2024届黑龙江省鸡西市密山一中高三上学期期末数学试题含答案

这是一份2024届黑龙江省鸡西市密山一中高三上学期期末数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，问答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二次不等式的求解以及对数函数定义域的求解，结合集合运算，可得答案.
【详解】由不等式，分解因式可得，解得，则；
由函数，可得，解得，则；
综上可得.
故选：B.
2．设复数满足为虚数单位），则复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可；
【详解】解：因为，所以，所以复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第四象限；
故选：D
3．命题“”是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．或
C．或D．
【答案】B
【分析】先写出原命题的否定，然后结合判别式以及对分类讨论来求得的取值范围.
【详解】命题“”是假命题，
所以“”是真命题，
当时，不成立，不符合题意，所以，
所以或，
所以或.
故选：B
4．函数在上的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性，结合特殊值，即可排除选项.
【详解】首先，所以函数是奇函数，故排除D，，故排除B，
当时，，故排除A，只有C满足条件.
故选：C
5．若，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【分析】由已知表示出，再由换底公式可求.
【详解】，，
.
故选：C.
6．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，则此球的表面积等于（ ）
A．8πB．9πC．10πD．11π
【答案】A
【分析】由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°可得三角形ABC的面积及外接圆的半径，再由三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，所以三棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线与中截面的交点，可得外接球的半径，进而求出外接球的表面积．
【详解】由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，由余弦定理可得：
BC，
∴，∠ACB＝90°，∴底面外接圆的圆心在斜边AB的中点，
设三角形ABC的外接圆的半径为r，则r1，
又，
所以V柱＝S△ABC•AA1，所以可得AA1＝2，
因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，
所以三棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线与中截面的交点，
设外接球的半径为R，则R2＝r2+（）2＝12+12＝2，
所以外接球的表面积S＝4πR2＝4π×2＝8π，
故选：A．
【点睛】本题考查三棱柱的体积及三棱柱的棱长与外接球的半径之间的关系，以及球的表面积公式，属于中档题．
7．已知抛物线，斜率为的直线与的交点为E，F，与轴的交点为.若，，则（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】C
【分析】直线方程，由求得值，求得E，F的纵坐标，再由求得值.
【详解】设直线方程，，
，，
，
，
由得，，
，
，
，
，
由解得或，
或(舍)，
故选:C
8．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，E，F分别是PA，AB的中点，，，，则球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先利用线面垂直的判定定理证得面，再推到两两垂直，进而将三棱锥补形成长方体，从而求得球的半径，由此得解.
【详解】因为E，F分别是PA，AB的中点，所以，
又，即，所以，
因为，面，所以面，
因为面，所以，
又，所以两两垂直，
故将三棱锥补形成长方体，如图，
则长方体的外接球与三棱锥的外接球相同，
设球的半径为，则，即，
所以球的体积为.
故选：B.
.
【点睛】方法点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
二、多选题
9．如图，正方体的棱长为2，线段上有两个不重合的动点E，F，则（ ）
A．当时，
B．
C．平面
D．二面角为定值
【答案】BD
【分析】由数量积定义计算数量积判断A，根据线面垂直的判定定理与性质定理证明后判断B，利用线面间的位置关系判断C，根据二面角的定义判断D．
【详解】由正方体的性质可知，则，解得，故A错误；
连接．由与底面垂直，在平面内得，又，且，所以平面，而平面，所以，即，则B正确；
因为平面平面，所以不可能平行于平面，则C错误；
因为平面与平面是同一平面，平面与平面是同一平面，所以二面角就是二面角．易知二面角是定值，所以二面角为定值，则D正确．
故选：BD．
10．已知函数，则（ ）
A．的定义域是
B．在上单调递增
C．的图象关于点中心对称
D．不等式的解集是
【答案】AC
【分析】求出使函数式有意义的的范围判断A，分类讨论确定函数单调性判断B，结合奇函数的性质判断C，解不等式后判断D．
【详解】由题意可知，得，则的定义域是，则A正确；
当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，则B错误；
因为是奇函数，则C正确；
，即，当时，解得，当时，解得或，则D错误．
故选：AC．
11．已知，方程，在区间的根分别为a，b，以下结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】题意说明分别是函数和的图象与函数的图象交点的横坐标，利用这三个函数图象都关于直线对称得，， 直接变形判断AB，利用不等式知识判断C，由零点存在定理确定，构造函数，确定其单调性，由单调性判断D．
【详解】已知两方程化为，，
所以分别是函数和的图象与函数的图象交点的横坐标，
易知和的图象关于直线对称，
而函数的图象可以看作是由的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的，
因此的图象也关于直线对称，所以点与关于直线对称，
，，
，A正确；
又，所以，，
从而，B正确；
，
当且仅当即时取等号，
由于，而，因此，等号不成立，即，C错误，
，
设，则，
，，
所以，所以，
时，是减函数，所以由得，
所以，D正确．
故选：ABD．
【点睛】关键点睛：本题考查函数零点与方程根的关系，解题关键是确定分别是函数和的图象与函数的图象交点的横坐标，利用这三个函数图象都关于直线对称得出的关系．
12．正方体的棱长为2，E，F，H分别为AD，DD1，BB1的中点，则（ ）
A．直线平面B．直线平面
C．三棱锥的体积为D．三棱锥的外接球的表面积为9π
【答案】BCD
【分析】设M为AA1的中点，则，根据正方体的性质可得与BE不垂直可判断A，根据线面平行及面面平行的判定定理可判断B，根据锥体的体积公式可判断C，由题可得FB为三棱锥的外接球的直径，进而可判断D.
【详解】如图，设M为AA1的中点，则，
由题意，得，，
所以EM与BE不垂直，即与BE不垂直，
所以直线与平面BEF不垂直，所以A错误；
因为E，F，H分别为AD，DD1，BB1的中点，
所以，又平面，平面，平面， 平面，
所以平面，平面，又，平面，
所以平面∥平面，又平面，
所以直线平面，所以B正确；
因为F，H分别为DD1，BB1的中点，
所以BH⊥FH，又BH=1，，
所以，易得点E到平面BFH的距离为，
所以三棱锥H－EFB的体积，所以C正确；
因为BC⊥平面，平面，
所以，又，
故FB为三棱锥的外接球的直径，又，
所以三棱锥的外接球的表面积，所以D正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．“中国天眼”（如图1）是世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜，其形状可近似地看成一个球冠（球冠是球面被平面所截的一部分，如图2所示，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的线段叫做球冠的高．若球面的半径是，球冠的高度是，则球冠的面积）．已知天眼的球冠的底的半径约为米，天眼的反射面总面积（球冠面积）约为万平方米，则天眼的球冠高度约为 米．（参考数值）
【答案】
【分析】由，结合求解.
【详解】由题意得：，则，
则，所以，
所以，
故答案为：.
14．10名同学进行队列训练，站成前排3人后排7人，现体育教师要从后排7人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法有 种
【答案】420
【分析】先从7个人中选2人调整到前排，再把2人在5个位置选2个进行排列，按照乘法计数原理计算即可.
【详解】先从7个人中选2人调整到前排有种选法，
调整后前排有5个人，把2人在5个位置选2个进行排列由种站法，
其他3人的相对顺序不变站到剩余3个位置，
按照乘法计数原理得总共有种方法.
故答案为：420
15．已知函数，若对于任意正实数，均存在以为三边边长的三角形，则实数k的取值范围是 .
【答案】
【解析】根据三角形三边关系可知对任意的恒成立,将的解析式用分离常数法变形,由均值不等式可得分母的取值范围,则整个式子的取值范围由的符号决定,故分为三类讨论,根据函数的单调性求出函数值域,再讨论,转化为的最小值与的最大值的不等式,进而求出的取值范围.
【详解】因为对任意正实数,都存在以为三边长的三角形,
故对任意的恒成立,
,令,
则,
当,即时,该函数在上单调递减,则；
当,即时,,
当,即时,该函数在上单调递增,则,
所以,当时,因为,,
所以,解得；
当时,,满足条件；
当时,,且,
所以,解得,
综上,,
故答案为:
【点睛】本题考查参数范围,考查三角形的构成条件,考查利用函数单调性求函数值域,考查分类讨论思想与转化思想.
16．已知函数（为自然对数的底数），若关于的方程有且仅有四个不同的解，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】设，由题可得当时，有两个零点，进而可得有两个正数解，令，考查直线与曲线相切时的值，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】令，可得，
所以函数为偶函数，
因为，则，所以，当时，函数有两个零点，
且当时，，可得，
令，可得，
令，其中，则，故函数在上为增函数，
下面考查直线与函数的图象相切的情形：
设直线与函数的图象相切于点，其中，
函数的图象在处的切线斜率为，
故曲线在点的切线的方程为，
即，
由题意可得，解得，，
结合图形可知，当时，直线与曲线在上的图象有两个交点，
即此时函数在上有两个零点，
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
四、解答题
17．柴静《穹顶之下》的播出，让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识，对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来，某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x与雾霾天数y进行统计分析，得出下表数据：
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
（3）试根据（2）求出的线性回归方程，预测燃放烟花爆竹的天数为的雾霾天数.
相关公式：，
【答案】（1）散点图见解析；（2）；（3）7.
【解析】（1）根据题中数据，直接作图即可.
（2）根据公式，计算线性回归方程的系数即可；
（3）由线性回归方程预测时，．
【详解】（1）由题中数据，作出散点图如下：
（2）根据公式，计算，
，，
，
则；
，
所以线性回归方程为；
（3）由线性回归方程可以预测，燃烧烟花爆竹的天数为时，雾霾天数为天．
【点睛】思路点睛：
求回归直线方程的步骤：
①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；
②计算的值；
③计算回归系数；
④写出回归直线方程为.
18．为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随机选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：）记录下来并绘制出折线图：
(1)分别计算甲、乙两厂提供10个轮胎宽度的平均值；
(2)轮胎的宽度在内，则称这个轮胎是标准轮胎.试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好?
【答案】(1)195mm；194
(2)乙厂的轮胎相对更好
【分析】（1）根据平均数的求法可直接求得结果；
（2）确定甲、乙两厂生产的轮胎中标准轮胎的宽度数据，由此可计算得到平均数和方差，对比数据即可得到结论.
【详解】（1）记甲厂提供的个轮胎宽度的平均值为，乙厂提供的个轮胎宽度的平均值为，
，.
（2）甲厂个轮胎宽度在内的数据为，
则平均数为，
所以方差；
乙厂个轮胎宽度在内的数据为，
则平均数为，
所以方差；
因为甲、乙两厂生产的标准轮胎宽度的平均值一样，但乙厂的方差更小，
所有乙厂的轮胎相对更好.
19．已知椭圆E：的离心率，并且经过定点
（1）求椭圆E的方程；
（2）问是否存在直线，使直线与椭圆交于A，B两点，满足若存在求m值，若不存在说明理由.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）将代入椭圆方程，以及运用离心率公式，解方程可得，，进而得到椭圆方程；
（2）直线代入椭圆方程，利用韦达定理，结合，即可求值．
【详解】解：（1）将代入椭圆方程，可得，
又，，
解得，，，
即有椭圆的方程为；
（2）设，，，
由
所以
由
得，
解得，
又方程要有两个不等实根，，所以
的值符合上面条件，所以
【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
五、问答题
20．在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线过点.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与交于，两点，且，求倾斜角的值.
【答案】（1）：（是参数），：；（2）
【解析】（1）根据直线的倾斜角和所过定点,可直接写出直线的参数方程;根据极坐标与直角坐标方程的转化公式,即可求得曲线的直角坐标方程;
（2）将参数方程与曲线方程联立,由参数方程的几何意义求得.根据有两个交点,则判别式,可舍去不符合要求的解.
【详解】（1）因为的倾斜角为,过点,所以直线的参数方程是
（是参数）.
因为,所以,
由,得曲线的直角坐标方程是.
（2）把的参数方程代入,得.
设,对应的参数分别为,,
则
由参数方程的几何意义可得则.
而
所以,
解得或
又因为有两个交点,满足
化简可得
当时,,此时与上式矛盾
故
【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标方程的转化,直线参数方程的表示方法及其几何意义的应用,注意根据题意舍去不符合要求的解,属于中档题.
21．已知tan α＝2.
(1)求的值；
(2)求2sin2α－sin αcs α＋cs2α的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知利用商数关系化弦为切即可得出答案；
（2）利用平方关系和商数关系化弦为切即可得出答案.
【详解】（1）解：∵tan α＝2，
∴＝＝；
（2）解：2sin2α－sin αcs α＋cs2α
＝
＝＝.
六、证明题
22．已知函数，a是常数且．
(1)求曲线在点P处的切线l的方程；并证明：函数的图象在直线l的下方；
(2)已知函数有两个零点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)，证明见解析
(2)
【分析】（1）由导数的几何意义和点斜式可求切线l的方程；可构造，结合导数证明即可；
（2）由已知化简得，求得，对参数进行分类讨论，确定函数的增减区间与极值，可得当时，，结合零点存在定理进一步证明在区间和上各有一零点即可.
【详解】（1）由，得，
，∴切线方程为，
所以曲线在点处的切线方程为；
令，
，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
所以，
所以，且时，，即，即函数的图象在直线l的下方；
（2），
，
当时，在上单调递减，
所以函数在至多有一个零点，故不合题意；
当时，，
令，得或（舍去），
∴时，在上单调递减，
时，在上单调递增，
∴为函数唯一极值点，且为极小值点，
∴，
∴函数在定义域上有两个零点必须满足，
∴，
下面证明时，函数有两个零点，
∵，∴，，
∴，
故函数在存在一个零点，
由（1）可知，时，恒成立，即恒成立（当且仅当时等号成立），
∴（当且仅当时等号成立），
∴，
∴，
故函数在存在一个零点，
综上所述：时，函数在其定义域上有两个零点.
x
4
5
7
8
y
2
3
5
6