辽宁省大连市中山区2023-2024学年八年级（上）期末数学试题（含解析）

这是一份辽宁省大连市中山区2023-2024学年八年级（上）期末数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

八年级数学
本试卷共三大题，23小题，满分120分.考试时间120分钟.
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）
1．三角形的两边长分别为4，9，则第三边长可能是（ ）
A．6B．5C．4D．3
2．在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．下列多边形中，内角和等于的是（ ）
A． B． C． D．
4．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
5．分式有意义的条件是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，，垂足为C，且，若用“”证明，则需添加的条件是（ ）

A．B．C．D．
7．如图，点B，D，E，C在一条直线上，且，，，，则的长为（ ）
A．5B．6C．8D．9
8．下列尺规作图的语句正确的是（ ）
A．连接BC，使B．以点C为圆心，长为半径画弧
C．作直线D．连接，并且平分
9．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
10．师傅和徒弟两人每小时共做40个零件，在相同时间内，师傅做了300个零件，徒弟做了100个零件．师傅每小时做了多少个零件？若设师傅每小时做了个零件，则可列方程为（ ）
A．B．C．D．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．因式分解： ．
12．我国一款手机的芯片采用了先进的制造工艺，已知，将用科学记数法表示为：
13． 如图，在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD= °．
14．如图，已知，，，则的长为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，在x轴上取一点C使为等腰三角形，符合条件的C点有 个．
三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．计算
(1)；
(2)．
17．如图，在中，，，作的角平分线，交于点D．
(1)依题意补全图形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求证．
18．先化简，再求值：，其中，.
19．如图，在四边形中，点E在边上，且，．
求证．
20．如图，在平面直角坐标系中，点，，．
(1)在图中画出关于x轴对称的；
(2)在y轴上画出点P，使得的值最小（保留作图痕迹），并直接写出点P的坐标．
21．列方程解应用题：
甲、乙两人分别从距目的地6km和10km的两地同时出发，甲、乙的速度比是3∶4，结果甲比乙提前20min到达目的地．求甲、乙的速度．
22．【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第121页的阅读与思考：
利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式：
（1）分解因式：_____________；
【知识应用】
（2），则_________，_________；
【拓展提升】
（3）如果，其中m，p，q均为整数，求m的值.
23．问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：
如图1，中，，点D在边上．
要求数学小组进行如下操作：
作，交直线于点E；过点C作，交直线于点F.
（1）补全图形；
深入探究：
（2）同学们探究发现，图中有与相等的线段，请找出并证明；
拓展提升：
（3）图形特殊化，（如图2），其他条件不变，重复（1）的操作，设四边形的面积是，的面积是，求的值．
答案与解析
1．A
【分析】本题考查的是三角形的三边关系，三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．根据三角形的三边关系确定第三边的范围，判断即可．
【详解】解：∵三角形的两边长分别为4，9，
设第三边长为x，
∴第三边长x的范围是，即，
故选：A．
2．B
【分析】本题主要考查了关于y轴对称点的坐标，根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【详解】解：点关于y轴对称点的坐标为，
故选：B．
3．B
【分析】根据n边形内角和公式分别求解后，即可得到答案
【详解】解：A．三角形内角和是，故选项不符合题意；
B．四边形内角和为，故选项符合题意；
C．五边形内角和为，故选项不符合题意；
D．六边形内角和为，故选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了n边形内角和，熟记n边形内角和公式是解题的关键．
4．D
【分析】利用同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则进行运算即可．
【详解】解： ．
故选： D．
【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．D
【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟记分式有意义的条件是解此题的关键．
根据分式有意义的条件得出，再求出答案即可．
【详解】要使分式有意义，必须，
解得：
故选：D
6．B
【分析】根据“”的判定方法进行判定即可．
【详解】解：，
理由是：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了根据“”判定三角形全等，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
7．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，通过，得到，由，得到，利用三角形外角的性质得到，推出，利用，证明，得到，即可得出结论．
【详解】，，
，，
，
，
在与中，
，
，
，
．
故选：B．
8．B
【分析】本题考查了作图-尺规作图的定义，根据作图语言求解．
【详解】解：A：连接，但是不一定能垂直，故A是错误的；
B：以点C为圆心，为半径画弧是符合作图语句的，故B是正确的；
C：直线没有长度，不可度量，故C是错误的；
D：连接，但是不一定能平分，故D是错误的；
故选：B．
9．C
【分析】本题考查了因式分解的意义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，叫因式分解．根据因式分解的意义逐一判断即可．
【详解】解：A、，为乘法运算，所以A选项不正确；
B、，为乘法运算，所以B选项不正确；
C、，是因式分解，所以C选项正确；
D、，右边不是整式的积的形式，所以D选项不正确．
故选：C．
10．A
【分析】根据工作量工作效率工作时间，表示两者各自完成零件所用的时间，时间相等构建方程．
【详解】解：师傅所用时间为，徒弟所用时间为，于是
；
故选：A
【点睛】本题考查分式方程的应用；理解工程问题中：工作量工作效率工作时间的基本关系是解题的关键．
11．
【分析】利用提公因式法即可求解．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】本题考查利用提公因式法进行因式分解．掌握相关方法即可．
12．
【分析】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
科学记数法确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【详解】的左边起第一个不为零的数字7前面的0有9个
，
故答案为：
13．30
【分析】根据正三角形ABC得到∠BAC=60°，因为AD⊥BC，根据等腰三角形的三线合一得到∠BAD的度数．
【详解】∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠BAC=30°，
故答案为30°．
14．5
【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等的性质可得，观察图形得．
【详解】解：，，，
，
，
故答案为：5．
15．4
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据等腰三角形的定义，以点A为圆心，以为半径画弧，以点B为圆心，以为半径画弧，画线段的垂直平分线，按照等腰三角形成立的条件分析可得答案．
【详解】解：观察图形可知，若以点A为圆心，以为半径画弧，与x轴有2个交点，这两个交点中有一个是与B重合的，应舍掉，故只有1个；
若以点B为圆心，以为半径画弧，与x轴有2个交点，故有2个；
线段的垂直平分线与x轴有1个交点；
∴符合条件的C点有：（个），
故答案为：4．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查整式的乘法，分式混合运算．
（1）根据多项式乘多项式法则去掉括号，再合并同类项即可；
（2）首先根据分式乘方运算法则计算乘方，再将待化简式中的除法运算化为乘法运算；接下来，根据分式乘法计算法则，结合同底数幂的乘法计算法则计算即可得到答案．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
17．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，含30度角的直角三角形的特征，解题的关键是掌握尺规作已知角的角平分线．
（1）根据作已知角的角平分线步骤作图即可；
（2）由，平分，可得，故，由，知，从而．
【详解】（1）解：补全图形如下：
（2）证明：∵，平分，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
，
∴．
18．；
【分析】本题主要考查分式的化简求值，把除法转化为乘法，约分化简，再代入求值．
【详解】解：
；
把，代入上式得，
原式．
19．见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，通过三角形外角的性质得到，由推出，利用，证明，即可得出结论．
【详解】证明：，，
，
在与中，
，
，
．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
（1）根据轴对称的性质得到，，作图即可．
（2）取点A关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，即可得出答案．
【详解】（1）解：与关于x轴对称，
，，
如图，即为所求；
（2）解：如图，取点A关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，
此时，为最小值，
则点P即为所求．
21．甲的速度km/h，乙的速度6km/h
【分析】先根据甲乙的速度比分别设两者的速度，再根据时间×速度=路程表示出时间，根据时间差20min列方程求解．
【详解】设甲的速度为，乙的速度为
由题意，得
解得
则甲的速度，乙的速度
答：甲的速度km/h，乙的速度6km/h．
【点睛】本题考查分式方程的实际应用，解决此题的关键是用速度、时间、路程三者之间的关系表示出时间差建立方程．
22．（1）（2）（3）
【分析】本题主要考查某些二次项系数是1的二次三项式分解因式及其应用：
（1）根据阅读材料中提供的方法进行解答即可；
（2）先将等号右边的括号括号展开合并，根据对应项的系数相等可得结论；
（3）先将等号右边的括号括号展开合并，根据对应项的系数相等可得，根据m，p，q均为整数讨论求解即可.
【详解】解：（1）∵，
∴，
故答案为：；
（2）由，
∴，
解得，，
故答案为：；
（3）由，
∴，
∵m，p，q均为整数，
∴，此时；
或者，此时；
或者，此时；
或者，此时；
或者，此时；
或者，此时；
综上，的值为：
23．（1）补全图形见解析（2），证明见解析（3）2
【分析】（1）由题意补全图形即可；
（2）在上截取，在上截取，连接，证，得，再证，得，然后证，即可得出结论；
（3）在上截取，连接，证，得，再证，得，设，则，，然后证，即可得出结论．
【详解】解：（1）补全图形如图1，
（2），证明如下：
如图，在上截取，在上截取，连接，
在和中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图2，在上截取，连接，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
设，则，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的外角性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．
型式子的因式分解
型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子进行因式分解呢?
在第102页的练习第2题中，我们发现，.这个规律可以利用多项式的乘法法则推导得出：
因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得
①
利用①式可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式。例如，将式子分解因式。这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，因此这是一个型的式子.利用①式可得.
上述分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（图1）.
这样，我们也可以得到.