辽宁省辽阳市2023-2024学年八年级（上）期末数学试题（含解析）

这是一份辽宁省辽阳市2023-2024学年八年级（上）期末数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟）
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．实数，，，中，最小的数是（ ）
A．B．C．D．
2．在中，的对边分别记为a，b，c，下列条件能够判定为直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列运算中，结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．能说明命题“对于任意实数，．”是假命题，其中a可取的值是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，点E，F，G，H为平面直角坐标系中的四个点，一次函数的图象不可能经过（ ）
A．EB．FC．GD．H
6．如图，点都是数轴上的点，，则数轴上点所表示的数为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，直线与交点的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组的解为（ ）

A．B．C．D．
8．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
9．我国古代数学名著《孙子算经）中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还余尺；将绳子对折再量木条，木条余尺，问木条长多少尺？若设木条长尺，绳子长尺，则可列方程组为（ ）
A．B．C．D．
10．小冬和小天沿同一条笔直的公路相向而行，小冬从甲地前往乙地，小天从乙地前往甲地，两人同时发出，当行驶5分钟时小冬发现重要物品忘带，立刻掉头提速返回甲地，用时4分钟，拿到物品后以提速后的速度继续前往乙地（掉头和拿物品的时间忽略不计），小天始终以一个速度保持行驶，二人相距的路程y（米）与小冬出发时间x（分钟）之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．小冬返回甲地的速度与小天行驶速度相同；
B．小冬和小天出发时的速度分别为160米/分钟和200米/分钟；
C．小天出发分钟两人相遇；
D．小冬最终达到乙地的时间是20分钟．
第二部分 非选择题（90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．的整数部分是 ．
12．中国的射击项目在世界上居于领先地位，某射击队计划从甲、乙、丙、丁四名运动员中选拔一人参加国际射击比赛，在选拔过程中，每人射击次，计算他们的平均成绩及方差如下表所示：
射击队决定依据他们的平均成绩及稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是 ．
13．如图，点A，B，C都在方格纸的格点上，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标是 ．

14．有一个圆柱体礼盒，高，底面周长为．现准备在礼盒表面粘贴彩带作为装饰，若彩带一端粘在处，另一端绕礼盒侧面周后粘贴在处（为的中点），则彩带最短为 ．
15．如图，在中，，，，点是边上的一个动点，连接，将沿折叠，得到，当与的直角边垂直时，的长是 ．
三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程）
16．（）计算：；
（）解方程组：．
17．某银行监管部门要对两个分行进行“窗口服务”满意度调查，并从中各随机抽取份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息：
抽取的对分行“窗口服务”的评分数据中“满意”的数据：；
抽取的对分行“窗口服务”的评分数据：．
抽取的对分行“窗口服务”的评分统计表：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中______________，______________，______________．
(2)根据以上数据，你认为哪个分行更受用户喜爱？请说明理由；
(3)在此次调查中，有人对分行“窗口服务”进行评分，人对分行“窗口服务”进行评分，请你估计此次调查中对分行和分行“窗口服务”不满意的共有多少人？
18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，．
(1)请在图中作出关于y轴对称的；
(2)求的面积．
19．数学活动课上，同学们以“分母有理化”为主题开展探究活动．
【发现问题】在进行二次根式的化简时，有时会碰上如这样的式子，其分母中含有无理数．
【提出问题】在进行二次根式的化简时，分母中含有无理数如何化简．
【分析问题】同学们认为要想把分母中的无理数去掉，可根据所学公式和来解决．
【解决问题】一部分同学认为可以如下方法化简：
．
另一部分同学认为还可以如下方法化简：
．
以上这两种化简的步骤叫做分母有理化．
(1)选择合适的方法化简：（n为正整数）；
(2)求的值．
20．劳动课上学习了“烹饪与营养”之后，小丽知道了科学膳食与身体健康密切相关，她查询了《中国居民膳食指南（）》中的相关信息，结合妈妈的年龄，准备为妈妈制作一份能量为千卡（千卡卡路里），总质量为克的营养早餐．现有鸡蛋、牛奶、谷物三类食材，经查询它们的能量含量如下表所示：
若用以上三类食材制作这份营养早餐，其中牛奶克，请你帮助小丽计算这份早餐中需要鸡蛋和谷物各多少克？
21．消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，已知云梯最多只能伸长到米（即米），消防车高米，救人时云梯伸长至最长，在完成从米（即米）高的处救人后，还要从米（即米）高的处救人，这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？

22．如图，直线与直线交于点，直线与轴交于点，与轴交于点．

(1)求直线的函数表达式；
(2)点在直线上，当的面积为面积的时，求点坐标；
(3)如图，已知点，点在直线上，点在直线上，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，求的面积．
23．综合与实践
(1)【探索发现】已知：如图1，，点在、之间，连接、．易证：．
下面是两位同学添加辅助线的方法：
请你选择一位同学的方法，并进行证明：
(2)【深入思考】如图4，点，分别是射线、上一点，点是线段上一点，连接并延长，交直线于点，连接，．若，求证：；
(3)【拓展延伸】如图5，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点，若，，，求的度数．
答案与解析
1．A
【分析】本题考查了实数大小的比较，根据：正数大于，负数小于，可确定最小的数在两个负数中，再根据两个负数，绝对值大的的反而小，即可确定答案，掌握实数大小的比较方法是解题的关键．
【详解】解：∵正数大于，负数小于，，
∴最小的数在和中，
∵，，，
∴，
∴最小的数是，
故选：．
2．D
【分析】由直角三角形的定义，只要验证最大角是否是；由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、由无法判定哪个角是直角，故此条件不能够判定为直角三角形；
B、∵，∴，∴故此条件不能够判定为直角三角形；
C、∵，∴，∴以a、b、c为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D.∵，∴，∴此条件能够判定为直角三角形，故符合题意，
故选：D
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，能熟记勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
3．D
【分析】本题考查了二次根式的运算，根据合并同类二次根式的法则、二次根式的性质、二次根式的除法法则，计算即可判定，掌握二次根式的相关运算法则是解题的关键．
【详解】、与不能合并，错误，不合题意；
、与不能合并，错误，不合题意；
、，错误，不合题意；
、，正确，符合题意；
故选：．
4．A
【分析】本题考查的是命题的真假判断，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．分别把各选项的值代入即可进行判断．
【详解】解：A．当时，，符合题意
B．当时，，不符合题意
C．当时，，不符合题意
D．当时，，不符合题意
故选：A．
5．C
【分析】本题考查一次函数的图象，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
由可以判断一次函数图象一定经过第一、二、三象限，且y随x的增大而增大，与y轴的交点是，即可得出答案．
【详解】在一次函数图象中，一定经过第一、二、三象限，且y随x的增大而增大，与y轴的交点是，
其图象不可能经过G点，
故选：C．
6．B
【分析】本题考查了实数与数轴，根据勾股定理列式求出的长，即为的长，再根据数轴上两点间的距离计算方法即可求出点所表示的数，利用勾股定理求出的值为解题的关键．
【详解】解：由勾股定理得，，
∴，
∵点表示的数是，
∴点表示的数为，
故选：．
7．D
【分析】本题考查直线的交点坐标与二元一次方程组的解的关系，先求得两直线的交点坐标，再根据两直线交点的坐标为对应二元一次方程组的解求解即可．
【详解】解：∵直线与交点的横坐标为1，
∴，即交点坐标为，
∴关于x，y的二元一次方程组的解为，
故选：D．
8．B
【分析】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质、对顶角相等，根据平行线的性质求得，再根据三角形的外角性质求得，然后利用对顶角相等求解即可．
【详解】解：∵光线平行于主光轴，
∴，又，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
9．C
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设木条长尺，绳子长尺，根据题意即可列出方程组，认真审题，找到等量关系，列出方程组是解题的关键．
【详解】解：设木条长尺，绳子长尺，
由题意得，
故选：．
10．D
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次方程等知识，解答本题的关键是明确题意，采用数形结合的思想．
由图象可知前5分钟，两人共行驶了米，故两人速度和为米/分钟，再根据小东提速返回的路程，小天用4分钟的时间，可知小天的速度是小东的倍，即可算出两人开始的速度；然后根据总路程和小东继续去乙地的速度，分别求出小天和小东用的相遇时间即可；小东在加上开始5分钟和返回4分钟即总时间，逐一判断即可．
【详解】A．当行驶5分钟时小冬发现重要物品忘带发现重要物品没带，立刻掉头提速返回甲地甲地，此时由图轴可知，小东和小天相距的路程不变，
所以小冬返回甲地的速度与小天行驶速度相同，
此选项不符合题意
B．小东掉头提速返回甲地，用时4分钟，且小东和小天相距的路程不变
小东提速前5分钟的路程，相当于小天只需4分钟就可走完，
小天速度是小东提速前的速度的倍
设小东原速度为v米/分钟,则提速后为米/分钟，小天的速度为米/分钟，则
小冬和小天出发时的速度分别为160米/分钟和200米/分钟，
故此选项不符合题意；
C．两人同时发出，当行驶5分钟到达B点 ，小东掉头提速返回甲地，用时4分钟，且小东和小天相距的路程不变，
此时两人相距2200米，
拿到物品后以提速后的速度继续前往乙地，
小东提速后速度为200米/分钟，两人继续行驶分钟相遇，
小天一共行驶了分钟
故此选项不符合题意；
D．小东行驶时间为开始5分钟，返回甲地4分钟，重新返回乙地分钟，
小冬最终达到乙地的时间是29分钟，
故此选项不符合题意．
故选：D
11．4
【分析】看在哪两个整数之间即可得到它的整数部分．
【详解】解：∵＜＜，
∴4＜＜5，
∴的整数部分为4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查估算无理数的大小的知识；用“夹逼法”得到无理数的范围是解决本题的关键．
12．乙
【分析】本题考查了平均数和方差的意义，根据平均数和方差的性质：平均数越大，平均成绩就好，方差越小数据越稳定，掌握平均数和方差的意义是解题的关键．
【详解】解：由数据可知，乙的平均数更大，方差最小，所以乙的成绩更好而且更稳定，因此被选中的运动员是乙，
故答案为：乙．
13．
【分析】此题主要考查了点的坐标，正确得出原点位置是解题的关键．
直接利用已知点坐标确定平面直角坐标系，进而得出答案．
【详解】解：点A的坐标为，点B的坐标为，
由点的坐标建立平面直角坐标系如下：

则点C的坐标是．
故答案为：
14．
【分析】本题考查了勾股定理和平面展开-最短路线问题，将圆柱侧面展开后，可得绕礼盒侧面周后彩带最短为，根据图形找到最短的线段是解题的关键．
【详解】解：圆柱侧面展开后图形是：
∵底面周长为，高，
∴，
∴绕礼盒侧面周后彩带最短为，
故答案为：．
15．或
【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，分和两种情况进行求解即可得到答案，根据题意，正确画出图形是解题的关键．
【详解】解：如图，当时，延长交于点，与相交于点，
∵，
∴，
∴，
由折叠得，，，，
∴，
∴，
即，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴；
当时，如图，设与相交于点，
由折叠可得，，，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上，的长是或，
故答案为：或．
16．（）；（）．
【分析】（）根据立方根的定义、立方、二次根式的性质先进行乘方和开方运算，再进行加减运算即可得到结果；
（）利用加减消元法即可求解；
本题考查了实数的混合运算，解二元一次方程组，掌握实数的运算法则及加减消元法是解题的关键．
【详解】解：（）原式，
，
，
，
；
（），
得，，
得，，
解得，
把代入得，，
解得，
∴方程组的解为．
17．(1)，，；
(2)分行更受用户喜爱，理由见解析；
(3)估计此次调查中对分行和分行“窗口服务”不满意的共有人
【分析】本题考查了平均数、众数、中位数、扇形统计图、样本与总体等，解题的关键是熟知以上概念并能灵活进行分析和计算．
（）根据统计表及扇形统计图即可求解；
（）比较两款的平均数、中位数或者众数，然后依据一定的标准进行判断；
（）由抽取的样本中“不满意”所占的百分比分别估算出两个分行的不满意的人数，相加即可求解；
【详解】（1）解：∵，
∴分行不满意和比较满意的数据有份，
∵不满意的占了，
∴不满意的有份，
∴比较满意的有份，
∴，
∴；
∵分行份数据的中位数为第和第位数据的平均数，
∴；
根据众数的定义可得，
故答案为：，，；
（2）解：分行更受用户喜爱．
理由：两个分行的平均数相同，中位数接近，但分行不满意和比较满意的只有人，分行有人，所以分行更受用户喜爱；
（3）解：（人），
答：估计此次调查中对分行和分行“窗口服务”不满意的共有人．
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查坐标与图形变换-轴对称、网格中求三角形的面积，掌握轴对称性质是解答的关键．
（1）根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同得到对应点，再顺次连接即可作出图形；
（2）利用割补法求解面积即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求作：
（2）解：根据图形，的面积为；
19．(1)；
(2)．
【分析】（）利用第一种方法即可求解；
（）把提出来，利用第一种方法分母有理化，再进行运算即可求解；
本题考查了分母有理化，二次根式的加法运算，掌握分母有理化的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式，
，
，
，
．
20．这份早餐中需要鸡蛋克，谷物克．
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，设这份早餐中需要鸡蛋克，谷物克，依据总能量和总质量建立方程组即可求解，解题的关键是根据题意，找到等量关系，正确列出方程组．
【详解】解：这份早餐中需要鸡蛋克，谷物克，
由题意可得，，
方程组整理得，，
解得，
答：这份早餐中需要鸡蛋克，谷物克．
21．米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出、的长，即可解决问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，米，
∵米，米，
∴米，米，
在中，米，
在中，米，
∴米，
答：这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米．
22．(1)；
(2)或；
(3)或．
【分析】（）根据的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法即可求出的表达式；
（）分当点位于点的左侧和右侧两种情况，设点，利用三角形面积公式分别把、表示出来，再根据题意列出方程即可求解；
（）分点位于点右侧和左侧两种情况，利用全等三角形的性质进行求解即可解答．
【详解】（1）解：把点代入得，，
∴，
∴，
设直线的函数表达式为，把，代入得，
，
解得，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：如图，当点位于点的左侧时，设点，
把代入得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴面积，
∵的面积，
又∵的面积为面积的，
∴，
整理得，，
解得，
当时，点的坐标为，与点重合，不符，舍去，
∴，
∴点的坐标为；
当点位于点的右侧时，如图，
的面积，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
综上，点的坐标为或；
（3）解：当点位于点右侧时，如图，过点作轴的平行线，与轴相交于点，分别过点作它的垂线，垂足分别为点，则，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设，则，，
∴，，
∴，
∴点的坐标为，
∵点在直线上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积；
当点位于点左侧时，如图，
同理可得，
∴，，
∴，
∴点的坐标为，
∵点在直线上，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴的面积；
故的面积或．
【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，利用数形结合分析问题是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查平行线的性质和判定，角平分线的定义和三角形的外角的性质：
（1）选择小刚添加辅助线的方法，证得，进而可求得，即可求得答案；选择小红添加辅助线的方法，求得，结合即可求得答案．
（2）延长，，交于点，结合，即可求得答案．
（3）设与相交于点，根据，，可求得，设，结合，即可求得答案．
【详解】（1）选择小刚添加辅助线的方法，证明如下：
∵，，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
选择小红添加辅助线的方法，证明如下：
∵，
∴．
又，
∴．
（2）如图所示，延长，，交于点．
∵，，
∴．
∴．
（3）设与相交于点，如图所示．
∵平分，
∴，．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
设．
∵平分，
∴．
∵，
∴，．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
，
∴．
∴．
∴．
甲
乙
丙
丁
/环
分行
平均数
中位数
众数
“非常满意”所占百分比

88
鸡蛋（每克）
牛奶（每克）
谷物食品（每克）
能量（千卡）
小刚：如图2，过点P作．
小红：如图3，延长交于点．