2024届山东省济宁市微山县第二中学高三上学期第三学段教学质量检测数学试题含答案

这是一份2024届山东省济宁市微山县第二中学高三上学期第三学段教学质量检测数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则（ ）
A．若且，则
B．若且，则
C．若且，则
D．若且异面，则
【答案】D
【分析】根据线线关系、线面关系、面面关系逐项判断可得答案.
【详解】对于A，若且，也有可能与相交，如下图，故A错误；

对于B，若且，也有可能与相交，如下图，故B错误；

对于C，若且，也有可能，如下图，

故C错误；
对于D，若且异面，则，故D正确.
故选：D.
2．在如图所示的空间直角坐标系中，是单位正方体，其中点A的坐标是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据空间直角坐标系的定义求出点的坐标.
【详解】点A的坐标为.
故选：D
3．已知等比数列满足，公比，则（ ）
A．32B．64C．128D．256
【答案】B
【分析】根据等比数列通项公式计算可得.
【详解】因为且，
所以.
故选：B
4．在等差数列中，若，则公差（ ）
A．2B．4C．3D．5
【答案】B
【分析】根据等差数列通项公式列出方程组求解即可.
【详解】因为，
所以，.
故选：B.
5．如图，在正方体中，点是线段上的动点，下列与始终异面的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据异面直线的定义一一判定即可.
【详解】由正方体的性质易知当为的中点时，此时，
而，所以共面，
则、在平面上，故A不符题意；
同上，，即共面，
易知平面，而平面，故B符合题意；
当重合时，易知，则四边形是平行四边形，
则此时，故C不符合题意；
同上当重合时，显然，相交，故D不符合题意.
故选：B
6．已知是空间的一个基底，，，若，则 （ ）
A．B．C．6D．5
【答案】C
【分析】化简，结合，列出方程组，即可求解.
【详解】因为向量，
又因为，且，
可得，则，解得，
所以.
故选：C.
7．记等差数列的前项和为，若，，则的公差为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，利用等差数列的求和公式，列出方程，即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，
因为且，可得，解得.
故选：C.
8．已知数列满足且，则（ ）
A．3B．C．-2D．
【答案】B
【分析】由已知可得数列递推式，求出其前面几项，可得数列的周期，由此可求得答案.
【详解】由题意数列满足，则，
故由，得，
由此可知数列的周期为4，
故，
故选：B
二、多选题
9．直线的方向向量是，若，则平面的法向量可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】由题意得到直线的方向向量与面的法向量平行，四个选项一一判断，得到答案.
【详解】，故直线的方向向量与面的法向量平行，
A选项，与平行，满足要求，
B选项，，故与平行，满足要求，
C选项，，故与垂直，不合要求；
D选项，，故与垂直，不合要求，
故选：AB
10．已知数列，则下列说法正确的是（ ）
A．此数列的通项公式是B．是它的第项
C．此数列的通项公式是D．是它的第项
【答案】AB
【分析】根据已知条件，结合数列中数字的规律，求出通项公式，即可依次求解.
【详解】数列，
即，
则此数列的通项公式为，A正确，C错，
令，解得，故B正确，D错.
故选：AB
11．下列关于空间向量的说法正确的是（ ）
A．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
B．已知，，若，则
C．任意向量，，满足
D．若，，是空间的一组基底，且，则四点共面
【答案】ABD
【分析】根据共面与否即可判断A，根据数量积的坐标运算即可判断B，根据共线定理即可求解C，根据共面即可求解D.
【详解】因为是空间的一个基底，则，，不共面，若，，共面，则存在实数，使得，故，由于，，不共面，所以，所以无解，故，，不共面，所以也可以作为空间的一个基底，故A正确；
因为，，所以，，
又，所以，解得，故B正确；
因为向量，不一定是共线向量，因此不一定成立，故C错误；
因为，所以，即，所以四点共面，故D正确．
故选：ABD．
12．已知等比数列的前项和为，若，则数列的公比可能是（ ）
A．1B．C．3D．
【答案】AB
【分析】讨论与两种情况，求得或即可．
【详解】设数列的公比为，若，
则，满足题意；
若，由，得，解得，
综上，或．
故选：AB.
三、填空题
13．已知，，且，则x的值是 ．
【答案】2
【分析】由，得直接求解即可.
【详解】因为，，且，
所以，解得，
故答案为：2
14．已知数列的前项和为，若对任意的，且，则 .
【答案】10
【分析】由已知递推式求得，进而求即可.
【详解】由题设，则.
故答案为：10
15．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则异面直线ON，AM所成的角是 .

【答案】/
【分析】建立空间坐标系，利用向量垂直即可求解.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，
则,
所以,
故，
所以，故异面直线ON，AM所成的角为，
故答案为：

16．数列 的一个通项公式为 .
【答案】
【分析】观察其分子，分母与项之间的关系即可求.
【详解】可化为，
所以分子部分为，
分母部分为，
奇数项为正，偶数项为负，则，
则.
故答案为：
四、解答题
17．（1）已知等差数列的通项公式为，求首项和公差d．
（2）已知等比数列的通项公式为，求首项和公比．
【答案】（1），；（2），
【分析】（1）根据等差数列的通项公式即可求解；
（2）根据等比数列的通项公式即可求解.
【详解】（1）因为，则，，
所以．
（2）由题意，其首项为，
其公比为．
18．如图，在长方体中，E，M，N分别是，，的中点，，.

(1)求证：∥平面；
(2)试确定直线与平面的交点F的位置，并求的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用平面法向量的性质进行证明即可；
（2）根据空间向量线性运算的性质进行求解即可.
【详解】（1）如图，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，

所以
由题意知是平面的一个法向量，
因为，
所以，
因为平面，所以∥平面，
（2）由已知，得点F在直线上，
因为直线与z轴平行，可设，，..
又点F在平面内，所以存在实数，，使得，
即，整理得，所以，
解得，所以，
故F是棱上靠近点B的一个三等分点，且.
19．如图，矩形所在的平面，，分别是，的中点，且.

(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）如图建立空间直角坐标系，则，，，
，，，，
所以，，
所以，则.

（2）平面的一个法向量可以为，
又，，
设平面的法向量为，则，取，
设二面角为，显然二面角为锐角，
所以，所以二面角的余弦值为.
20．如图，棱锥的底面是矩形，平面，，.

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面夹角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）由矩形性质以及勾股定理，利用线面垂直的判定定理即可得出证明；
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系利用空间向量即可求出直线与平面夹角的正弦值为.
【详解】（1）根据题意，由底面是矩形，且，可知；
即，所以可得底面是正方形，可得；
由平面，平面可知；
又平面，，
所以平面；
（2）由题意知两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：

则，所以，
设平面的一个法向量为，易知
可得，解得，令，则，
所以；
设直线与平面的夹角为，
则，
即直线与平面夹角的正弦值为.
21．已知等差数列中，，且成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等比中项求出公差即可；
（2）根据裂项相消法求和即可.
【详解】（1）因为为等差数列，设公差为，
又因为成等比数列，即，
即，解得，
所以；
（2），
所以.
22．已知数列满足：，数列为等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)求和：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先求出，，即可求出等比数列的通项公式，从而求出的通项公式；
（2）利用分组求和法计算可得.
【详解】（1）因为，，数列为等比数列，
所以，，则，即是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则.
（2）
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