2024届辽宁省部分学校高三上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2024届辽宁省部分学校高三上学期12月月考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用复数的乘法运算求解.
【详解】解：.
故选：D
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式与具体函数的定义域化简集合，从而利用交集运算即可得解.
【详解】因为，当且仅当时，等号成立，
所以，而，则.
故选：A.
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由不等式的性质结合充分不必要条件求解即可.
【详解】若，则.
当，时，，但，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4．若为奇函数，则（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】D
【分析】利用奇函数的定义，列式求解即得.
【详解】因为是R上的奇函数，则，，
因此，整理得，
所以.
故选：D
5．如图，在由九个相同的正方形组成的九宫格中，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据九宫格求出和，再由两角差的正切公式计算即可.
【详解】由图可知，，则.
故选：B.
6．在等比数列中，已知，，则（ ）
A．B．42C．D．
【答案】C
【分析】由等比数列的通项公式求解即可.
【详解】设的公比为，则，解得，
所以，解得，所以.
故选：C.
7．已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，其顶点和底面圆周均在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先判断球心在圆锥外部，设球心到圆锥底面圆心的距离为，由求解.
【详解】解：因为圆锥的底面半径为4，母线长为5，
所以圆锥的高，
故球心在圆锥外部.
设球心到圆锥底面圆心的距离为，
如图所示：
则，解得，
则球的半径，表面积.
故选：C
8．已知实数，满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将等式整理成完全平方之和等于0，即可求解.
【详解】由题可知，
则，
则，则，解得，
检验各选项可知只有B选项成立.
故选：B.
二、多选题
9．如图，在四面体中，两两垂直，，则（ ）
A．向量在向量上的投影向量为
B．向量在向量上的投影向量为
C．向量
D．向量
【答案】AD
【分析】利用投影向量的定义及空间向量的基本定理计算即可.
【详解】
如图所示，取，连接，则.
因为两两垂直，，
所以在上的投影为点，在上的投影为点，
所以向量在向量上的投影向量为，故A正确，B错误；
，故C错误，D正确.
故选：AD
10．下列函数中，存在两个极值点的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】利用函数极值点的定义判断.
【详解】由，得恒成立，则无极值，A不正确.
由，得，当时，，当时，，则在和上单调递增，在上单调递减，有两个极值点，B正确.
由，得，当时，，当时，，则在和上单调递减，在上单调递增，有两个极值点，C正确.
由，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，有且只有一个极值点，D不正确.
故选：BC
11．若函数在上恰有10个零点，则的值可能为（ ）
A．50B．54C．51D．58
【答案】BD
【分析】根据题意，将问题转化为函数图象与直线的交点个数，进而结合三角函数的图象和性质求得答案.
【详解】当时，，
令，得，要使在上恰有10个零点，
则需满足，解得.
故选：BD.
12．已知函数的值域为，，，，则下列函数的最大值为的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】此题考查复合函数性质，只需化简选项中的函数，写成复合函数形式，判断复合函数的内函数值域与函数定义域是否相同即可。
【详解】因为，所以，
当的取值范围为时，的取值范围为，
所以的最大值与的最大值相等，均为，A正确.
因为，所以的最大值为，B错误.
因为，所以，
当的取值范围为时，的取值范围为，
所以的最大值与的最大值相等，均为，所以的最大值为，C正确.
，因为，，，
所以，所以的最大值一定不是，D错误.
故选：AC.
三、填空题
13．已知，均为单位向量，且，则 .
【答案】
【分析】根据，均为单位向量，且，由求解.
【详解】解：因为，均为单位向量，且，
所以，
所以.
故答案为：
14．如图，在直三棱柱中，，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 .
【答案】
【分析】取的中点，连接，，.因为是的中点，所以，此时异面直线与所成角即为直线与所成角，根据余弦定理即可求出答案.
【详解】取的中点，连接，，.因为是的中点，所以.
又，，三棱柱为直三棱柱，所以，，，
，
故异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：.
15．若，当时，，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】将原问题等价转化为时，恒成立，从而构造函数，推出该函数在单调递减，求出其单数，结合分离参数以及函数最值，即可求得答案.
【详解】由题意等价于，
即等价于，即等价于.
令，
则原问题可转化为，当时，，
即函数在上单调递减，
即，，则，
又，，所以，
所以实数的取值范围是，
故答案为：
16．某景区的平面图如图所示，其中，为两条公路，，为景点，，，现需要修建一条经过景点的观光路线，，分别为，上的点，则面积的最小值为 .
【答案】200
【分析】设，，并根据得，然后利用基本不等式从而可求解.
【详解】设，，由，
可得，即.
由，解得，当且仅当，时，等号成立，此时取得最小值.
故面积的最小值为.
故答案为：.
四、解答题
17．记为等差数列的前项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得，进而得到数列的通项公式；
（2）由（1）得到数列为递增数列，且，得到或时，取得最小值，结合等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】（1）解：设等差数列的公差为，
由，，可得，解得，
所以数列的通项公式为.
（2）解：由（1）知，可得数列为递增数列，且，
所以当时，；当时，；当时，，
所以，当或时，取得最小值，即，
所以，故的最小值为.
18．的内角，，的对边分别为，，.已知.
(1)求；
(2)若，，，成等比数列，求.
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）由，利用正弦定理得到，再利用两角和与差的三角函数化简求解；
（2）由，，成等比数列，得到，再结合余弦定理和正弦定理求解.
【详解】（1）解：因为，
所以，
又，
所以，即，
又，所以，
（2）因为，，成等比数列，所以，
又，
所以，
故.
19．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在上的最值.
【答案】(1)
(2)最大值为，最小值为
【分析】（1）求出函数的导数，然后求出切线的斜率，即可求解；
（2）利用（1）中求出的导数，分别讨论函数在区间的单调性，从而求出最值.
【详解】（1）因为，
所以，
则，，
故曲线在点处的切线方程为
（2）因为，
所以当时，，
当时，，
则在上单调递增，在上单调递减.
所以当，为在区间的极大值且为最大值，
又，，，
所以在上的最大值为，最小值为.
20．如图，在四棱锥中，，，与均为正三角形.
(1)证明：平面.
(2)证明：平面.
(3)设平面平面，平面平面，若直线与确定的平面为平面，线段的中点为，求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由已知得出，即可根据线面平行的判定证明；
（2）取的中点，连接，过作平面，垂足为，连接，，，，通过已知得，通过线面垂直的判定与性质得出，通过中位线得出，即可得出，再通过勾股定理得出，即可证明；
（3）以为坐标原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，得出各点坐标，通过点到平面距离的向量求法即可求出.
【详解】（1）因为，
所以，，
所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）取的中点，连接，则四边形为正方形.
过作平面，垂足为.
连接，，，.
由和均为正三角形，得，
所以，即点为正方形对角线的交点，
则.
因为平面，且平面，
所以，
又，且平面,平面,
所以平面，
因为平面，
所以.
因为是的中点，是的中点，
所以，
因此.
因为，
所以，
又，平面，平面，
所以平面.
（3）设，连接，则直线为直线，
因为，平面，平面，
所以平面，
因为平面，且平面平面，
所以.
由（1）知，，，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
设平面的法向量为，则，
所以，
取，得.
又，
所以点到平面的距离.
21．已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用退一作差法求得.
（2）利用放缩法以及裂项求和法证得不等式成立.
【详解】（1）当时，
当时，由，
得，
则，
则，又，所以.
（2）证明：由（1）可知，，
当时，.
当时，，
则，
所以
.
综上，.
22．已知，是函数的两个零点，且.
(1)求实数的取值范围；
(2)证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意可将零点问题转变为函数和存在两交点的问题，再根据的单调情况,求出实数的取值范围；
（2）根据条件，得到，再根据不等式放缩为形式，根据题意缩小，的取值范围构造出形式即可证明不等式.
【详解】（1）解：令，则.
令，则.
因为在上单调递增，且当时，，
所以当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增.
当和时，.
因为函数有两个零点，所以，
即实数的取值范围为.
（2）证明：，则在上单调递增，
而且，
因此在上存在唯一零点，
即，
所以在上单调递减，在上单调递增.
因为，,
由的单调性,得，所以.
令，则，
所以当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，
所以，即，所以，
综上所述，证毕.
【点睛】思路点睛：
在导数问题中，若遇见函数两零点与参数间的不等式问题，可考虑通过基本运算，先将两零点化简为一个整体，并求出这个整体的取值范围.在此需要注意，化简出来的形式尽量满足方便函数或函数的导数运算，且整体取值范围尽可能精确.此外函数不等式经常会使用放缩法将指数或者对数函数与幂函数进行互换，如本题，考生需要自行积累.