甘肃省武威市凉州区武威第十六中学2023-2024学年八年级（上）期末数学试题（含解析）

这是一份甘肃省武威市凉州区武威第十六中学2023-2024学年八年级（上）期末数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，因式分解与解方程，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共30分）
1．如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，中，，的角平分线交于点D，于点E．若，，则的面积为（ ）

A．12B．11C．10D．8
4．如图，△ABC沿直线MN折叠，使点A与AB边上的点E重合，若∠B=54°，∠C=90°，则∠ENC等于（ ）
A．54°B．62°C．72°D．76°
5．内角和是的多边形是（ ）边形
A．4B．5C．6D．7
6．如图，，，则下列结论错误的是（ ）

A．B．
C．D．
7．在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
8．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．已知，则的值为（ ）
A．B．C．4D．
10．某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x本资料，列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（共24分）
11．若分式的值为，则的值为 .
12．在中，，，边上的高为，则的面积是 ．
13．若正多边形的每一个内角为，则这个正多边形的边数是 ．
14．如图，，，，若，则 ．
15．如图，AB，CD相交于点O，AD＝CB，请你补充一个条件，使得△AOD ≌△COB．你补充的条件是 ．

16．在平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，则 ．
17．若多项式分解因式的结果为，则的值为 ．
18．若，则的值为 ．
三、因式分解与解方程（共16分）
19．分解因式：
(1)；
(2)．
20．解方程
(1)
(2)
四、解答题（共50分）
21．先化简，再求值：，其中．
22．如图，，分别是的高和角平分线，且，，求．
23．已知一个多边形的内角和为，求这个多边形的边数．
24．如图所示，四边形的对角线与相交于O点，
(1)若，，求证：；
(2)若，，求证：．
25．某商店以2400元购进某种盒装茶叶，第一个月每盒按进价增加作为售价，售出50盒，第二个月每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的茶叶．在整个买卖过程中盈利350元，求每盒茶叶的进价．
26．如图，在中，D为边上一点，于F，延长交于E．若．

(1)求证：为等边三角形；
(2)若D是的中点，求的值．
27．在等腰中，，，，分别为的中线．
(1)如图1，求证：；
(2)求证：与的面积相等；
(3)如图2，点在的延长线上，连接，，若，求证：．
答案与解析
1．C
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：选项A、B、D的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
选项C的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．A
【分析】根据题意画出相应的图形，如图所示，在直角三角形ABC中，由AC及BC的长，利用勾股定理求出AB的长，然后过C作CD垂直于AB，由直角三角形的面积可以由两直角边乘积的一半来求，也可以由斜边AB乘以斜边上的高CD除以2来求，两者相等，将AC，AB及BC的长代入求出CD的长，即为C到AB的距离．
【详解】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：
在Rt△ABC中，AC=9，BC=12，
根据勾股定理得：AB＝ ，
过C作CD⊥AB，交AB于点D，
∵S△ABC=AC•BC=AB•CD，
∴ CD＝ ，
则点C到AB的距离是．
故选：A
【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用，解本题的关键是正确的运用勾股定理，确定斜边AB的长．
3．A
【分析】本题是对角平分线性质的考查，熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键．根据角平分线的性质得出，根据三角形的面积公式求出即可．
【详解】解：∵中，，的角平分线交于点D，，
∴，
∵，
∴
∵，
∴的面积为：，故A正确．
故选：A．
4．C
【分析】先根据直角三角形的两个锐角互余可得，再根据折叠的性质可得，然后根据三角形的外角性质即可得．
【详解】解：，
，
由折叠的性质得：，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余、折叠、三角形的外角性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
5．C
【分析】本题考查了多边形的内角与外角，利用多边形的内角和是解题关键．根据多边形的内角和，可得答案．
【详解】解：设多边形为边形，由题意，得
，
解得，
故选：C．
6．D
【分析】利用判断A选项，利用判断B选项，再利用全等三角形的性质逐一选项判断C、D即可．
【详解】解：在和中，
，
，故选项A正确，不合题意；
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，故选项B正确，不合题意；
，
，故选项C正确，不合题意；
，
，证不出，
∴选项D错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟记三角形全等判定方法：、、、是解题的关键．
7．A
【分析】根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变可直接得出答案．
【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标是，
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化—轴对称，掌握关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键．
8．B
【分析】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，根据各项运算法则逐项判断即可．
【详解】解：，故A选项运算错误；
，故B选项运算正确；
，故C选项运算错误；
，故D选项运算错误；
故选B．
9．C
【分析】已知等式左边两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，变形后即可得到结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，化简求值的方法有直接代入法，整体代入法等常用的方法，解题时可根据题目具体条件选择合适的方法，当未知的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式的各分式都有意义，且除数不能为0．
10．D
【分析】由设第一次买了x本资料，则设第二次买了（x+20）本资料，由等量关系：第二次比第一次每本优惠4元，即可得到方程．
【详解】解：设他第一次买了x本资料，则这次买了（x+20）本，
根据题意得：．
故选：D．
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
11．
【分析】分式的值为零，分子等于零且分母不等于零．
【详解】依题意得：x＋2＝0且x−3≠0，
解得x＝−2．
故答案是：．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
12．或
【分析】本题主要考查了勾股定理;熟练掌握勾股定理，画出图形，分类讨论是解答此题的关键．
分两种情况: ①为锐角; ②为钝角，利用勾股定理求出、，即可求出的长进而求得的面积．
【详解】解：分两种情况: ①为锐角时，如图

在中
在中
的面积为：；
②当为钝角时，如图

在中
在中
的面积为：；
故答案为：126或66．
13．八（或8）
【分析】根据正多边形的每一个内角为，求出正多边形的每一个外角，根据多边形的外角和，即可求出正多边形的边数．
【详解】解：根据正多边形的每一个内角为
正多边形的每一个外角为：
多边形的边数为：
故答案为八．
【点睛】考查多边形的外角和，掌握多边形的外角和是解题的关键．
14．##64度
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等边对等角．利用证明，推出，，利用等边对等角结合三角形内角和定理求得的度数，据此即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15．∠A=∠C或∠ADO=∠CBO
【分析】本题证明两三角形全等的三个条件中已经具备一边和对角相等，所以只要再添加一组对应角相等即可．
【详解】添加条件可以是：∠A=∠C或∠ADC=∠ABC．
∵添加∠A=∠C根据AAS判定△AOD≌△COB，
添加∠ADO=∠CBO根据AAS判定△AOD≌△COB，
故答案为：∠A=∠C或∠ADO=∠CBO．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
16．5
【分析】先根据点坐标关于轴对称的变换规律求出的值，再代入计算即可得．
【详解】解：点与点关于轴对称，
，
，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了点坐标关于轴对称的变换规律，熟练掌握点坐标关于轴对称的变换规律（横坐标相同，纵坐标互为相反数）是解题关键．
17．
【分析】本题考查了因式分解．根据多项式的乘法法则计算，与比较求出a和b的值，然后代入计算．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴.
故答案为：.
18．##0.75
【分析】设，再代入求出即可．
【详解】，
设，
，
故答案为：.
【点睛】本题考查了比例的性质，求代数式的值的应用，能选择适当的方法代入是解此题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用平方差公式，进行分解即可解答；
（2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
【详解】（1）解：
（2）解：

．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
20．(1)
(2)
【分析】（1）先等号两边同时乘以，把分式方程转化为整式方程，再求解检验即可；
（2）先等号两边同时乘以，把分式方程转化为整式方程，再求解检验即可．
【详解】（1）解：，
两边同时乘以得，，
整理得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1得，，
把代入得，，
∴是原方程的根；
（2）解：，
两边同时乘以得，，
去括号得，，
移项、合并同类项得，，
系数化为1得，，
把代入得，，
∴是原方程得根．
21．，．
【分析】本题考查了分式的化简求值、根式和完全平方公式的非负性，先对分式进行化简，再利用根式和完全平方公式的非负性求出的值，将其代入所化简的式子中计算即可求解，解题的关键是掌握分式的混合运算的法则．
【详解】解：原式，
，
，
∵，
∴，，
∴，，
∴原式，
．
22．．
【分析】本题考查三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的定义，根据三角形内角和定理可求出的度数，根据角平分线的定义和直角三角形两锐角互余的性质即可得出答案；熟练掌握三角形内角和定理是解题关键．
【详解】解：∵
∵是的角平分线，
，
∵是的高，
23．
【分析】边形的内角和是，列出方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【详解】解：根据n边形的内角和公式，得：
，
解得：．
∴这个多边形的边数是：．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，能根据多边形的内角和定理，列出方程，通过解方程来解决问题是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了证明三角形全等，熟记四种全等判断“，，，”是解题关键．
（1）和公共边是，，直接用证明三角形全等．
（2）和公共边是，，直接用证明三角形全等，从而得出．
【详解】（1）证明：在和中，
，
；
（2）在和中，
，
，
．
25．40元
【分析】设每盒茶叶的进价为元，等量关系为：总售价总进价，据此列出方程求解．
【详解】解：设每盒茶叶的进价为元．
．
解得：或，
经检验：或都是原方程的解，但不合题意，应舍去．
答：每盒茶叶的进价为40元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找到合适的等量关系是解决问题的关键，难点是得到余下茶叶的数量．
26．(1)详见解析
(2)
【分析】（1）先根据直角三角形的的两锐角互余求得，再根据三角形的外交性质求得，由等角对等边得，即可证明结论成立；
（2）连接，由（1）得，，先由等腰三角形的三线合一得，进而根据等角对等边得，在中，根据直角三角形的性质即可得，即可求得．
【详解】（1）证明：∵于F，
∴，
∵，
∴在中，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等边三角形；
（2）解：连接，如下图，

由（1）得，，，
∵D为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，即．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及判定，等边三角形的判定，直角三角形的两锐角互余以及直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半以及三角形的外角，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
27．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定；
（1）根据三线合一可得是的高，根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据三角形中线的性质得出，进而即可求解；
（2）过点作交的延长线于点．则为边上的高线．得出，进而即可得出结论；
（3）根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据三线合一可得，，进而证明得出，等量代换即可得证．
【详解】（1）证明：如图，
，，
，
是边上的中线
是的高，
，
，
是边上的中线，
，
．
（2）证明：如图，过点作交的延长线于点．
则为边上的高线．
，
为中点
与的面积相等．
（3）证明：由（2）知．
，，

垂直平分
，
又
，
在和中，
，
∴
∴，而
∴