2024届辽宁省沈阳市第二十中学高三上学期三模考试数学试题含答案

这是一份2024届辽宁省沈阳市第二十中学高三上学期三模考试数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合M，N是全集U的两个非空子集，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据补集、子集的知识确定正确选项.
【详解】表示集合的补集，
因为，
所以．
故选：A
2．若，则实数x，y满足（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题得，即得解.
【详解】解：因为，所以，
则，即实数x，y满足．
故选：B
3．在1859年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字的素数个数可以表示为的结论．若根据欧拉得出的结论，估计以内的素数的个数为（ ）（素数即质数，，计算结果取整数）
A．2172B．4343C．869D．8686
【答案】D
【分析】根据黎曼猜想计算，从而得出正确答案.
【详解】.
故选：D
4．若的展开式中常数项为，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求得二项展开式的通项，求得展开式中的常数项，列出方程，即可求解.
【详解】由二项式展开式的通项为，
令，可得，
当时，可得展开式的常数项为，所以，解得.
故选：A.
5．在学校元旦文艺晚会上，有三对教师夫妇参加表演节目，要求每人只能参加一个单项表演节目.按节目组节目编排要求，男教师的节目不能相邻，且夫妻教师的节目也不能相邻，则该6名教师表演的节目的不同编排顺序共有（ ）种.
A．12种B．24种C．36种D．48种
【答案】B
【分析】对男教师的位置分4类，计算出各类的安排种数，求解即可．
【详解】把6个节目按照先后出场顺序依次记为编号1，2，3，4，5，6，
则3名男教师只有共4种位置安排，
由于夫妻教师的节目又不能相邻，可得以上4种安排的每种安排里，3名女教师的安排均是1种，
故该6名教师的节目不同的编排顺序共有．
故选：B．
6．根据某机构对失踪飞机的调查得知：失踪的飞机中有70%的后来被找到，在被找到的飞机中，有60%安装有紧急定位传送器，而未被找到的失踪飞机中，有90%未安装紧急定位传送器，紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位的装置.现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分别表示出三个事件：失踪的飞机后来被找到、失踪的飞机后来未被找到、装有紧急定位传送器的概率，再用条件贝叶斯公式计算即可得出结论.
【详解】设“失踪的飞机后来被找到”，“失踪的飞机后来未被找到”，“安装有紧急定位传送器”，
则，，
安装有紧急定位传送器的飞机失踪，它被找到的概率为.
故选：C.
7．函数的图象向左平移个单位长度后对应的函数是奇函数，函数．若关于x的方程在内有两个不同的解α，β，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角函数的图象性质、图象变换和三角恒等变换公式，以及诱导公式求解.
【详解】函数的图象向左平移个单位长度后，
所得函数的解析式为，
因为所得函数为奇函数，所以，
则有，
因为，所以，
所以，
，
因为，所以，
所以由，
可得，
所以，且，
则，
所以，
故选:B.
8．已知a，b，c∈（0，1），且a2－2lna＋1＝e，b2－2lnb＋2＝e2，c2－2lnc＋3＝e3则 （ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．c＞b＞a
【答案】A
【分析】设，则，然后分别利用导数判断两个函数的单调性，利用其单调性可求得答案
【详解】设，则，
又，所以在上单调递增，
所以，即，
因为，所以在上单调递减，
所以，
故选：A
二、多选题
9．下列说法中正确的有（ ）
A．命题，则命题的否定是
B．“”是“”的必要条件
C．命题“”的是真命题
D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件
【答案】AD
【分析】根据全称命题与特称命题的否定、充分必要条件等逐项判断即可.
【详解】命题的否定是，故A正确；
不能推出，例如，但；也不能推出，例如，而；
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误；
当时，，故C错误；
关于x的方程有一正一负根，
所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，故D正确.
故选：AD.
10．已知向量，满足，，则与的夹角可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】通过平方的方法化简已知条件，根据向量夹角、基本不等式等知识确定正确答案.
【详解】由两边平方得①，
由两边平方得②，
①+②得，
①-②得.
，
而，所以，
所以ABD选项符合，C选项不符合.
故选：ABD
11．已知函数是定义域为的偶函数，满足，当时，，则（ ）
A．的最小值是，最大值是B．的周期为
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据函数的奇偶性、周期性、对称性求得正确答案.
【详解】由于，所以图象关于直线对称，
由于是定义在上的偶函数，所以图象关于轴对称，
所以是周期为的周期函数，B选项正确.
当时，，
当时，，所以，
当时，的开口向上，对称轴为，
所以，
根据的周期性、对称性可知的最小值是，最大值是，A选项正确.
，C选项错误.
，
，
所以，D选项正确.
故选：ABD
12．已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（ ）
A．的最大值是
B．的最大值是
C．的最小值是
D．过点作曲线的切线，则切线方程为
【答案】BD
【分析】由表示圆上的点到定点的距离的平方，可判定A错误；由表示圆上的点与点的斜率，设，结合点到直线的距离公式，列出不等式，可判定B正确；由表示圆上任意一点到直线的距离的倍，进而可判定C错误；根据点在圆上，结合圆的切线的性质，可判定D正确.
【详解】由圆可化为，可得圆心，半径为，
对于A中，由表示圆上的点到定点的距离的平方，
所以它的最大值为，所以A错误；
对于B中，表示圆上的点与点的斜率，设，即，
由圆心到直线的距离，解得，
所以的最大值为，所以B正确；
对于C中，由表示圆上任意一点到直线的距离的倍，
圆心到直线的距离，所以其最小值为，所以C错误；
对于D中，因为点满足圆的方程，即点在圆上，
则点与圆心连线的斜率为，
根据圆的性质，可得过点作圆的切线的斜率为，
所以切线方程为，即，所以D正确.
故选：BD.
三、填空题
13．三角形ABC点，角B、角C的角平分线分别与直线和重合，则BC所在直线方程 ．
【答案】
【分析】分别求得点关于直线和直线的对称点即可.
【详解】解：设点关于直线的对称点为，
则，解得，所以，
同理求得关于直线的对称点为点，
所以直线BC的斜率为，
所以直线BC的方程为；，即，
故答案为：
14．已知数列满足，，则满足不等式的k（k为正整数）的值为 ．
【答案】6
【分析】求出数列的通项公式，再解不等式求得的值.
【详解】依题意，， 即，而，
于是数列是首项为，公比为的等比数列，，即，
由，得，即，
解得，而数列是递减数列，，
因此，而，则，经验证符合题意，所以.
故答案为：6
15．已知函数，若关于的不等式有解，则实数的值为 .
【答案】
【分析】根据两点间距离公式，结合半圆与直线的位置关系进行求解即可.
【详解】设，
所以，，
因为点的横、纵坐标的平方和为定值2，
所以点在半圆上，
因为点的纵坐标与横坐标的差为，
所以点在直线上，如图所示：

原点到直线的距离为，
因此的最小值为，而要满足，
只能，此时，直线方程为，而，
解得，即，
故答案为：
16．菱形ABCD的边长为2，现将沿对角线AC折起，使平面平面ACB，则此时空间四面体体积的最大值为 ．
【答案】
【分析】取AC的中点O，连接，设，易知平面ABC，再由，设，令，利用导数法求解.
【详解】解：如图所示：
取AC的中点O，连接，设，
则，
易知，又因为平面平面ACB，且平面平面ABC=AC，
所以平面ABC，
所以，
，
设，
则，令，则，
当时，，递增，当时，，递减，
所以当时，取得最大值为，
所以空间四面体体积的最大值为，
故答案为：.
四、解答题
17．如图，在梯形ABCD中，，点E在边CD上，，，．
(1)求BE，CE；
(2)若，求．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由正弦定理即可求得BE，CE的长度；
（2）先由余弦定理求得，再去求即可.
【详解】（1）因为，，，所以．
在中，由正弦定理可得，
可得，．
（2）因为，所以．
在中，由余弦定理可得
，所以．
因为，
所以．
18．《中共中央国务院关于实现巩固拓展脱贫攻坚成果同乡村振兴有效衔接的意见》明确提出，支持脱贫地区乡村特色产业发展壮大，加快脱贫地区农产品和食品仓储保鲜、冷链物流设施建设，支持农产品流通企业、电商、批发市场与区域特色产业精准对接．当前，脱贫地区相关设施建设情况如何？怎样实现精准对接？未来如何进一步补齐发展短板？针对上述问题，假定有A、B、C三个解决方案，通过调查发现有的受调查者赞成方案A，有的受调查者赞成方案B，有的受调查者赞成方案C，现有甲、乙、丙三人独立参加投票（以频率作为概率）．
(1)求甲、乙两人投票方案不同的概率；
(2)若某人选择方案A或方案B，则对应方案可获得2票，选择方案C，则方案C获得1票，设是甲、乙、丙三人投票后三个方案获得票数之和，求的分布列和数学期望．
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，数学期望为.
【分析】（1）利用对立事件和互斥事件的概率公式求解；
（2）先求出X的所有可能取值为3，4，5，6，再求出对应的概率即得分布列和数学期望.
【详解】（1）解：因为甲、乙两人投票方案相同的概率为，
所以甲、乙两人投票方案不相同的概率为．
（2）解：X的所有可能取值为3，4，5，6，
因为，
，
，
，
所以X的分布列如下：
所以．
19．已知数列满足，.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）令，证明：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）依题意可得，再两边取倒数，即可得到，从而得证；
（2）由（1）可得，则，利用放缩法得到，再利用裂项相消法求和即可得证；
【详解】解：（1）因为，所以，
因为，所以﹐
所以
所以
又因为.所以是以1为首项，公差为1的等差数列.
（2）由（1）得，所以，
所以，所以，
所以
即，
【点睛】数列求和的方法技巧
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
20．在如图所示的多面体AFDCBE中，平面BCE，，，，，．
(1)在线段BC上是否存在一点G，使得平面AFC？如果存在，请指出G点位置并证明；如果不存在，请说明理由；
(2)当三棱锥的体积为8时，求二面角的余弦值．
【答案】(1)存在，点为中点，证明见解析
(2)
【分析】（1）先找到G点位置，由面面平行证明线面平行；（2）建立空间直角坐标系，由体积求解边长，用空间向量求解二面角.
【详解】（1）存在，点为中点，理由如下：
取线段AB的中点H，连接EH、HG、EG．
∵，，
∴四边形AHEF是平行四边形，∴．
又∵平面AFC，平面AFC，∴平面AFC．
∵H、G分别为AB、BC的中点，
∴HG是的中位线，∴．
∵平面AFC，平面AFC，∴平面AFC．
∵，HG、平面EHG，
∴平面平面AFC．
∵平面EHG，∴平面AFC．
（2）设，
由，
可得．
以E为坐标原点，EC、EB、EF所在直线分别为x、y、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
由题可知，，，，
，，．
设平面AFC的法向量为，
则，
令，得，，
所以平面AFC的一个法向量为．
设平面AFD的法向量为，
则，
令，得，
所以平面AFD的一个法向量为．
，
由图可知二面角为锐角，
故二面角的余弦值为．
21．如图，已知圆，点为直线上一动点，过点作圆的切线，切点分别为、，且两条切线、与轴分别交于、两点．
(1)当在直线上时，求的值；
(2)当运动时，直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)直线过定点
【分析】（1）求出点的坐标，分析可知过点且与圆相切的直线的斜率存在，设出切线方程，利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出切线的斜率，求出两条切线的方程，可求得点、的坐标，再利用平面内两点间的距离公式可求得的值；
（2）设点，写出以点为圆心，为半径的圆的方程，将圆的方程与圆的方程作差，可得出直线的方程，化简直线的方程，可得出直线所过定点的坐标.
【详解】（1）解：联立可得，即点，
若过点的直线垂直于轴，则该直线的方程为，显然直线与圆不相切，
设过点且与圆相切的直线的方程为，即，
则圆心到切线的距离为，整理可得，解得，，
由图可知，直线的方程为，则直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
在直线的方程中，令，可得，即点，
，，
因此，.
（2）解：分析知、在以为圆心，为半径的圆上，设，
，，，
所以，以点为圆心，半径为的圆的方程为，
将圆和圆的方程作差，消去、可得，
即，故直线的方程为.
由可得，因此，直线过定点.
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
22．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若存在，满足，且，，求实数a的取值范围．
【答案】(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；
(2).
【分析】（1）根据的正负性，结合导数的性质分类讨论求解即可；
（2）根据已知等式构造函数，利用导数的性质，结合一元二次方程的求解根公式判断该函数的单调性，再通过构造新函数，利用导数的性质进行求解即可.
【详解】（1）函数的定义域为，．
当时，，在上单调递减；
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2），
又，则．
令，即方程在上有解．
令，，
则，．，
当时，，在上单调递减，
又，则在上恒成立，不合题意；
当时，，令，可知该方程有两个正根，
因为方程两根之积为1且，所以．
当时，，
当时，；
则时，，
而．
令，则，
令，，
则在上单调递减，，
则在上单调递减，，即，
故存在，使得，故满足题意．
综上所述，实数a的取值范围是．
【点睛】关键点睛：根据等式的形式构造新函数，再根据不等式的形式构造新函数是解题的关键.
X
3
4
5
6
P