2024届江西省上饶市广丰一中高三上学期12月月考数学试题含答案
展开一、单选题
1.已知函数是R上的减函数,则的取值范围是( )
A.B.
C.D.
【答案】B
【分析】根据分段函数在上的单调性可得出关于实数的不等式组,进而可求得实数的取值范围.
【详解】由于函数是定义在R上的减函数,
所以,函数在区间上为减函数,
函数在区间上为减函数,且有,
即,解得.
因此,实数的取值范围是.
故选:B.
2.定义在上的偶函数在上单调递增,且,则不等式的解集是( )
A.B.
C.D.
【答案】A
【分析】由题意可得在上单调递增,在上单调递减,,,当或时,;当时,,由条件列出不等式组,求解即可.
【详解】∵定义在上的偶函数在上单调递增,且,
∴在上单调递减,且,
∴当或时,;当时,,
∵,∴或,
∴或,
∴或,即,
则不等式的解集是.
故选:A.
3.函数,,则当取最小正值时,( )
A.B.C.D.
【答案】B
【分析】由题,可求出,进而求得答案.
【详解】因为,所以,即,,
化简得,,所以的最小正值为5,此时,
.
故选:B.
4.已知空间向量,满足,,,则的值为( )
A.1B.C.2D.4
【答案】C
【分析】目标式平方,利用转化法求解可得
【详解】因为,,,
所以,
所以.
故选:C
5.椭圆:长轴的左右两个端点分别是,,点满足,则面积的最大值为( )
A.40B.44C.D.
【答案】A
【分析】由题意得,设,则由可得,从而可求得,进而可求出面积的最大值.
【详解】由,得,则,
所以,则,设,
所以,
因为,所以,
所以,
化简得,即,
所以,
所以,
所以,当且仅当时取等号,
所以,
所以,
所以面积的最大值为40,
故选:A
6.如图,二面角等于,、是棱上两点,、分别在半平面、内,,,且,,则( )
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】由已知可得出,,利用空间向量数量积的运算性质可求得的长.
【详解】由已知,二面角等于,即,
所以,,
所以,
,
因此,.
故选:C.
7.已知函数的导函数为,,且在R上为严格增函数,关于下列两个命题的判断,说法正确的是( )
①“”是“”的充要条件;
②“对任意都有”是“在R上为严格增函数”的充要条件.
A.①真命题;②假命题B.①假命题;②真命题
C.①真命题;②真命题D.①假命题;②假命题
【答案】C
【分析】对于①,构造函数,结合题设,判断“”和“”之间的逻辑推理关系,可判断其真假;对于②,结合函数单调性,判断必要性;采用反证思想,结合题设推出矛盾,说明充分性成立,判断②的真假.
【详解】对于①:
设,,则,
因为在R上为严格增函数,故,
即,则在R上单调递增,
由于,故,即。
即;
当成立时,即,
由于在R上单调递增,故,
故“”是“”的充要条件,①为真命题;
对于②,当在R上为严格增函数时,由对任意,则都有成立;
当对任意都有时,假设在R上不为严格增函数,
即不恒大于等于0,即,使得,
由于在R上为严格增函数,故时,,
此时在上单调递减,且其图象为一个严格递减的凹型曲线,
故当趋近于负无穷时,的值将趋近于正无穷大,
这与对任意都有矛盾,
则假设不成立,即“在R上为严格增函数”成立,
即“对任意都有”是“在R上为严格增函数”的充要条件,②为真命题,
故选:C
【点睛】关键点睛:解答本题的关键是判断②中命题的充分性成立,解答时采用反证思想,推得矛盾,说明充分性成立.
8.设数列的前项和为,且,记为数列中能使成立的最小项,则数列的前2023项和为( )
A.B.C.D.
【答案】D
【分析】首先根据与的关系,得到数列的通项公式,再根据规律找到满足条件能使成立的最小项,并对于不同的值,计算满足条件的个数,从而求和得解.
【详解】因为,则,
两式相减,得,
又当时,,故,
所以是以,的等比数列,则,
显然递减,要使得最小,即要使得最大,
令,得.
若,则;
若,则;
若,则
若,则;
若,则,
则
,
,
故选:D.
【点睛】关键点睛:本题解决的关键是推得,从而分类讨论的取值范围,求得对应的值,从而得解.
二、多选题
9.已知函数,下面命题正确的是( )
A.函数的图象关于原点对称B.函数的图象关于轴对称
C.函数的值域为D.函数在内单调递减
【答案】ACD
【分析】分析函数的奇偶性从而可判断AB选项;结合指数函数的值域判断的值域即可判断C;根据复合函数的单调性判断的单调性即可判断D.
【详解】因为,所以的定义域为,且定义域关于原点对称,
又因为,所以为奇函数,故A正确,B错误;
又因为,,
所以,所以,故C正确;
因为,时,
又在上单调递增,在上单调递减,
所以在上单调递减,故D正确;
故选:ACD.
10.在中,三个角A,B,C所对的边分别为a,b,c,,,则( )
A.的面积为2B.外接圆的半径为
C.D.
【答案】ABD
【分析】根据给定条件,利用正弦定理,结合三角形面积公式逐项分析计算即可得解.
【详解】设外接圆的半径为R,由正弦定理,
得,解得,B正确;
的面积,A正确;
由,得,C错误;
由,得,即,
由,得,因此,
所以,D正确.
故选:ABD
【点睛】策略点睛:求三角形面积是解三角形的一种常见类型,经常利用正弦定理,进行边角转化求解.
11.在正四棱柱中,,为的中点,为上的动点,则( )
A.三棱锥的体积为
B.直线,所成角的余弦值为
C.的最小值为
D.当,,,四点共面时,
【答案】AC
【分析】以D为原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,利用向量法求点Q到平面的距离,然后可得三棱锥的体积,可判断A;利用向量法求,即可判断B;利用两点间距离公式和二次函数性质可判断C;根据四点共面求出点Q坐标,然后由向量数量积即可判断D.
【详解】以D为原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,
则,
,
设,则,
设为平面的法向量,
则,取得,
所以,点Q到平面的距离,
易知,所以,
所以,A正确;
因为,
所以直线,所成角的余弦值为,B错误;
由上可知,,
所以,
由二次函数性质可知,当时,有最小值,最小值为,C正确;
当,,,四点共面时,则有,
因为,
所以,
即,解得,
此时,,又,所以,
因为,
所以与不垂直,D错误.
故选:AC
12.已知函数,则下列结论正确的有( )
A.当时,方程存在实数根
B.当时,函数在R上单调递减
C.当时,函数有最小值,且最小值在处取得
D.当时,不等式恒成立
【答案】BD
【分析】对于A,构造函数求导即可判断;对于B,判断当时,是否满足即可;对于C,令,解得,由此即可判断;对于D,只需验证是否恒成立即可,即验证是否成立即可.
【详解】对于A,因为,所以方程即,
设,则,令,得,
当时,,单调递减,当时,,单调递增,
所以,所以方程不存在实数根,所以A错误.
对于B,因为,定义域为R,所以,
当时,由于,则,故恒成立,
所以在R上单调递减,所以B正确.
对于C,由上知,当时,令,解得.
当时,,则在上单调递减;
当时,,则在上单调递增.
综上,当时,在上单调递减,在上单调递增.
所以函数有最小值,即最小值在处取得,所以C错误.
对于D,由上知,
要证,即证,即证恒成立,
令,则.
令,则;令,则.
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以,则恒成立,
所以当时,恒成立,D正确.
故选:BD.
【点睛】关键点睛:本题对于A的关键是构造函数即可;对于B,验证导数是否恒小于0即可;对于C,首先验证取极值必要条件不满足即可判断;对于D,转换为验证是否恒成立即可.
三、填空题
13.已知集合,若,则实数 .
【答案】
【分析】利用元素与集合的关系可得出关于的等式,解之即可.
【详解】因为集合,若,则,解得.
故答案为:.
14.在三棱锥中,平面,则三棱锥的内切球的表面积等于 .
【答案】
【分析】首先利用等体积法求出内切球半径,再利用球的表面积公式求答案即可.
【详解】如图,
由已知,得的面积为,
因为三棱锥的高为,
所以,等腰三角形底边上的高为,
所以三棱锥的表面积为,
体积.
又三棱锥的体积(其中为三棱锥内切球的半径),
所以,
所以三棱锥的内切球的表面积为.
故答案为:.
15.已知向量,,,且,则 .
【答案】18
【分析】根据空间向量平行的坐标运算列方程组求解参数,即可得结论.
【详解】由题意得,
因为,所以,得,,所以.
故答案为:.
16.已知,,数列是公差为1的等差数列,若的值最小,则 .
【答案】3
【分析】结合等差数列的通项公式,转化为二次函数的最值问题可解.
【详解】∵数列是公差为1的等差数列,可设:.
∴
∴当时,的值最小.
故答案为:3
四、解答题
17.设函数,其中.
(1)若,且对任意的,都有,求实数的取值范围;
(2)若对任意的,都有,求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据得到,然后结合题意列不等式求解即可;
(2)将“对任意的,,都有”转化为“”,然后分、、和四种情况讨论即可.
【详解】(1)当时,,
令,解得,
所以,解得,
所以的取值范围为.
(2)设函数在区间上的最大值为,最小值为,
所以“对任意的,,都有”等价于“”,
①当时,,,
由,得,从而此时;
②当时,,,
由得,
从而;
③当时,,,
由,得,
从而;
④当时,,,
由得,
从而此时;
综上可得,的取值范围为.
18.在中,角,,的对边分别为,,,向量,,且.
(1)求的值;
(2)若,,求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用数量积的坐标表示及两角和的余弦公式求出,即可求出;
(2)由余弦定理求出,最后由面积公式计算可得.
【详解】(1)因为,,且,
,
,
又∵为内角,,
(2)由余弦定理,得,
解得或(舍去),
故,所以.
19.已知焦距为2的椭圆:,,分别为其左右焦点,过点的直线与椭圆交于,两点,的周长为8.
(1)求椭圆的方程;
(2)若过点的直线与椭圆交于,两点且满足,求四边形面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由椭圆的性质直接求即可;
(2)分斜率不存在,等于零,不等于零三种情况讨论,由弦长公式得出面积的表达式再用二次函数的单调性求得结果.
【详解】(1)设
因为过点的直线与椭圆交于,两点,的周长为8
所以则有
所以
所以
所以的方程为
(2)
斜率不存在时.方程为,方程为 则有
所以
斜率为时.方程为,此时无法构成,不符合题意;
斜率存在且不为时.设方程为
则方程为
所以
由
得
所以
所以
同理,设
代入并化简可得.
所以
即...
令则
即
所以此时当时,面积最小,
【点睛】本题计算量较大,属于弦长问题;第一问直接由椭圆的定义可得;第二问需要分类讨论斜率不存在,等于零,不等于零三种情况,再由弦长公式得到面积的表达式,最后得出结果.
20.设是等比数列的公比大于,其前项和为,是等差数列,已知,,,.
(1)求,的通项公式
(2)设,求 ;
(3)设,数列的前项和为,求.
【答案】(1),
(2)
(3)
【分析】(1)利用等差和等比数列的通项公式求解;
(2)利用错位相减法求和;
(3)利用裂项相消法求和.
【详解】(1)设的公比为,
因为,所以,即,解得或(舍),
所以,
设的公差为,
因为,,所以,,
所以,解得,所以.
(2)由(1)可得,,
所以,
,
所以,
所以.
(3),
所以
.
21.已知函数,其中.
(1)当时,求证:在上单调递减;
(2)若有两个不相等的实数根.
(ⅰ)求实数的取值范围;
(ⅱ)求证:.
【答案】(1)证明见详解
(2)(i),(ii)证明见详解
【分析】(1)当时,利用导数可证明函数单调性;
(2)(i)方程有两个不等的实数根,即有两个不等的实数根,令,利用导数研究单调性,求出最值可得解;
(ii)要证,即证,又,,即证,可得,
令,即证,构造函数,利用导数可证明.
【详解】(1)当时,,,令,,
令,得,,得,
所以函数在上单调递增,在上单调递减,
,即,
所以函数在上单调递减.
(2)(i)有两个不相等的实数根,,即方程有两个不相等的实数根,,
令,,
,当时,,即函数在上单调递减,函数至多一个零点,不合题意;
当时,,,,,
所以函数在上单调递增,在上单调递减,
,函数有两个零点,则,解得,
又,,不妨设,,
所以实数的取值范围为.
(ii)要证,即证,
又,,,即证,
将,两式相减可得,,
只需证,
即证,令,即证;
设函数,,则,
所以函数在上单调递增,则,即,
所以原不等式得证.
【点睛】方法点睛:本题第二问的第2小问是双变量不等式问题,利用导数解决的方法如下:
(1)变更主元法:对于题目涉及到的两个变元,,已知其中一个变元在题设给定的范围内任意变动,求另一外变元的取值范围问题,可以构造关于(或)的一元函数,利用导数判断单调性,最值求解证明.
(2)换元法转化为单变量:通过对所要证明式子结构特征的分析,做适当的变形,通过换元将双变量问题转化为单变量问题来解决,如指数型函数构造差值,对数型函数构造比值化双变量为单变量问题,从而构造函数求解;
(3)放缩法:通过巧妙的放缩变换,将给定的不等式转化为更易证明的形式,常见的放缩有加减放缩,乘除,取对数,去倒数,切线放缩等.
22.为普及法律知识,弘扬宪法精神,某校教师举行法律知识竞赛.比赛共分为两轮,即初赛和决赛,决赛通过后将代表学校参加市级比赛.在初赛中,已知甲教师晋级决赛的概率为,乙教师晋级决赛的概率为.若甲、乙能进入决赛,在决赛中甲、乙两人能胜出的概率分别为和.假设甲、乙初赛是否晋级和在决赛中能否胜出互不影响.
(1)若甲、乙有且只有一人能晋级决赛的概率为,求的值;
(2)在(1)的条件下,求甲、乙两人中有且只有一人能参加市级比赛的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据独立事件概率乘法公式可分别计算甲、乙赢得比赛的概率,可得到结论;
(2)根据独立事件概率公式可求得结果.
【详解】(1)设事件表示“甲在初赛中晋级”,事件表示“乙在初赛中晋级”,
由题意可知,,
解得.
(2)设事件为“甲、乙两人中有且只有一人能参加市级比赛”,为“甲能参加市级比赛”,为“乙能参加市级比赛”,
则,
,
所以.
2023-2024学年江西省上饶市广丰中学高二上学期12月月考数学试题含答案: 这是一份2023-2024学年江西省上饶市广丰中学高二上学期12月月考数学试题含答案,共20页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,证明题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2023-2024学年江西省上饶市广丰一中高二上学期12月月考数学试题含答案: 这是一份2023-2024学年江西省上饶市广丰一中高二上学期12月月考数学试题含答案,共18页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题,问答题,证明题,应用题等内容,欢迎下载使用。
2023-2024学年江西省上饶市广丰中学高一上学期12月月考数学试题含答案: 这是一份2023-2024学年江西省上饶市广丰中学高一上学期12月月考数学试题含答案,共14页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题,应用题,证明题等内容,欢迎下载使用。