2024届河北省保定市唐县第二中学高三上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2024届河北省保定市唐县第二中学高三上学期12月月考数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出集合和集合的补集，再求其交集即可
【详解】由，得，
因为，所以，
因为，，所以，
所以，
故选：C
2．已知复数z满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据复数的运算法则和模的定义即可求出复数z，再根据共轭复数定义即可得结果.
【详解】由，得，
所以，
故选：A.
3．已知向量满足，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由数量积的运算律得，进而根据投影向量的公式求解即可.
【详解】解：因为，
所以，解得，
所以在上的投影向量为．
故选：B
4．若，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据不等式之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.
【详解】当，，且时，
，当且仅当时等号成立，
所以，充分性成立；
，，满足，且，此时，必要性不成立.
则“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
5．设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用指数、对数函数、正弦函数的性质，借助“媒介数”比较判断作答.
【详解】，而，则，即，
所以.
故选：B
6．折纸与剪纸是一种用纸张折成或剪成各种不同形状的艺术活动，是我们中华民族的传统文化，历史悠久，内涵博大精深，世代传承．现将一张腰长为1的等腰直角三角形纸，每次对折后仍成等腰直角三角形，对折5次，然后用剪刀剪下其内切圆，则可得到若干个相同的圆片纸，这些圆片纸的半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据等比数列的性质，结合等面积法即可求解.
【详解】由题意可知，对折后的等腰直角三角形的腰长成等比数列，且首项为，公比为，故对折5次后，得到腰长为等腰直角三角形，斜边长为，
设该等腰直角三角形的内切圆半径为，则由等面积法可得，解得.
故选：A.
7．设等差数列的前项和为，已知，，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】首先证明是上的奇函数和增函数，然后由题意可得，结合等差数列求和公式即可得解.
【详解】设，其定义域为关于原点对称，且，
所以函数是奇函数，
又，
所以函数是增函数，
由题意，
从而，即，
所以，整理得，
所以由等差数列的性质可知，
由等差数列前项和公式可知.
故选：B.
8．数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为，则下列结论正确的是（ ）
A．勒洛四面体最大的截面是正三角形
B．若、是勒洛四面体表面上的任意两点，则的最大值为
C．勒洛四面体的体积是
D．勒洛四面体内切球的半径是
【答案】D
【分析】由勒洛四面体的定义判断选项A；由勒洛四面体的定义并作图求解判断B；根据对称性, 由勒洛四面体内切球的球心是正四面体外接球的球心求解判断C；结合C由棱长减去外接球的半径求得内切球的半径求解判断.
【详解】由勒洛四面体的定义可知勒洛四面体最大的截面即经过四面体表面的截面，如图1所示，故A不正确；
将正四面体对棱所在的弧中点连接，此时连线长度最大，如下图所示：
连接，交于中点，交于中点，连接，易得,
则，
而，
所以，
故勒洛四面体表面上两点间的距离可能大于4，故B错误，
如图2，由对称性可知勒洛四面体内切球的球心是正四面体外接球的球心，
连接并延长交勒洛四面体的曲面于点，则就是勒洛四面体内切球的半径.
如图3, 在正四面体中，为的中心，是正四面体外接球的球心，
连接、、，由正四面体的性质可知在上.
因为, 所以，则.
因为，
即，解得，
则正四面体外接球的体积是，
而勒洛四面体的体积小于其外接球的体积，C错误；
因为，所以 ,
所以，勒洛四面体内切球的半径是，则 D正确.
故选：D.
【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．一组数的第75百分位数为15.5
B．在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，相应变量增加0.6个单位
C．数据的方差为，则数据的方差为
D．一个容量为50的样本方差，则这组样本数据的总和等于100
【答案】CD
【分析】由百分位数的定义，即可判断A，由回归方程的性质即可判断B，由方差的性质即可判断CD.
【详解】对于A，因为，所以这组数据的第75百分位数是第8个数，即为16，故A错误；
对于B，由回归方程可知，当解释变量每增加1个单位时，相应变量减少0.6个单位，故B错误；
对于C，由数据的方差为，
则数据的方差为，故C正确；
对于D，由，得，
所以这组样本数据的总和等于，故D正确.
故选：CD.
10．对于二项式（为常数且），以下正确的是（ ）
A．展开式有常数项
B．展开式第六项的二项式系数最大
C．若，则展开式的二项式系数和为
D．在上恒成立，则
【答案】AB
【分析】结合二项展开式的通项，可判定A正确；结合二项式系数的性质，可判定B正确；根据二项式系数和的性质，可得判定C不正确；根据题意，得到，转化为或在上恒成立，可判定D不正确.
【详解】对于A中，由二项式的展开式的通项为，
令，可得，此时展开式的第6项为常数项，所以A正确；
对于B中，由二项式的展开式，结合二项式系数的性质，
可得展开式的第6项的二项式系数最大，所以B正确；
对于C中，当时，展开式的二项式系数和是，所以C错误；
对于D中，由在上恒成立，
可得或在上恒成立，
即或在上恒成立，
又由在上单调递减，所以，
函数在上单调递减，所以，
所以或，所以D错误.
故选：AB.
11．已知函数部分自变量，函数值如下表示，下列结论正确的是（ ）
A．函数解析式为
B．函数图象的一条对称轴为
C．是函数图象的一个对称中心
D．函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位使得的函数为奇函数
【答案】BCD
【解析】首先根据表格，利用最值求和，再根据周期求，以及根据最小值点求，求得函数的解析式，再分别代入和，判断BC选项，最后根据平移规律求平移后的解析式.
【详解】由表格可知，， 函数的最大值是5，所以，即，
当时，函数取得最小值，
最小值点和相邻的零点间的距离是，所以，
当时，，解得：，，
，所以函数，故A不正确；
B.当时，，能使函数取得最小值，所以是函数的一条对称轴，故B正确；
C.当时，，此时，所以是函数的一个对称中心，故C正确；
D.函数向左平移个单位后，再向下平移2个单位后，得，函数是奇函数，故D正确.
故选：BCD
【点睛】思路点睛：本题考查的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线或点是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求的范围，验证次区间是否是函数的增或减区间.
12．已知是定义在上的奇函数，为偶函数，，则（ ）
A．曲线关于直线轴对称B．是以4为周期的周期函数
C．D．关于点对称
【答案】ABC
【分析】对A，根据为偶函数即可判断；对B，根据函数对称性化简判断即可；对C，根据周期性与对称性可得，再求解即可；对D，根据对称性与周期性判断即可.
【详解】对A，为偶函数，则，故关于直线轴对称，故A正确；
对B，关于直线轴对称，则，又是定义在上的奇函数，故，则，且，故，故周期为4.故B正确；
对C，，且，图象关于直线轴对称，故，，，故
，故C正确；
由C知D错误.
故选：ABC
三、填空题
13．写出一个同时满足下列条件的双曲线的标准方程 ．
①焦点在x轴上；②离心率为．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据焦点位置设出方程，再由离心率公式并取得出方程.
【详解】双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为（，），
由于双曲线的离心率为，所以，又，所以，
所以可取，，此时双曲线的一个标准方程为．
故答案为：（答案不唯一）
14．为考查某种流感疫苗的效果，某实验室随机抽取100只健康小鼠进行试验，得到如下列联表：
则在犯错误的概率最多不超过 的前提下，可认为“注射疫苗”与“感染流感”有关系.
参考公式：.
【答案】0.05/
【分析】补充列联表，计算可得，即可得出答案.
【详解】补充列联表可得，
所以，.
所以，在犯错误的概率最多不超过的前提下，可认为“注射疫苗”与“感染流感”有关系.
故答案为：0.05.
15．第19届杭州亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人：“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址，“莲莲”代表世界遗产西湖，“宸宸”代表世界遗产京杭大运河.现有6个不同的吉祥物，其中“琮琮”､“莲莲”和“宸宸”各2个，将这6个吉祥物排成前后两排，每排3个，且每排相邻两个吉祥物名称不同，则排法种数共有 .（用数字作答）
【答案】336
【分析】考虑到前排是有两种不同名称的吉祥物，还是有三种不同名称的吉祥物，分类求出排法数，根据分类加法计数原理即可得答案.
【详解】由题意可分两种情形：
①前排含有两种不同名称的吉祥物，首先，前排从“琮琮”“莲莲”和“宸宸”中取两种，
其中一种取两个，另一种选一个，有种排法；
其次，后排有种排法，故共有种不同的排法；
②前排含有三种不同名称的吉祥物，有种排法；
后排有种排法，此时共有种排法；
因此，共有种排法，
故答案为：336
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是分类考虑，即考虑到前排是有两种不同名称的吉祥物，还是有三种不同名称的吉祥物，分类求解即可.
16．已知抛物线C：的焦点为F，，过点M作直线的垂线，垂足为Q，点P是抛物线C上的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题先求出直线必过的定点，再求出的轨迹方程，再数形结合求最值即可.
【详解】
由得，
所以直线过点．
连接AM，则，由题意知点Q在以AM为直径的圆上，设，所以点Q的轨迹方程为（不包含点），
记圆的圆心为，过点Q，P，N分别作准线的垂线，垂足分别为B，D，S，连接DQ，则，当且仅当B，P，Q，N四点共线且点Q在PN中间时等号同时成立，所以的最小值为．
故答案为;
四、解答题
17．在数列中，，是的前n项和，且数列是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先应用等差数列求，再应用计算通项公式；
（2）应用错位相减法求和即可．
【详解】（1）由已知得，，
所以，①
当时，，②
，得，
也符合该式，
所以．
（2）由（1）得，
所以，③
，④
，得
．
故．
18．在中，角的对边分别为的面积为，已知.
(1)求角；
(2)若的周长为，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用正弦定理及三角恒等变换即可求解；
(2)由余弦定理及三角形的面积公式得，再由基本不等式进行求解即可.
【详解】（1）因为，
所以，
即，
由正弦定理，得，
因为，
所以，
因为，所以，所以，
又，所以.
（2）由余弦定理，得，即，
所以，即，
因为，，
所以，
所以，
又（当且仅当时取等号），
所以（当且仅当时取等号），
所以（当且仅当时取等号），
所以（当且仅当时取等号），
即的最大值为.
19．一座城市的夜间经济不仅有助于拉动本地居民内需，还能延长外地游客、商务办公者等的留存时间，带动当地经济发展，是衡量一座城市生活质量、消费水平、投资环境及文化发展活力的重要指标．数据显示，近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模保持稳定增长，下表为2017—2022年中国夜间经济的市场发展规模（单位：万亿元），其中2017—2022年对应的年份代码依次为1~6．
(1)已知可用函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程（的值精确到0.01）；
(2)某传媒公司预测2023年中国夜间经济的市场规模将达到48.1万亿元，现用（1）中求得的回归方程预测2023年中国夜间经济的市场规模，若两个预测规模误差不超过1万亿元，则认为（1）中求得的回归方程是理想的，否则是不理想的，判断（1）中求得的回归方程是否理想．参考数据：
其中．
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．
【答案】(1)；
(2)是理想的
【分析】（1）通过对所给的的函数模型取对数，转换为求回归直线方程即可，再结合题中所给的直线方程与数据即可得解.
（2）利用（1）中求得的函数模型进行预测，结合回归方程理想的定义判断即可.
【详解】（1）将的等号左右两边同时取自然对数得，
所以．，
而，
所以，
．
所以，即，
所以．
（2）2023年对应的年份代码为7，
当时，，，
所以（1）中求得的回归方程是理想的．
20．如图，在几何体ABCDEF中，平面ABC，，侧面ABFE为正方形，，M为AB的中点，．

(1)证明：；
(2)若直线MF与平面DME所成角的正弦值为，求实数λ的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过证明平面CDM来证得.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法以及直线MF与平面DME所成角的正弦值求得.
【详解】（1）因为CD⊥平面ABC，，所以平面ABC，
因为侧面ABFE为正方形，，所以平面ABC，
又平面ABC，所以，
因为，所以，
又平面ABFE，所以平面ABFE，
又平面ABFE，所以，
因为平面ABC，平面ABC，
所以，
又平面CDM，所以平面CDM，
又平面CDM，所以．
（2）由（1）可知，，M为AB的中点，所以．
取的中点为N，连接MN，则，
因为平面ABC，所以平面ABC．
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则M（0，0，0），，，F（1，0，2），
所以，，，
设平面DME的法向量为，
由得，取，
则，
设直线MF与平面DME所成角为θ，
则，
由题意可知，，
解得（负值舍去），故实数λ的值为．

21．已知交轴于两点，为上位于轴上方的动点，将上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)记直线与曲线的另一个交点为，若，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设点则有，再代入圆的方程则得到；
（2）设，根据角度关系得到，再联立椭圆方程即可求出的坐标，即可计算出三角形面积.
【详解】（1）设所求曲线上任一点的坐标为，
圆上的对应点的坐标为由题意可得，
因为，所以即
（2）设，故，
又，故，
则，
又因为，故联立有或(此时与，显然不合题意，舍)，
代入椭圆有所以的面积为.
22．已知函数.
(1)求的图象在处的切线方程；
(2)已知，对，，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出在处的函数值，再求导，求出在处的导数值，最后代入切线方程即可；
（2）转化为在上恒成立，然后构造新函数，求其最大值，然后列出不等式即可
【详解】（1）解：，
，
的图象在处的切线方程为：
（2），
，
，在上恒成立，
令，
，
令，
，
令，
，
，
，则在上单调递减，
，
在上单调递减，
，
①当，即时，，
，在上单调递减，
，
解得，
②当时，，
所以存在使得，
当时，，
，在单调增，
，
因为，所以，
所以，
所以当，与矛盾，所以当时，不符合题意，
综上所述，a的取值范围.
感染
未感染
注射
10
40
未注射
20
30
0.05
0.025
0.010
3.841
5.024
6.635
感染
未感染
合计
注射
10
40
50
未注册
20
30
50
合计
30
70
100
年份代码
1
2
3
4
5
6
中国夜间经济的市场发展规模万亿元
20.5
22.9
26.4
30.9
36.4
42.4
3.366
73.282
17.25
1.16
2.83