2024届青海、宁夏部分名校高三上学期调研考试数学（文）试题含答案

这是一份2024届青海、宁夏部分名校高三上学期调研考试数学（文）试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，问答题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用交集的定义直接求解即得.
【详解】因为，所以.
故选：D
2．若为纯虚数，则实数（ ）
A．2B．C．18D．
【答案】B
【分析】先利用复数的乘法运算化简复数，然后根据复数为纯虚数列方程求解即可.
【详解】，
则，解得.
故选：B
3．已知向量，则（ ）
A．10B．5C．D．
【答案】C
【分析】先根据向量加法的坐标运算得，再代入模的坐标公式求解即可.
【详解】因为，所以，所以.
故选：C
4．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】D
【分析】首先求出，再根据奇函数的性质即可得解.
【详解】由题可知，，
因为是定义在上的奇函数，所以．
故选：D.
5．已知是抛物线上的两点，且直线经过的焦点，若，则（ ）
A．12B．14C．16D．18
【答案】C
【分析】结合抛物线的弦长公式计算即可.
【详解】.
故选：C.
6．已知是函数的极小值点，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】求导，根据极值点的定义即可求解.
【详解】因为，所以.
又是的极小值点，所以，解得.
当时，，
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以时，是的极小值点.
故，
故选：D
7．小明准备将新买的《孟子》、《论语》、《诗经》3本书立起来随机地放在书架上，则《论语》、《诗经》两本书相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据古典概型概率问题计算公式以及排列数的计算公式、捆绑法求得正确答案.
【详解】3本书立起来随机地放在书架上，基本事件有种，
其中《论语》、《诗经》两本书相邻的事件有种，
所以《论语》、《诗经》两本书相邻的概率为.
故选：A
8．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若直线是图象的一条对称轴，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意先求出表达式，再根据正弦函数的对称轴即可列出方程求出.
【详解】由题意，
因为直线是图象的一条对称轴，
所以，则，
对比选项可知当时，．
故选：B．
9．如图，二面角的平面角的大小为，，，，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】作点在平面的投影，作，得是二面角的平面角，然后根据垂直进行计算可得．
【详解】如图，作点在平面的投影，作，垂足为，连接，
平面，则，同理，
又，平面，，
所以平面，又平面，所以，
所以是二面角的平面角，所以，
所以，
又是矩形，所以，，
从而，所以.
故选：A．
10．把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是，空气的温度是，则后该物体的温度可由公式求得．若将温度分别为和的两块物体放入温度是的空气中冷却，要使得这两块物体的温度之差不超过，至少要经过（ ）（取：）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查函数的应用，通过数学建模列不等式求解．
【详解】的物块经过后的温度的物块经过后的温度．
要使得这两块物体的温度之差不超过，即须使，
解得，即至少要经过5.52min．
故选：C.
11．在四面体中，，则四面体外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用勾股定理得到，即可得到的中点为四面体外接球的球心，然后求外接球半径和体积即可.
【详解】
因为，，，所以.
又，所以，故.
取的中点，则到四面体四个顶点的距离均为2，即四面体外接球的半径为2，则四而体外接球的体积为.
故选：D.
12．在中，内角的对边分别为，若，，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】根据题意利用三角恒等变换并由正弦定理即可求得，再由面积公式即可求得结果.
【详解】因为
，
所以.由正弦定理可得，即.
故的面积为.
故选：A
二、填空题
13．设满足约束条件则的最大值为 .
【答案】18
【分析】先画出可行区域，再根据可行区域得到最小值.
【详解】由约束条件作出可行域，如图阴影部分：
令，则，可由直线平移得到，要使得最大，
则需向下平移到图中点时取到，解方程，解得，
此时.
故答案为：18
14．某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产量分别为件，为检验产品的质量，用分层抽样的方法从以上产品中抽取一个容量为的样本，已知从乙产品中抽取了7件，则 .
【答案】20
【分析】根据分层抽样的性质运算求解.
【详解】由题可知，，解得.
故答案为：20.
15．设，，且，则 .
【答案】
【分析】根据三角恒等变化化简可得，再结合，，解方程即可得的值.
【详解】因为，
所以，即
又，，所以，
则可得，则故.
故答案为：.
16．已知双曲线的右焦点为，直线与相交于两点，若（为坐标原点），则的离心率为 .
【答案】/
【分析】结合图象分析四边形为矩形，则利用直线的斜率即可解决的值，从而得到的比例关系，又因为，所以可求出和，最终得到离心率.
【详解】如图，记的左焦点为，根拈对称性可知四边形为平行四边形.
因为，所以，所以四边形为矩形.
设，则，
解得或（舍去），
所以.由，得，
则，则的离心率为：.
故答案为：
三、问答题
17．某校为了解学生爱好足球是否与性别有关，调查了本校400名学生（男女各一半），发现爱好足球的人数是280，爱好足球的男生比女生多40人.
(1)完成下面的列联表；
(2)判断能否有的把握认为爱好足球与性别有关.
附：，其中.
【答案】(1)列联表见解析
(2)有
【分析】（1）由题意，结合题目所给信息分别求出爱好足球的男、女生人数和不爱好足球的男、女生人数，进而补全列联表；
（2）结合列联表数据，代入公式求出观测值，将其与临界值进行对比即可求解.
【详解】（1）因为学校有200名男生和200名女生，且爱好足球的人数是280，
爱好足球的男生比女生多40人，所以爱好足球的女生有名，
从而不爱好足球的女生有名，爱好足球的男生有名，
不爱好足球的男生有名，故列联表为
（2）由（1）中列联表得
，
所以有的把握认为爱好足球与性别有关.
18．已知数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由方程组法得，然后再根据求通项公式即可；
（2）先根据（1）求出，然后利用等差数列求和公式求解即可.
【详解】（1）当时，.
当时，由，
得，
则，
因为满足，所以.
当时，.
因为满足，所以.
（2）由（1）可知，，
则是以7为首项，2为公差的等差数列，所以.
四、解答题
19．如图，在直三棱柱中，是的中点．
(1)证明：平面；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线面垂直的性质和判定定理可证明，再由两三角形相似证明，最后运用线面垂直的判定定理即得；
（2）利用三棱锥的等体积转化求点到平面的距离即得.
【详解】（1）（1）在直三棱柱中，由平面，平面可得,
因 ,，平面，则平面．
又因平面，所以①．
因为，所以．
又是的中点，，所以，则，则而
故则②．
由①②，且平面，故平面．
（2）
如图，连接，则．
因为平面，所以．
因为，
所以．
设点到平面的距离为，则．
由，得，解得，
即点到平面的距离为．
五、证明题
20．已知点和直线，动点到点的距离与到直线的距离之比为.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过点的直线交于两点，若点的坐标为，直线与轴的交点分别是，证明：线段的中点为定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）直接根据题意得到，整理得到答案.
（2）排除斜率不存在的情况，设出直线，联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，计算，，确定，得到证明.
【详解】（1）设，则，，
整理得，即，
故动点的轨迹的方程为.
（2）当直线斜率不存在时不成立，故设直线的方程为.

联立得.
由，得，整理得.
设，则.
直线的方程为，令，得，同理.
，
所以，所以线段的中点坐标为，
故线段的中点为定点.
【点睛】关键点睛：本题考查了轨迹方程，定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用设而不求的思想，根据韦达定理得到根与系数的关系，可以简化运算是解题的关键，需要熟练掌握.
21．已知函数.
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)当，时，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，得到，利用导函数的几何意义得到切线方程；
（2）令，求导后放缩得到，构造，二次求导，得到函数单调性，结合特殊点函数值，得到在上恒成立，在上单调递增，得到，证明出结论.
【详解】（1）因为，所以.
，
故曲线在处的切线方程为，
即.
（2）证明：令，
则.
因为，所以.
令，则.
令，则.
当时，单调递增，故，
即在上恒成立，则在上单调递增，则，
即在上恒成立，则在上单调递增，
故，即.
【点睛】导函数证明不等式，常常利用放缩法，常用的放缩有切线放缩或参数放缩，消去参数后，构造函数，利用导函数得到函数的单调性，结合特殊点的函数值，可大大减少难度.
六、问答题
22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求的普通方程和的直角坐标方程；
(2)若与相交于两点，点，求的值．
【答案】(1)的普通方程为，的直角坐标方程为；
(2).
【分析】（1）消去参数求出的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式求出的直角坐标方程.
（2）把的参数方程代入的直角坐标方程，利用参数的几何意义求解即得.
【详解】（1）消去直线的参数方程中的参数，得到的普通方程为；
由，得，又，
所以的直角坐标方程为.
（2）由（1）知，点在直线上，将（为参数）代入，
整理得，显然，设点对应的参数分别为，
则，
所以.
23．已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)若的最小值为，正数满足，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分类讨论去掉绝对值即可求解；
（2）利用绝对值三角不等式求得的最小值为，然后利用基本不等式中常数代换技巧求解最值即可.
【详解】（1）当时，原不等式化为，解得；
当时，原不等式化为，恒成立；
当时，原不等式化为，解得；
综上，原不等式的解集为.
（2），当且仅当即时，等号成立，
所以的最小值为，即，又为正数，
则，
当且仅当时，等号成立.故的最小值为.
爱好足球
不爱好足球
总计
男生
女生
总计
0.10
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
爱好足球
不爱好足球
总计
男生
160
40
200
女生
120
80
200
总计
280
120
400