2023-2024学年辽宁省沈阳市法库县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省沈阳市法库县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，四象限内B. 图象经过，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图所示，从上面看该几何体的形状图为( )
A.
B.
C.
D.
2.如果ab=14，那么a+bb的值等于( )
A. 32B. 43C. 54D. 65
3.关于一元二次方程x2−2x−1=0根的情况，下列说法正确的是( )
A. 有一个实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 没有实数根
4.不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为( )
A. 23B. 12C. 13D. 14
5.下列哪种光源的光线所形成的投影不能称为中心投影( )
A. 探照灯B. 台灯C. 路灯D. 太阳
6.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，则tanA的值为( )
A. 45B. 35C. 43D. 34
7.关于反比例函数y=2024x，下列说法正确的是( )
A. 图象分布在第二、四象限内B. 图象经过(−1,−2024)
C. y随x的增大而减小D. x<0时，y随x的增大而增大
8.春节快到了，为增进友谊，老师要求班上每一名同学要给同组的其他同学写一份新春的祝福，小静同学所在的小组共写了42份祝福，该小组共有( )
A. 4人B. 5人C. 6人D. 7人
9.如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是
( )
A. 当∠ABC=90°，□ABCD是矩形B. 当AC=BD，□ABCD是矩形
C. 当AB=BC，□ABCD是菱形D. 当AC⊥BD，□ABCD是正方形
10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，且a≠0)的图象如图所示，则一次函数y=cx+b2a与反比例函数y=abx在同一坐标系内的大致图象是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.方程x2−2x=0的两个根是：x1=______，x2=______．
12.二次函数y=(x−3)2+2的顶点坐标是______ ．
13.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(−1,3)，B(−6,3)，以原点O为位似中心，在同一象限内把线段AB缩短为原来的13，得到线段CD，其中点C对应点A，点D对应点B，则点D的坐标为______．
14.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=80°，以点B为圆心，BC长为半径作弧，交BD于点E，再分别以点B，E为圆心，大于12BE长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN分别交AB，BD，BC于点H，G，F，连接AE，EF，则∠AEF= ______ ．
15.已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE=3，EC=1，如图所示，把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为 ．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
计算：
(1)32×(−1+3)−(−16)÷8×2−1；
(2)sin230°+2cs30°+tan45°−tan60°．
17.(本小题8分)
如图所示的几何体是由几个相同的小正方体排成2行组成的．
(1)填空：这个几何体由______个小正方体组成；
(2)画出该几何体的三个视图．
18.(本小题9分)
“垃圾分类”进校园，某中学要求将垃圾A、B、C、D四类分别装袋投放，其中A类指有害垃圾，B类指厨余垃圾，C类指可回收垃圾，D类指其他垃圾，小明和小亮各有一袋垃圾，需投放如图所示的垃装桶．
(1)小明正确投放垃圾的概率是______ ；
(2)请用列表或画树状图的方法，求小明与小亮投放的垃圾是同一类的概率．
19.(本小题8分)
如图，借助一面墙EF(最长可利用28m)围成一个矩形花园ABCD，在墙BC上要预留2m宽的入口(如图中MN所示)，入口不用砌墙，假设有砌60m长墙的材料且恰好用完，设BC的长为x m．
(1)填空：砌AB段墙时，需______ m长的砌墙材料(用含x的代数式表示)；
(2)当矩形花园的面积为300m2时，墙BC的长为多少米？
20.(本小题8分)
如图，反比例函数y=kx(k≠0)的图象与正比例函数y=−32x的图色相交于A(a,3)，B两点．
(1)a= ______ ，k= ______ ，点B坐标为______ ；
(2)直接写出不等式kx<−32x的解集______ ；
(3)已知AD/​/x轴，以AB，AD为边作菱形ABCD，求菱形ABCD的面积．
21.(本小题8分)
眼睛是人类感官中最重要的器官之一，每年的6月6日定为全国爱眼日，小林想要探究自己按照标准护眼姿势读书时书籍应离身体多远，画出如图的侧面示意图，点A为眼睛的位置，A到书籍EC的距离AD为40cm，AD与水平方向夹角∠FAD为18°，小林在书桌上方的身长AB为52cm，且AB垂直于水平方向，请你求出小林与书籍底端的水平距离BC．
(参考数据：sin18°≈310，cs18°≈1920，tan18°≈1340)
22.(本小题12分)
【问题探究】
(1)如图1，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在线段AO上任取一点P(端点除外)，连接PD，PB．
①求证：PD=PB；
②将线段DP绕点P逆时针旋转，使点D落在BA的延长线上的点Q处，当点P在线段AO上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？请说明理由；
③在探究AQ与OP的数量关系时，小颖作了如图2的辅助线：作PM⊥AB于点M，作PN⊥AD于点N，作PE⊥AO交AB于点E，作EF⊥OB于点F，请你直接写出AQ与OP的数量关系．
【迁移探究】
(2)如图3，将(1)中正方形ABCD换成菱形ABCD，且∠ABC=6M°，其他条件不变，试探究AQ与CP的数量关系，并说明理由．
23.(本小题12分)
【发现问题】
“速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动，杯子的叠放方式如图1所示：每层都是杯口朝下排成一行，自下向上逐层递减一个杯子，直至顶层只有一个杯子，小丽发现叠放所需杯子的总数y随着第一层(最底出)杯子的个数x的变化而变化．
【提出问题】
叠放所需杯子的总数y与第一层杯子的个数x之间有怎样的函数关系？
【分析问题】
小丽结合实际操作和计算得到下表所示的数据：
然后在平面直角坐标系中，描出上面表格中各对数值所对应的点，得到图2，小丽根据图2中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分，为了验证自己的猜想，小丽从“形”的角度出发，将要计算总数的杯子用黑色圆表示(如图3)，再借助“补”的思想.补充相同数量的白色圆，使每层圆的数量相同，进而求出y与x的关系式．
【解决问题】
(1)直接写出y与x的关系式；
(2)现有36个杯子，按【发现问题】中的方式叠放，求第一层杯子的个数；
(3)如图4所示，O处为点光源，ND，MA分别为杯子上，下底面圆的半径，OA=24cm，OD=15cm，MA=4cm.将这样足够数重的杯子按【发现问题】中的方式叠放.但受桌面长度限制，第一层摆放杯子的总长度不超过80cm.求：
①杯子最多能叠放多少层和此时杯子的总数；
②此时叠放达到的最大高度．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：根据能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示，
从上面看到的是矩形，且有看不见的轮廓线，
因此选项C中的图形符合题意；
故选：C．
根据能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示，进而得出答案．
本题考查从上面看几何体的形状图，理解看不见的轮廓线用虚线表示是正确判断的前提．
2.【答案】C
【解析】解：∵ab=14，
∴b=4a，
∴a+bb=a+4a4a=5a4a=54，
故选：C．
根据比例的性质求出b=4a，把b=4a代入a+bb，即可求出答案．
本题考查了分式的运算和比例的性质，能根据比例的性质求出b=4a是解此题的关键．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了根的判别式，利用根的判别式是解题关键．根据根的判别式，可得答案．
【解答】
解：a=1，b=−2，c=−1，
△=b2−4ac=(−2)2−4×1×(−1)=8>0，
一元二次方程x2−2x−1=0有两个不相等的实数根，
故选C．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查用树状图或列表法求等可能事件发生的概率，关键是列举出所有等可能出现的结果数，然后用概率公式求解即可，同时注意“放回”与“不放回”的区别．
用列表法或树状图法可以列举出所有等可能出现的结果，然后看符合条件的占总数的几分之几即可．
【解答】
解：两次摸球的所有的可能性树状图如下：
∴P(两次都是红球)=14．
故选D．
5.【答案】D
【解析】解：中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光，在各选项中只有D选项得到的投影为平行投影，
故选：D．
找到不是灯光的光源即可．
本题考查了中心投影的知识，解决本题的关键是理解中心投影的形成光源为灯光．
6.【答案】D
【解析】解：∵∠C=90°，AB=5，AC=4，
∴BC=3，
∴tanA=BCAC=34．
故选：D．
本题需先根据已知条件，得出BC的长，再根据正切公式即可求出答案．
本题主要考查了锐角三角函数的定义，在解题时要根据在直角三角形中，正切等于对边比邻边这个公式计算是本题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：A、k=2024>0，则图象位于第一、三象限，故不符合题意；
B、当x=−1时，y=−2024，所以图象经过点(−1,−2024)，故符合题意；
C、k=2024>0，在每一象限内y随x的增大而减小，故不符合题意；
D、当x<0时，y随x的增大而减小，故不符合题意．
故选：B．
根据反比例函数的性质即可逐一分析即可．
本题考查反比例函数的性质，准确理解反比例函数的性质是解题关键，可结合图象更易于分析．
8.【答案】D
【解析】解：设该小组共有x人，则每人需写(x−1)份祝福，：
x(x−1)=42，
x1=−6(不符合题意)，x2=7．
答：该小组共有7人．
故选：D．
设该小组共有x人，则每人需写(x−1)份新春催祝福，根据小静所在的小组共写了42份祝福，即可得出关于x的一元二次方程，再解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当∠ABC=90°，平行四边形ABCD是矩形，故选项A正确，不符合题意；
当AC=BD，平行四边形ABCD是矩形，故选项B正确，不符合题意；
当AB=BC，平行四边形ABCD是菱形，故选项C正确，不符合题意；
当AC⊥BD，平行四边形ABCD是菱形，但不一定是正方形，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断A；根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断B；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可以判断C；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以判断D．
本题考查矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定，解答本题的关键是明确它们各自的判定方法．
10.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口，当a<0时，抛物线向下；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右．(简称：左同右异)；常数项c决定抛物线与y轴交点．也考查了一次函数图象与反比例函数图象．
根据二次函数图象与系数的关系，由抛物线对称轴的位置确定ab<0，由抛物线与y轴的交点位置确定c<0，然后根据一次函数图象与系数的关系可判断一次函数经过第二、三、四象限，根据反比例函数的性质得到反比例函数图象在第二、四象限，由此可对各选项进行判断．
【解答】
解：∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴ab<0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c<0，
对于一次函数y=cx+b2a，c<0，图象经过第二、四象限；b2a<0，图象与y轴的交点在x轴下方；对于反比例函数y=abx，ab<0，图象分布在第二、四象限．
故选：B．
11.【答案】0，2
【解析】解：x2−2x=0
x(x−2)=0，
解得：x1=0，x2=2．
故答案为：0，2．
直接利用提取公因式法分解因式解方程即可．
此题主要考查了因式分解法解方程，正确分解因式是解题关键．
12.【答案】(3,2)
【解析】解：二次函数y=(x−3)2+2的顶点坐标是(3,2)．
故答案为：(3,2)．
根据二次函数的性质直接求解．
本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为抛物线，当a>0，抛物线开口向上；抛物线的顶点式为y=a(x−b2a)2+4ac−b24a，对称轴为直线x=−b2a，顶点坐标为(−b2a,4ac−b24a)；抛物线与y轴的交点坐标为(0,c)．
13.【答案】(−2,1)
【解析】解：∵点A(−1,3)，B(−6,3)，以原点O为位似中心，在同一象限把线段AB缩短为原来的13，得到线段CD，点D与点B对应，
∴点D的横坐标为：−6×13=−2，纵坐标=3×13=1，
故答案为：(−2,1)．
直接利用位似图形的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k，进而得出答案．
此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
14.【答案】110°
【解析】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴∠ABE=∠FBE=12∠ABC=12×80°=40°，BA=BC，
由作法得BE=BC，HF垂直平分BE，
∴BE=BA，FB=FE，
∴∠BEA=∠BAE=12×(180°−40°)=70°，∠FEB=∠FBE=40°，
∴∠AEF=∠AEB+∠FEB=70°+40°=110°．
故答案为：110°．
先根据菱形的性质得到∠ABE=∠FBE=40°，BA=BC，再利用基本作图得到BE=BC，HF垂直平分BE，则BE=BA，FB=FE，接着利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠BEA=70°，∠FEB=∠FBE=40°，然后计算∠AEB+∠FEB即可．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和菱形的性质．
15.【答案】1或7
【解析】解：CD=DE+EC=3+1=4，则正方形ABCD的边长是4．
则在Rt△ADE中，AE= AD2+DE2= 42+32=5．
①当线段AD顺时针旋转得到F1点，
AF1=AE=5，
在Rt△ABF1中，BF1= AF12−AB2= 52−42=3．
∴F1C=BC−BF1=4−3=1．
②逆时针旋转得到F2点，同理可得BF2=3，则F2C=3+4=7．
故答案为1或7．
首先在Rt△ADE中利用勾股定理求得AE的长，然后分两种情况进行讨论，①当线段AE顺时针旋转时，在Rt△ABF1中利用勾股定理求得BF1的长，进而求得F1C；②同理可以求得旋转到F2时，F2C的长．
本题考查了勾股定理以及图形的旋转，正确理解分两种情况进行讨论是关键．
16.【答案】解：(1)原式=9×2−(−2)×12
=18+1
=19；
(2)原式=(12)2+2× 32+1− 3
=14+ 3+1− 3
=54．
【解析】(1)根据有理数的混合运算顺序，先计算乘方，再计算乘除，后计算加减即可得出答案；
(2)代入特殊锐角的三角函数值，然后按照先乘方，再乘法，最后加减的顺序进行计算即可得出结果．
本题考查特殊锐角的三角函数值和有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
17.【答案】8
【解析】解：(1)1+2+3+1+1=8个，
故答案为：8；
(2)三视图如图所示：
(1)数出小立方体的个数即可；
(2)根据三视图的画法画出主视图、左视图、俯视图．
考查简单几何体的三视图的画法，主视图、左视图、俯视图实际上就是从正面、左面、上面对该几何体正投影所得到的图形．画三视图时还要注意“长对正、宽相等、高平齐”．
18.【答案】14
【解析】解：(1)由题意可得，
小明正确投放垃圾的概率是14，
故答案为：14；
(2)树状图如下所示：
由图可知，共有16种等可能的结果，其中小明投放的垃圾与小亮投放的垃圾是同一类的结果有4种，
则小明投放的垃圾与小亮投放的垃圾是同一类的概率为416=14．
(1)根据题意，可以直接写出小明正确投放垃圾的概率；
(2)根据题意，可以先画出树状图，然后求出小明与小亮投放的垃圾是同一类的概率即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19.【答案】60−x+22
【解析】解：(1)由图可得，
砌BC段墙时，需60−x+22m长的砌墙材料．
故答案为：60−x+22；
(2)依题意得，
x⋅60−x+22=300，
整理得：x2−62x+600=0，
解得：x1=12，x2=50．
又∵墙EF最长可利用28m，
∴x=12．
答：当矩形花园的面积为300m2时，墙BC的长为12米．
(1)根据图形，可以用含x的代数式表示出AB的长；
(2)根据矩形花园的面积为300m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙EF最长可利用28m，即可求得墙BC的长为多少米．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20.【答案】−2 −6 (2,−3) x<−2或0【解析】解：(1)将A(a,3)代入y2=−32x得：
−32a=3，
∴a=−2，
∴A(−2,3)，
将A(−2,3)代入y1=kx得：
∴k=−2×3=−6，
∵点A与B关于原点对称，
∴B(2,−3)；
故答案为：−2；−6；(2,−3)；
(2)由图象知，当x<−2或0故答案为：x<−2或0(3)作AH⊥BC于H，
∵A(−2,3)，B(2,−3)，
∴AH=6，BH=4，
由勾股定理得，AB=2 13，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB=2 13，
∴菱形ABCD的面积为2 13×6=12 13．
(1)将点A的坐标分别代入正比例函数与反比例函数中，即可得出k的值，再根据反比例函数的对称性可得点B的坐标；
(2)利用图象可得反比例函数图象在正比例函数图象下方时，自变量的取值范围；
(3)作AH⊥BC于H，由勾股定理求出AB的长，利用菱形的面积公式可得答案．
本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，函数与不等式的关系，菱形的性质等知识，运用数形结合思想是解题的关键．
21.【答案】解：过点D作DM⊥BG，垂足为M，延长MD交AF的延长线于点H．
∵AB⊥BG，DM⊥BG，AF/​/BG，
∴四边形BMHA是矩形．
∴AB=HM=52cm，AH=BM．
∵∠FAD+∠HDA=90°，∠HDA+∠MDC=90°，
∴∠FAD=∠MDC=18°．
在Rt△AHD中，
∵sin∠FAD=HDAD，cs∠FAD=AHAD，
∴HD=sin∠FAD×AD=sin18°×40≈310×40=12(cm)，
AH=cs∠FAD×AD=cs18°×40≈1920×40=38(cm)．
∴MD=MH−DH=52−12=40(cm)．
在Rt△DMC中，
∵tan∠MDC=CMDM，
∴CM=tan∠MDC×DM=tan18°×40≈1340×40=13(cm)．
∴BC=BM−CM=AH−CM=38−13=25(cm)．
答：小林与书籍底端的水平距离BC为25cm．
【解析】过点D作DM⊥BG，垂足为M，延长MD交AF的延长线于点H.先说明∠FAD与∠MDC的关系，再分别在Rt△AHD、Rt△MCD中利用直角三角形的边角间关系求出AH、HD、MC，最后利用线段的和差关系得结论．
本题主要考查了解直角三角形，掌握矩形的判定和性质及直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
22.【答案】(1)①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=CB，∠DCA=∠BCA=45°，
∵CP=CP，
∴△DCP≌△BCP(SAS)，
∴PD=PB；
②解：∠DPQ的大小不发生变化，∠DPQ=90°；
理由如下：
过点P作PM⊥AB于M，作PN⊥AD于N，如图1，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC=∠BAC=45°，
又∵PM⊥AB，PN⊥AD，
∴PM=PN，
∴四边形AMPN是正方形，
∴∠MPN=90°，
∵PD=PB，PM=PN，
∴Rt△DPN≌Rt△QPM(HL)，
∴∠DPN=∠QPM，
∵∠QPN+∠QPM=90°，
∴∠QPN+∠DPN=90°，
即∠DPQ=90°；
③解：AQ= 2OP，理由如下：如图2，

由①②知：PB=PD=PQ，AM=PM，
∵PM⊥AB，
∴BM=QM，
∵∠BAC=45°，
∴∠PEA=45°=∠PAE，
∵PM⊥AE，
∴AM=EM=PM，
∴BM−EM=QM−AM，
即BE=AQ，
∵∠BFE=90°，∠ABD=45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴BE= 2EF，
∵∠POF=∠OPE=∠OFE=90°，
∴四边形EFOP是矩形，
∴EF=OP，
∴AQ= 2OP；
(2)解：AQ=CP.理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC垂直平分BD，
∴PD=PB，
由旋转知：PD=PQ，
∴PQ=PB，
过点P作PM⊥AB于M，PE/​/BC交AB于E，过点E作EG//AC交BC于G，如图3，

则四边形PEGC是平行四边形，
∴PC=EG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
同理可得：△PAE和△BGE都是等边三角形，
∴BE=EG=PC，
∵PM⊥AB，
∴MQ=MB，MA=ME，
∴MQ−MA=MB−ME，
即AQ=BE，
∴AQ=CP．
【解析】(1)①根据正方形的性质可得CD=CB，∠DCA=∠BCA=45°，利用SAS证明△DCP≌△BCP即可证得结论；
②过点P作PM⊥AB于M，作PN⊥AD于N，可证得四边形AMPN是正方形，再利用HL证明Rt△DPN≌Rt△QPM，可得∠DPN=∠QPM，再利用角的关系即可证得结论；
③先得出△BEF是等腰直角三角形，BE= 2EF，再证得四边形EFOP是矩形，得出EF=OP，即可求得答案；
(2)过点P作PM⊥AB于M，PE/​/BC交AB于E，过点E作EG//AC交BC于G，结合菱形的性质可得：四边形PEGC是平行四边形，再得出△ABC、△PAE和△BGE都是等边三角形，即可得出答案．
本题是正方形和菱形综合题，考查了正方形和菱形的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题关键．
23.【答案】解：(1)依题意得：
y=12(x+1)x=12x2+12x；
(2)当y=36时，12x2+12x=36，
解得：x1=8，x2=−9(舍去)，
答：第一层杯子的个数为8个；
(3)①∵第一层杯子的个数x个，且第一层摆放杯子的总长度不超过80cm，
∴4×2x≤80，
解得x≤10，
x取最大值为10，
即第一层摆放杯子的个数是10，杯子的层数也是10，
∴杯子的总数为y=12(10+1)×10=55(个)；
答：杯子最多能叠放10层和此时杯子的总数为55个；
②在图4Rt△OMA中，OA=24cm，MA=4cm，
∴OM= OA2−MA2= 242−42=4 35(cm)，
∵ND//MA，
∴△OND∽△OMA，
∴ONOM=ODOA=1524=58，
∴ON=58OM=5 352cm，
∴MN=OM−ON=3 352cm，
∴10层杯子的高度是10MN=3 352×10=15 35(cm)，
答：杯子叠放达到的最大高度是15 35cm．
【解析】(1)将要计算总数的杯子用黑色圆表示(如图3)，再借助“补”的思想，补充相同数量的白色圆，使每层圆的数量相同，进而求出y与x的关系式；
(2)将y=36代入(1)中的解析，即可求解；
(3)①首先利用第一层杯子的个数x个，且第一层摆放杯子的总长度不超过80cm，得到4×2x≤80，得到第一层摆放杯子的个数是10，杯子的层数也是10，进而得解；
②根据ND//MA得出△OND∽△OMA，勾股定理求得OM的长，利用相似三角形的性质得出MN的长，进而即可求解．
本题考查了二次函数的应用，求弧长，勾股定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．第一层杯子的个数x
1
2
3
4
5
…
杯子的总数y
1
3
6
10
15
…