2024届吉林省白城市通榆县第一中学高三上学期第四次质量检测数学试题含答案

2024届吉林省白城市通榆县第一中学高三上学期第四次质量检测数学试题一、单选题1．已知全集，集合，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】化简集合，求集合的补集，再求交集即可.【详解】因为，所以.故选：A.2．若复数满足为纯虚数，则（    ）A．-3 B． C． D．3【答案】A【分析】将代入条件化简，然后根据其为纯虚数，可求出结果.【详解】是纯虚数，所以，所以.故选：.3．已知为实数，则“”是“”的（     ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】变形为等价形式再判断即可.【详解】.又由可以推出，但推不出，故“”是“1”的必要不充分条件.故选：B.4．若角的终边上有一点，且，则（    ）A．4 B． C．-1 D．【答案】C【分析】根据公式，即可得到本题答案.【详解】由已知，得，解得.因为，所以，则.故选：C5．已知海面上的大气压强是，大气压强（单位：）和高度（单位：）之间的关系为（为自然对数的底数，是常数），根据实验知高空处的大气压强是型直升机巡航高度为型直升机的巡航高度为时，型直升机所受的大气压强是型直升机所受的大气压强的（    ）（精确到0.01）A．0.67倍 B．0.92倍 C．1.09倍 D．1.26倍【答案】B【分析】代入数据计算，计算，，相除计算得到答案.【详解】，即，则型直升机所受的大气压强，型直升机所受的大气压强，，故型直升机所受的大气压强是型直升机所受的大气压强的0.92倍.故选：B.6．若，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】借助函数图象，可直接判断的大小关系.【详解】在同一直角坐标系中作出，，，的图象，  由图象可知.故选：B.7．在中，，则的最小值为（    ）A．4 B． C． D．16【答案】C【分析】利用二倍角公式化简得到，然后利用基本不等式求最值即可.【详解】因为，设，则，显然，即，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为．故选：C．8．已知函数的图象在原点处的切线方程为，则的零点个数为（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】因为函数在原点处的切线方程为，可将求导，则，从而可以求出值；可通过的导数求出函数单调性，从而求函数的零点个数.【详解】，，因为在原点处的切线方程为，，，，令，，令，则，在上单调递减，在上单调递增，而，又时，，同时，所以在和上各有1个零点，所以的零点个数为个2.故选：C二、多选题9．若实数满足，则（    ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】代值计算判断选项A；根据同正不等式偶数次符号不变判断B；当当时，因为，所以与都是负数，相加依然是负数判断C；，根据已知结合不等式运算得出，即可判断D.【详解】当时，，故A错误；因为，所以，所以，故B正确；当时，因为，所以与都是负数，所以，故C错误；因为，当时，由得，两边同乘，得，即；当时，由得，两边同乘，得，即，所以，故D正确.故选：BD.10．已知函数是定义在上的奇函数，，则下列说法正确的是（    ）A．的最小正周期为4 B．的图象关于直线对称C．的图象关于点对称 D．在内至少有5个零点【答案】BCD【分析】根据函数的奇偶性，对称性和周期性，结合正弦函数的周期性求解.【详解】对于A，因为是定义在上的奇函数，且，所以，即，所以的周期为4，但的最小正周期不一定为4，如，满足为奇函数，且，而的最小正周期为，故A错误；对于B，因为为奇函数，且，所以，即的图象关于直线对称，故B正确；对于C，由，及为奇函数可知，即的图象关于点对称，故C正确；对于D，因为是定义在上的奇函数，所以，又，，所以，故，所以在内至少有，，0，2，4这5个零点，故D正确．故选：BCD．11．如图，圆的半径等于2，弦平行于轴，圆的劣弧关于弦对称的图形恰好经过坐标原点.如果直线与这两段弧只有两个交点，则的取值可能是（    ）A． B．0 C． D．2【答案】BD【分析】先求出直线过和时的值，再求出圆弧对应的圆的方程，从而得到直线与圆，与圆弧相切时的的值，数形结合得到的取值范围.【详解】因为圆的劣弧关于弦对称的图形恰好经过坐标原点，所以，如图所示，当直线过时，将代入中，故，解得，当直线过时，同理可得，由对称性可知，圆弧对应的圆的圆心在轴上，设为，则，即，解得，则圆弧对应的圆的半径为2，故圆弧对应的圆方程为，当直线与圆弧相切时，由，解得（舍），当直线与圆弧相切时，由，解得（舍），结合图形可知，当或时，直线与两段弧有两个交点.故选：BD.12．“外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”．例如：取第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项为11；将11描述为“2个1”，则第三项为21；将21描述为“1个2，1个1”，则第四项为1211；将1211描述为“1个1，1个2，2个1”，则第五项为111221，…，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项．对于外观数列，下列说法正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则的最后一个数字为6 D．若，则从开始出现数字4【答案】AC【分析】根据数列的新定义一一求解.【详解】对于A项，，即“2个2”，，即“2个2”，以此类推，该数列的各项均为22，则，故A项正确；对于B项，，即“1个1，1个3”，，即“3个1，1个3”，故，即“1个3，2个1，1个3”，故，故B项错误；对于C项，，即“1个6”，，即“1个1，1个6”，，即“3个1，1个6”，故，即“1个3，2个1，1个6”，以此类推可知，的最后一个数字均为6，故C项正确；对于D项，因为，则，，，，若数列中，中为第一次出现数字4，则中必出现了4个连续的相同数字，如，则在的描述中必包含“1个1，1个1”，即，显然的描述应该是“2个1”，矛盾，不合乎题意，若或，同理可知均不合乎题意，故不包含数字4，故D项错误．故选:AC．三、填空题13．已知向量，满足，，，则的夹角为 ．【答案】【分析】根据给定条件，结合数量积的运算律求出即可得解.【详解】因为，所以，由，得，解得，因此，又，所以向量的夹角为.故答案为：14．的展开式中含的项的系数为 .【答案】960【分析】利用二项展开式的通项公式分析运算求解.【详解】的展开式的通项为，故令，可得的展开式中含的项的系数为：.故答案为：960.15．设，则 .【答案】/【分析】根据同角的三角函数关系式，结合特殊角的正切值和正弦值进行求解即可.【详解】因为，所以，所以.故答案为：四、双空题（新）16．设函数，若，则不等式的解集是 ；若函数恰好有两个零点，则的取值范围是 ．【答案】 【分析】当时，分和两种情况解不等式即可的解集，画出的图象，结合图象求解即可【详解】当时，，令，且，解得或，令且，解得，所以的解集为．令，解得或，令，解得，由，得，当或时，，当时，，所以在和上递增，在上递减，所以的极大值为，极小值为，如图所示，当时，恰有两个零点，符合题意；当时，恰有3个零点，不符题意；当时，恰有2个零点，符合题意；当时，恰有1个零点，不符题意．所以的取值范围是．故答案为：；.  【点睛】关键点点睛：此题考查分段函数，考查函数与方程的应用，解题的关键是画出函数的图象，结合图象求解，考查数形结合的思想，属于较难题.五、问答题17．在中，角的对边分别为.(1)若，求的值；(2)若，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据条件，利用余弦定理即可求出结果；（2）根据条件，利用正弦定理得，进而可求出，，再利用正弦定理，可求出，即可求出结果.【详解】（1）由余弦定理知，，又，，所以，得到，所以.（2）因为，由正弦定理得，又，所以，因为，所以，所以，又，故，所以，由正弦定理，得到，所以.六、作图题18．甲､乙两所学校高三年级分别有1200人，1000人，为了了解这两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩（都在内），并作出了频数分布统计表如下：(1)计算的值并估计乙校抽取的学生数学成绩的平均数；(2)若规定考试成绩在内为优秀，根据以上统计数据完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断这两所学校的数学成绩是否有差异？附：，其中.【答案】(1)，114.6(2)表格见解析，有差异【分析】（1）根据分层抽样方法得出甲、乙校各抽多少人，即可得出、，通过平均数的计算方法得出乙校抽取的学生数学成绩的平均数；（2）由频数分布统计表得出其列联表，再通过独立性检验的方法计算对比得出两所学校的数学成绩是否有差异.【详解】（1）甲校抽取人，乙校抽取人，故，，乙校抽取的学生数学成绩的平均数为：（2）表格填写如图，命题假设为：这两所学校的数学成绩无差异.根据列联表的数据，经计算得到，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为这两所学校的数学成绩有差异，此推断犯错误的概率不大于0.10.七、证明题19．已知公差不为零的等差数列的前项和为，且成等比数列.(1)求的通项公式；(2)若，数列的前项和为，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用成等比数列求出等差数列的首项和公差，进而写出的通项公式.（2）利用裂项相消法求和即可证明不等式.【详解】（1）设的公差为，因为成等比数列，所以，即，因为，所以，又，所以，所以，所以.（2）由（1）得，，所以，所以，又，所以.八、问答题20．已知函数为奇函数，且图象的相邻两条对称轴间的距离为.(1)求的解析式与单调递减区间；(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根的和.【答案】(1)，(2).【分析】（1）利用恒等变换化简后，结合三角函数的性质求解；（2）利用图象变换法,求得的函数表达式，解方程求得的值，利用换元思想，结合三角函数的图象和性质分析求出即可.【详解】（1）由题意可得：因为图象的相邻两条对称轴间的距离为，所以的最小正周期为，即可得，又为奇函数，则，又，所以，故.令，得，所以函数的递减区间为.（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，又，则或，即或.令，当时，，画出的图象如图所示：的两个根对应的点关于直线对称，即，有，在上有两个不同的根，所以；又的根为，所以方程在内所有根的和为.21．科普知识是一种用通俗易懂的语言，来解释种种科学现象和理论的知识文字，以普及科学知识为目的.科普知识涵盖了科学领域的各个方面，无论是物理､化学､生物各个学科，还是日常生活无不涉及到科普知识.由于其范围的广泛性，奠定了科普知识的重要意义和影响.某校为了普及科普知识，在全校组织了一次科普知识竞赛.经过初赛､复赛，甲､乙两个代表队（每队3人）进入了决赛.决赛规则为每人回答一个问题，答对者为本队赢得5分，答错或不答者得0分.假设甲队中3人答对的概率分别为，乙队中每人答对的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响.(1)设随机变量表示甲队的总得分，求的分布列和数学期望；(2)求甲､乙两队总得分之和等于15分且乙队得分高的概率.【答案】(1)分布列见解析，(2)【分析】（1）根据已知描述的所有可能取值为，求出各情况概率，即可得到其分布列，再根据分布列计算得出其数学期望；（2）甲､乙两队总得分之和等于15分且乙队得分高的情况为甲队得0分，乙队得15分或甲队得5分，乙队得10分，计算得出两种情况概率，由互斥事件概率的计算得出两概率之和即是答案.【详解】（1）的所有可能取值为，所以，，，，的分布列为：所以.（2）甲､乙两队总得分之和等于15分且乙队得分高的情况为甲队得0分，乙队得15分或甲队得5分，乙队得10分，记“甲队得0分，乙队得15分”为事件，“甲队得5分，乙队得10分”为事件，，，所以，即甲､乙两队总得分之和等于15分且乙队得分高的概率为.22．已知函数.(1)求的单调区间；(2)若在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间(2)【分析】（1）由题意对求导得，进一步令，通过对求导来研究的单调区间以及符号情况，进一步来得到的单调区间.（2）将原问题等价转换为在上恒成立，令，首先注意到，故自然想到若在上单调递增满足题意，由此对实数分类讨论即可.【详解】（1）的定义域为，令，则，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以对任意，所以恒成立，所以的单调递增区间为，无单调递减区间.（2）因为在上恒成立，即在上恒成立，等价于在上恒成立，令，则，令，则.当时，在上恒成立，则在上单调递增，所以，即恒成立，所以在上单调递增，所以在上，，即在上恒成立；当时，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，即在上单调递减，在上单调递增，所以，令，则在上恒成立，故在上单调递减，，所以，即，又，所以时，，函数单调递减，又，故时，，不符合题意.综上所述，的取值范围为.【点睛】关键点睛：本题第一问的关键是要连续求导，来研究函数单调区间，第二问的关键是首先要等价转换恒成立问题，进一步要找到那个分类讨论的临界点即.甲校分组频数34815分组频数1532乙校分组频数1289分组频数10103甲校乙校总计优秀非优秀总计0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879甲校乙校总计优秀152035非优秀453075总计6050110051015