1)求这个反比例函数的解析式．
(2)如果点M在这个反比例函数的图象上，且△MPQ的面积为6，求点M的坐标．
25.(本小题12分)
如图，△ABC中，AC=2 3，BC=4 3，AB=6，点P是射线CB上一点(不与点B重合)，EF为PB的垂直平分线，交PB于点F，交射线AB于点E，联结PE、AP．
(1)求∠B的度数；
(2)当点P在线段CB上时，设BE=x，△ACP的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
(3)如果BE=2，请直接写出△ACP的面积．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、 12= 4×3=2 3，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
B、 x3= 3x3，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
C、 a4=a2，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意；
D、 a2−b2是最简二次根式，符合题意；
故选：D．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
2.【答案】C
【解析】解：A.当n=4时， n= 4=2，与 2不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
B.当n=6时， n= 6，与 2不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
C.当n=8时， n= 8=2 2，与 2是同类二次根式，故本选项符合题意；
D.当n=12时， n= 12=2 3，与 2不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
故选：C．
先把n的值代入 n，再根据二次根式的性质进行化简，最后根据同类二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了同类二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义是解此题的关键，几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
3.【答案】D
【解析】解：A、Δ=b2−4ac=(−3)2−4×1×(−1)=13>0，方程有两个不相等的实数根，所以A选项不符合题意；
B、Δ=b2−4ac=(−3)2−4×1×0=9>0，方程有两个不相等的实数根，所以B选项不符合题意；
C、Δ=b2−4ac=(−2)2−4×1×1=0，方程有两个相等的实数根，所以C选项不符合题意；
D、Δ=b2−4ac=(−2)2−4×1×3=−8<0，方程没有实数根，所以D选项符合题意．
故选：D．
各个方程求出根的判别式的值，判断出正负即可确定是否有根．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ=b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=b2−4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ=b2−4ac<0时，方程无实数根．
4.【答案】B
【解析】解：A、三边长之比为3：4：5时，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故A不符合题意；
B、∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A：∠B：∠C=3：4：5，
∴最大角∠C=53+4+5×180°=75°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；
C、∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°×31+2+3=90°，
∴△ABC是直角三角形，故C不符合题意；
D、三边长的平方之比为1：2：3时，
设三边的平方为k2，2k2，3k2，因为k2+2k2=3k2，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故C不符合题意．
故选：B．
根据直角三角形的定义，勾股定理的逆定理一一判断即可．
本题考查了直角三角形的判定，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理，属于中考常考题型．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是角平分线的性质，涉及到等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并求出△DEC的周长=BC是解题的关键．
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=AD，利用“HL”证明Rt△ABD和Rt△EBD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=AE，然后求出△DEC的周长=BC，再根据BC=10cm，即可得出答案．
【解答】
解：∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，∠A=90°，
∴AD=ED，
在Rt△ABD和Rt△EBD中，
∵BD=BDAD=ED,
∴Rt△ABD≌Rt△EBD(HL)，
∴AB=EB，
∴△DEC的周长=DE+CD+CE
=AD+CD+CE，
=AC+CE，
=AB+CE，
=BE+CE，
=BC，
∵BC=10cm，
∴△DEC的周长是10cm．
故选：B．
6.【答案】C
【解析】解：过点B作BD⊥x轴，垂足为D，设点B的坐标为(a,b)(a>0)，
∵三角形OAB是等边三角形，
∴∠BOA=60°，
在Rt△BOD中，tan60°=DBOD=ba，
∴b= 3a，
∵点C是OB的中点，
∴点C坐标为(a2, 3a2)，
∵点C在双曲线y= 3x上，
∴ 34a2= 3，
∴a=2，
∴点B的坐标是(2,2 3)，
故选C．
过点B作BD⊥x轴，垂足为D，设点B的坐标为(a,b)(a>0)，再求出b和a的关系和C点的坐标，由点C在双曲线y= 3x上，求出a的值，进而求出B点坐标．
本题主要考查反比例函数的综合题，解答本题的关键是求出点B的坐标，此题难度不大．
7.【答案】x1=0，x2=1
【解析】解：x2=x，
x2−x=0，
x(x−1)=0，
x=0或x−1=0，
x1=0，x2=1，
故答案为：x1=0，x2=1．
利用解一元二次方程−因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握解一元二次方程−因式分解法是解题的关键．
8.【答案】x≤2
【解析】解：由题意得：2−x≥0且x−3≠0，
解得：x≤2且x≠3，
∴x≤2，
故答案为：x≤2．
根据二次根式 a(a≥0)，以及分母不为0可得2−x≥0且x−3≠0，然后进行计算即可解答．
本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式 a(a≥0)，以及分母不为0是解题的关键．
9.【答案】2+ 2
【解析】解：f( 2)=22− 2=2+ 2．
故答案为：2+ 2．
把x= 2代入函数表达式，再分母有理化即可得解．
本题考查了函数值的求解，难点在于分母有理化．
10.【答案】2x2−5x−3=0
【解析】解：∵3+(−12)=52，3×(−12)=−32，
∴以3和−12为根的一元二次方程可为x2−52x−32=0，
即2x2−5x−3=0．
故答案为：2x2−5x−3=0．
先计算3与−12的和与积，则根据根与系数的关系得到方程x2−52x−32=0，然后把系数化为整数系数即可．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
11.【答案】没有
【解析】解：∵全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，是假命题，
∴定理“全等三角形的对应角相等”没有逆定理．
故答案为：没有．
写出原命题的逆命题，根据三角形全等的判定定理判断即可．
本题考查的是命题的真假判断、全等三角形的性质，熟记三角形全等的性质是解题的关键．
12.【答案】以A、B为端点的线段
【解析】解：分两种情况讨论：
①若点P在线段AB上，则AP+BP=AB=3，符合条件；
②若点P不在线段AB上，则点A、B、P构成三角形，
所以AP+BP>AB，
即AP+BP>3，
此情况不符合条件，故舍去；
综上所述：点P的运动轨迹是以A、B为端点的线段；
故答案为：以A、B为端点的线段．
分类讨论，点P在线段AB上或者点P不在线段AB上两种情况考虑点P的位置，即可得到答案．
本题主要考查两点之间线段最短，解决本题的关键是熟练牢记两点之间线段最短．
13.【答案】2 5
【解析】解：∵P(−1,2)和Q(3,0)，
∴PQ= (−1−3)2+(2−0)2= 20=2 5．
故答案为：2 5．
根据平面直角坐标系中两点的距离公式直接计算即可．
本题考查了平面直角坐标系中两点的距离公式：若两点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，则这两点的距离= (x1−x2)2+(y1−y2)2．
14.【答案】20%
【解析】解：设每次降价的百分率为x，
依题意，得：7500(1−x)2=4800，
解得：x1=0.2=20%，x2=−1.2(舍去)．
故答案为：20%．
设每次降价的百分率为x，根据该手机的原价及经过两次降价后的价格，可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15.【答案】4
【解析】解：设直角三角形的斜边长为x，
∵直角三角形的面积是8，斜边上的高是2，
∴12x⋅2=8，
解得：x=8，
∴直角三角形的斜边长为8，
∴斜边上的中线长是4，
故答案为：4．
设直角三角形的斜边长为x，根据三角形的面积可得12x⋅2=8，从而可得：x=8，然后利用直角三角形斜边上的中线性质进行计算，即可解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形的面积，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
16.【答案】15或75
【解析】解：(1)当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形内部，如图，
BD为等腰三角形ABC腰AC上的高，并且BD=12AB，
根据直角三角形中30°角的对边等于斜边的一半的逆用，可知顶角为30°，此时底角为75°；
(2)当等腰三角形是钝角三角形时，腰上的高在三角形外部，如图，
BD为等腰三角形ABC腰AC上的高，并且BD=12AB，
根据直角三角形中30°角的对边等于斜边的一半的逆用，可知顶角的邻补角为30°，此时顶角是150°，底角为15°．
故其底角为15°或75°．
因为三角形的高有三种情况，而直角三角形不合题意，故舍去，所以应该分两种情况进行分析，从而得到答案．
此题主要考查等腰三角形的性质；正确的分类讨论是解答本题的关键．
17.【答案】2 2或 13或 5
【解析】解：∵|x2−4|≥0， y2−5y+6≥0，且|x2−4|+ y2−5y+6=0，
∴x2−4=0，y2−5y+6=0，
∴x=2或−2(舍去)，y=2或3，
①当两直角边是2时，斜边的长为： 22+22=2 2；
②当2，3均为直角边时，斜边的长为 22+32= 13；
③当2为一直角边，3为斜边时，则第三边是直角边，长为 32−22= 5．
综上，第三边的边长为2 2或 13或 5．
任何数的绝对值，以及算术平方根一定是非负数，已知题中两个非负数的和是0，则两个一定同时是0；
另外已知直角三角形两边x、y的长，具体是两条直角边或是一条直角边一条斜边，应分类讨论．
本题考查了非负数的性质，另外考查勾股定理的应用以及分类讨论思想．
18.【答案】3 2−3
【解析】解：如下图：
∵BC=3，AC=3，AB=A1B=3 2，
∴A1C=A1B−BC=3 2−3，
故答案为：3 2−3．
先根据勾股定理求出BC，再根据旋转法性质求解．
本题考查了旋转的性质，掌握勾股定理是解题的关键．
19.【答案】解：原式=3+1−2 3+3−2+( 2+1)2−3 22
=5−2 3+2+1+2 2−3 22
=8−2 3+ 22．
【解析】先算乘方，乘除，再算加减即可．
本题考查的是二次根式的混合运算及分母有理化，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
20.【答案】解：2x2−4x−1=0，
2x2−4x=1，
x2−2x=12，
配方得：x2−2x+1=12+1，
(x−1)2=32，
开方得：x−1=± 32，
解得：x1=2+ 62，x2=2− 62．
【解析】移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解此题的关键．
21.【答案】解：设y1=k1x(k1≠0)，y2=k2x−2
∴y=k1x+k2x−2
∵当x=1时，y=−1；当x=3时，y=5，
∴k1=1k2=2．
所以k1=1k2=2．
所以y=x+2x−2．
【解析】根据正比例和反比例函数的定义设表达式，再根据给出自变量和函数的对应值求出待定的系数则可．
本题考查了正比例和反比例函数的定义，并且考查了二元一次方程组的解法，难度稍大．
22.【答案】(1)y=70x；
(2)90；50；
(3)1800．
【解析】解：(1)设y=kx，
∵经过(12,840)，
∴12k=840，
解得k=70，
∴y=70x，
故答案为y=70x；
(2)甲工程队前4天平均每天修路米数为360÷4=90；
当x=8时，y=560，
设当4≤x≤16时，甲工程队的函数解析式为y=kx+b，
4k+b=3608k+b=560，
解得k=50b=160，
∴y=50x+160，
当x=16时，y=960，
∴后12天平均每天修路米数为(960−360)÷12=50．
故答案为90；50
(3)公路的总长度为840+960=1800米，故答案为1800.
(1)设出正比例函数解析式，把(12,840)代入可得所求函数解析式；
(2)让前4天修路的总路程除以4即可得到甲工程队前4天平均每天修路米数，求得甲在第4天到第16天的函数解析式，进而求得后12天修路的总路程，除以12即为后12天平均修路的米数；
(3)让甲修路的总路程+乙修路的总路程即为公路的总长度．
考查一次函数的应用；数形结合得到所在函数解析式上的点及相关函数解析式是解决本题的突破点．
23.【答案】证明：(1)∵AF⊥BD，
∴∠AFD=∠DAF+∠ADF=90°，
∵∠BAD=90°，
∴∠ABF+∠ADF=90°，
∴∠ABF=∠DAF；
(2)∵AC平分∠BAD，∠BAD=90°，
∴∠CAD=∠CAB=12∠BAD=45°，
∵∠BAD=∠BCD=90°，
∴A、B、C、D四点共圆，
∴∠CBD=∠CAD=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴CB=CD．
【解析】(1)根据同角的余角相等可得结论；
(2)根据四点共圆可解答或过C作AB和AD两边的垂线，构建三角形全等可解答．
本题考查了直角三角形的性质，四点共圆的判定和性质，熟记各性质是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵当x=2时，y=−2×2=−4，
∴P(2,−4)，
设反比例函数的解析式为y=kx，
则−4=k2，k=−8，
∴反比例函数的解析式为y=−8x；
(2)设△MPQ的PQ边上的高为h．
∵S△MPQ=12PQ⋅h，
∴12×4h=6，h=3，
当点M在直线PQ右侧时，M(5,−85)；
当点M在直线PQ左侧时，M(−1,8)，
∴点M的坐标为(5,−85)或(−1,8)．
【解析】(1)因为PQ垂直于x轴，垂足Q的坐标为(2,0)，所以点P的横坐标为2，把其代入正比例函数y=−2x求出其纵坐标，再设反比例函数的解析式为y=kx，把P点坐标代入求出k的值即可；
(2)设△MPQ的PQ边上的高为h，因为△MPQ的面积为6，所以可求出h的值，再分当点M在直线PQ右侧时和当点M在直线PQ左侧时求出点M的坐标即可．
此题考查的是正比例函数和反比例函数的交点问题以及用待定系数法求反比例函数的解析式，比较简单．
25.【答案】解：(1)在△ABC中，
∵AC=2 3，BC=4 3，AB=6，
∴AC2+AB2=48，BC2=48，
∴AC2+AB2=BC2．
∴∠BAC=90°．
又∵AC=2 3，BC=4 3，
∴AC=12BC，
∴∠B=30°．
(2)过点A作AD⊥BC，垂足为点D．
在△ADB中，∵∠ADB=90°，∠B=30°，
∴AD=12AB=3，
同理，EF=12BE=12x.
在Rt△EFB中，EF2+FB2=EB2，即(12x)2+BF2=x2，
∴BF= 32x，
又∵BP=2BF，
∴BP= 3x.
∴CP=CB−PB=4 3− 3x，
∵S△ACP=12CP⋅AD，
∴y=12(4 3− 3x)×3=6 3−3 32x，(0(3)当点P在线段BC上时，由BE=2知x=2，
由(2)知此时△ACP的面积为6 3−3 32×2=3 3；
当点P在射线CB上时，如图，过点A作AM⊥BC于点M，
∵BE=2，∠EBF=∠ABC=30°，
∴EF=12BE=1，
则PF=BF= 3，
∵AB=6，
∴AM=12AB=3，
则△ACP的面积为12×PC×AM=12×(4 3+ 3+ 3)×3=9 3．
【解析】(1)先根据勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形，再由AC=12BC即可得出答案；
(2)作AD⊥BC，垂足为点D.由直角三角形30°角所对边等于斜边一半知AD=12AB=3，EF=12BE=12x，根据勾股定理知BF= 32x，继而由S△ACP=12CP⋅AD可得答案．
(3)点P在线段BC上时，由BE=2知x=2，代入(2)中所得解析式计算即可得；当点P在射线CB上时，作AM⊥BC，根据已知条件得出EF=12BE=1，PF=BF= 3，AM=12AB=3，利用三角形的面积公式计算可得．
本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理、直角三角形的性质及三角形的面积公式和分类讨论思想的运用．