2024届上海市松江区高三上学期期末质量监控数学试题含答案

这是一份2024届上海市松江区高三上学期期末质量监控数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了填空题，单选题，证明题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题
1．已知全集为，集合，则集合 ．
【答案】
【分析】根据补集的知识求得正确答案.
【详解】由于，全集为，
所以.
故答案为：
2．双曲线的右焦点坐标是 ．
【答案】
【分析】根据双曲线的定义求解.
【详解】因为，所以，
且焦点在x轴上，所以右焦点为.
故答案为：.
3．已知复数（其中是虚数单位），则
【答案】
【分析】根据共轭复数、复数的模等知识求得正确答案.
【详解】依题意，所以.
故答案为：
4．已知向量，，则
【答案】0
【分析】根据向量的坐标运算求解即可.
【详解】∵，，∴，
∴.
故答案为：0.
5．已知，，则的值为
【答案】
【分析】先求得，然后利用两角差的正切公式求得正确答案.
【详解】由于，，
所以，
所以，所以.
故答案为：
6．已知，则的最小值为
【答案】
【分析】根据对数运算求得的关系，利用基本不等式求得正确答案.
【详解】依题意，，
所以且，
所以，
当时等号成立.
故答案为：
7．二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，则 ；
【答案】10
【分析】先写出二项展开式的通项公式，令 得的系数，令得常数项，再由已知列出等式，解出即可.
【详解】由题知 ，当 时，的系数为 ；当 时，常数项为 ；
又的系数是常数项的5倍，所以，解得 .
故答案为：10
8．有名同学报名参加暑期区科技馆志愿者活动，共服务两天，每天需要两人参加活动，则恰有人连续参加两天志愿者活动的概率为 ．
【答案】
【分析】由分布乘法计数原理的知识结合古典概型的概率公式可解.
【详解】每天从5名同学中抽取2名参加志愿者活动，一共有种方式，
恰有一人连续参加两天志愿者活动有种方式，
由古典概型的概率公式可得恰有1人连续参加两天志愿者活动的概率为，
故答案为：.
9．在中，设角及所对边的边长分别为及，若，，，则边长 ．
【答案】
【分析】利用正弦定理以及三角恒等变换求得，再次利用正弦定理求得.
【详解】由正弦定理得，即，
，
由于，所以为锐角，,
所以，
由正弦定理得，
则.
故答案为：
10．已知函数，．对任意，存在，使得，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据和的值域以及恒成立、存在性等知识求得的取值范围.
【详解】，
所以.
的开口向下，对称轴为，
所以在区间上单调递增，，
所以，
由于任意，存在，使得，
所以，解得，所以的取值范围是.
故答案为：
11．若函数是定义在上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则 ．
【答案】
【分析】利用赋值法，结合累加法求解.
【详解】函数是定义在上的不恒为零的偶函数，则，
中，令，得，
则，得，
当时，由，得，
即，
∴
，
∴.
故答案为：.
12．已知正四面体的棱长为，空间内任意点满足，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先判断出点在球上，然后根据数量积的运算求得的表达式，结合三角函数值域的知识求得的取值范围.
【详解】设BC的中点为O.
因为动点满足，所以,
即点P落在以O为球心，以为半径的球上.
因为,
所以.
因为正四面体的棱长为，
所以，
在三角形中，,.
取AD的中点为E,OE⊥AD，
所以在上的射影为,
所以.
设，
所以.
因为，
所以.
故答案为：
【点睛】本题主要考查空间向量线性运算和数量积的运算，形如的点，其运动轨迹在以点为球心，半径为的球面上.求解一个式子的最值，可以考虑的方向有：基本不等式、函数的单调性、二次函数的性质、三角函数的值域等知识.
二、单选题
13．英国数学家哈利奥特最先使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．对于任意实数，下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】D
【分析】借助不等式的性质判断即可.
【详解】对A：因为，可能，故错误；
对B：当时，若，则，故错误；
对C：当，时，则，故错误；
对D：若，，则，故正确.
故选：D.
14．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：分）．则下列说法正确的是 （ ）
A．甲队数据的中位数大于乙队数据的中位数；
B．甲队数据的平均值小于乙队数据的平均值；
C．甲队数据的标准差大于乙队数据的标准差；
D．乙队数据的第75百分位数为27．
【答案】D
【分析】根据中位数、平均数、方程、百分位数等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，甲队的中位数是，乙队的中位数是，
两者相等，所以A选项错误.
B选项，甲队的平均数为，
乙队的平均数为，
两者相等，所以B选项错误.
C选项，甲队的标准差为：
，
乙队的标准差为：
，
所以甲队数据的标准差小于乙队数据的标准差，所以C选项错误.
D选项，乙队的数据为，，
所以乙队数据的第75百分位数为，D选项正确.
故选：D
15．函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先判断的符号，由此求得不等式的解集.
【详解】由图象可知，在区间上，
在区间上，
所以不等式的解集为.
故选：C
16．关于曲线，有下述两个结论：①曲线上的点到坐标原点的距离最小值是；②曲线与坐标轴围成的图形的面积不大于，则下列说法正确的是（ ）
A．①、②都正确B．①正确 ②错误C．①错误 ②正确D．①、②都错误
【答案】C
【分析】利用基本不等式判断①的正确性，利用不等式的性质判断②的正确性.
【详解】对于①，由平方可得，．因为，
所以．又因为，
当且仅当时等号成立，故①错误；
对于②，由知，，，两边平方可得．
因为，所以，
即曲线在直线的下方，
因此所围图形的面积不大于，故②正确.
故选：C
【点睛】用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： “一正，二定，三相等” .（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.
三、证明题
17．如图，在四棱锥中，底面，，点在线段上，且．
(1)求证：平面；
(2)若四棱锥的体积为，，，，，求二面角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线面垂直的性质、判定推理即得.
（2）由（1）的信息确定二面角的平面角，利用锥体体积公式求出，再在直角三角形中求出解即可.
【详解】（1）由底面，平面，得，
由，得，而平面，
所以平面．
（2）由（1）知，平面，而平面，则，又，
因此是二面角的平面角，
在中，，
显然，四边形为矩形，于是，
而四棱锥的体积，解得，
在中，，因此，
所以二面角的大小为.
18．已知数列为等差数列，是公比为的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)若集合，求集合中的元素个数．
【答案】(1)证明见解析
(2)6
【分析】（1）借助数列的基本量运算即可得到；
（2）将条件转换后计算出与的关系，再根据的范围要求代入计算即可得.
【详解】（1）证明：设数列的公差为，则，
即，
解得，所以原命题得证.
（2）由（1）知，所以，
因为，所以，解得,
由，，故，即，
所以满足等式的解．
故集合中的元素个数为6.
四、解答题
19．为了鼓励居民节约用气，某市对燃气收费实行阶梯计价，普通居民燃气收费标准如下：
第一档：年用气量在（含）立方米，价格为元/立方米；
第二档：年用气量在（含）立方米，价格为元/立方米；
第三档：年用气量在立方米以上，价格为元/立方米.
(1)请写出普通居民的年度燃气费用（单位：元）关于年度的燃气用量（单位：立方米）的函数解析式（用含的式子表示）；
(2)已知某户居民年部分月份用气量与缴费情况如下表，求的值.
【答案】(1)
(2)，，
【分析】（1）根据燃气收费标准求得解析式.
（2）根据表格提供数据以及函数解析式求得.
【详解】（1）依题意，函数解析式为：
（2）解法一：
由一月份数据可得：，
通过计算前5个月用量：，
前5个月燃气总费用：，
由（1）中函数解析式，计算可得：，
所以，
又9月份，10月份，12月份的燃气费均价分别为：均不同，
所以12月份为第三档，.
解法二：
1月份，5月份，9月份，10月份，12月份的燃气费均价分别为：均不同．
所以1月份为第一档，5月份为第一档和第二档，10月份与12月份不同，
则12月份为第三档，10月份与9月份不同，10月份为第二档与第三档，9月份为第二档．
从而得到，.
20．已知椭圆（）的离心率为，其上焦点与抛物线的焦点重合．
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点的直线交椭圆于点，同时交抛物线于点（如图1所示，点在椭圆与抛物线第一象限交点上方），试比较线段与长度的大小，并说明理由；
(3)若过点的直线交椭圆于点，过点与直线垂直的直线交抛物线于点（如图2所示），试求四边形面积的最小值．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程.
（2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，由此求得，联立直线的方程和抛物线的方程，化简写出根与系数关系，由此求得，利用差比较法求得.
（3）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，由（2）求得，，进而求得四边形面积的表达式，根据不等式的性质求得面积的最小值.
【详解】（1）由题意得，即：，又，所以，
由，得，所以椭圆的方程为.
（2）由题意得过点的直线的斜率存在，设直线方程为，
设，，，，
联立，消去得：，
则，，
所以.
抛物线的方程为：，
联立，消去得：，
则，
所以，
所以
，
即.
（3）设，，，，
当直线的斜率存在且不为零时，
设直线方程为，
则直线方程为，
由（2）的过程可知：，
由，以替换，可得，
所以
，
因为，所以，，；
当直线的斜率不存在时，，，
所以；
综上所述：，所以四边形面积的最小值为.
【点睛】求解椭圆的标准方程，关键是根据已知条件求得，和是两个未知参数，要求出两个参数的值，需要两个已知条件，如本题中“椭圆的离心率以及焦点”两个已知条件，再结合即可求得，从而求得椭圆的标准方程.
21．已知函数，记，．
(1)若，判断函数的单调性；
(2)若，不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，则曲线上是否存在三个不同的点，使得曲线在三点处的切线互相重合？若存在，求出所有符合要求的切线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)函数在上是增函数
(2)
(3)存在，满足条件的切线方程为
【分析】（1）利用导数判断出在区间上的单调性.
（2）由分离参数，然后利用构造函数法，结合多次求导来求得的取值范围.
（3）先设出切线方程，然后根据切线重合列方程，由此进行分类讨论来求得切线方程.
【详解】（1）因为，当且仅当在时，，
所以函数在上是增函数．
（2）由题意得，，于是．
令，则，
令，则，
所以在上是严格减函数，于是，
由于，于是在上是严格减函数，
所以，因此，即．
（3）解法一：
设、、，则曲线在三点处的切线分别为直线
，
，
．
因为直线互相重合，所以，
且．
因为，
所以，，．
①若，，．
则，，，
于是，
因为，
所以，与三点互不重合矛盾．
②若，，中至少一个成立，
不妨设成立，则，
若，则，矛盾，舍去，
于是，，
所以满足要求的切线方程为或
解法2：
假设存在三个不同点在曲线上满足条件，
则，且互不相同.
曲线在三点处的切线方程分别为：
，
，
，
依题意，有
由①得，.
情形1：若，代入②得，
.
即，而，故，，
此时满足条件的切线方程为.
情形2：若，代入②得，
.
即，两式相减，
得，由于，故，
此时，与矛盾，舍去.
情形3：若，代入②得，
.
即，故，
则，与矛盾，舍去.
情形4：若，与情形3完全类似，舍去.
综上，满足条件的切线方程为.
解法3：
假设存在三个不同点在曲线上满足条件，
则，且互不相同.
曲线在三点处的切线方程分别为：
，
，
，
依题意，有
由①得，，
由②，令，
则，
即有，
平方，得
，
即
由于互不相同，即，
相减，得，于是，则，
此时满足条件的切线方程为.
【点睛】求解函数单调区间的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间：，则在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；，则在对应区间上是减函数，对应区间为减区间.如果导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.
月份
1
2
3
4
5
9
10
12
当月燃气用量（立方米）
56
80
66
58
60
53
55
63
当月燃气费（元）
168
240
198
174
183
174.9
186
264.6