2024届内蒙古自治区通辽市科尔沁左翼中旗实验高级中学高三上学期12月月考数学（文）试题含答案

这是一份2024届内蒙古自治区通辽市科尔沁左翼中旗实验高级中学高三上学期12月月考数学（文）试题含答案，共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】根据复数求模运算公式计算即可.
【详解】因为，
所以.
故选：D
2．已知等比数列满足，公比，则（ ）
A．32B．64C．128D．256
【答案】B
【分析】根据等比数列通项公式计算可得.
【详解】因为且，
所以.
故选：B
3．已知等比数列的前项和为，则（ ）
A．18B．54C．128D．192
【答案】D
【分析】根据等比数列的定义结合求和定义，可得答案.
【详解】设等比数列的公比为，则，解得．
．
故选：D.
4．若，则下列正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】A选项，由不等式的性质可得；BCD可举出反例
【详解】A选项，由，两边同时减去c，有，故选项A正确；
B选项，，时，不成立，排除B选项；
C选项，当时，由得，排除C选项；
D选项，，时，不成立，排除D选项.
故选：A.
5．已知实数满足约束条件则的最大值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【分析】作出可行域，利用直线纵截距即可求解.
【详解】如图作出可行域：

令，即，
当直线经过点时，纵截距最小，最大，
此时，
即的最大值为1.
故选：D
6．已知，，，则的最小值为（ ）
A．B．6C．D．
【答案】C
【分析】根据题意利用基本不等式运算求解.
【详解】因为，，，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：C.
7．若双曲线C：的焦距长为8，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用双曲线的性质计算即可.
【详解】由题意可知，即，
令.
故选：D
8．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解出集合，利用交集的定义可求得集合.
【详解】因为或，且，
故.
故选：D.
9．已知，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据指数函数的单调性和中间值比较出大小关系.
【详解】因为在R上单调递减，，
所以，故，
，故.
故选：C
10．曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】应用导数的几何意义求解即可.
【详解】因为，所以，即切点坐标为，由，所以，所以在点处的切线方程为，即.
故选：B
11．计算的值（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用两角差的余弦公式计算可得.
【详解】.
故选：C．
12．已知向量，，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平面共线向量的坐标表示可得，结合二倍角的正切公式计算即可求解.
【详解】由题意知，，
所以，得，
所以.
故选：A.
13．在中，已知，则角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用余弦定理的推论即可求解.
【详解】由及余弦定理的推论，得，
因为，
所以.
故选：B.
14．已知向量，，，若，则（ ）
A．3B．-1C．2D．4
【答案】A
【分析】运用共线向量的坐标表达式即得.
【详解】由，，又由，可得：，解得.
故选：A.
15．已知向量满足，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据向量的模长可得，进而由夹角公式即可求解.
【详解】由得，
将代入可得，
所以，所以，
由于，所以，
故选：B
二、填空题
16．已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则 .
【答案】1
【分析】根据离心率求出，进而得到.
【详解】由题意得，，解得，
故.
故答案为：1
17．的解集为
【答案】
【分析】利用移项, 通分, 转化整式不等式求解即可.
【详解】由, 可得, 即,
所以,
解得,
所以原不等式的解集为.
故答案为: .
18．年意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引人“兔子数列”，又称斐波那契数列，即该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用若此数列各项被除后的余数构成一新数列，则数列的前项的和为 .
【答案】
【分析】根据题意分析可得数列是周期为的数列，结合周期性分析运算.
【详解】由数列，，，，，，，，，，各项除以的余数，
可得数列为，，，，，，，，，，，，，，1，，
所以数列是周期为的数列，
一个周期中八项和为，
又因为，
所以数列的前项的和.
故答案为：.
19．已知向量满足，的夹角为，则 .
【答案】
【分析】根据向量的模长公式直接代入求解即可.
【详解】，
故答案为：.
20．函数，则 .
【答案】
【分析】先计算，从而可求解.
【详解】，所以.
故答案为：
三、解答题
21．已知函数.
(1)求的单调区间与极值；
(2)求在区间上的最大值与最小值.
【答案】(1)答案见解析；
(2)最大值为54，最小值为.
【分析】（1）利用导数研究的单调性，并求出极值即可；
（2）根据（1）结果，比较区间内端点值、极值大小，即可得最值.
【详解】（1）由题设，令，得或，
当时，即，解得或，单调递增区间为和.
当时，即，解得，单调递减区间为.
函数的极大值为，极小值为.
（2）由，，，则
且在区间上连续，函数在区间内的最大值为54，最小值为.
22．已知函数.
(1)求函数的最小正周期和值域；
(2)若，求函数的单调递增区间.
【答案】(1)最小正周期为，值域为
(2)，
【分析】（1）利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）因为，
故的最小正周期为，值域为.
（2）令，解得.
又，则的单调递增区间为，.
23．在中，角、、的对边分别为、、，.
(1)求角的大小；
(2)若，，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理可得出的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用平面向量数量积的定义可求得的值，然后利用余弦定理可求得的值.
【详解】（1）解：因为，由正弦定理可得，
因为、，则，所以，，则，
故.
（2）解：由平面向量数量积的定义可得，可得，
由余弦定理可得，
解得.
24．记等差数列的前项和为，已知，且．
(1)求和；
(2)设，求数列前项和．
【答案】(1)；；
(2)．
【分析】（1）利用等差数列性质求出通项公式和前项和；
（2）利用裂项相消法求和.
【详解】（1）设的公差为，因为，所以，
又，所以，解得，
所以，
．
（2），
所以
．
25．已知椭圆的短半轴为3，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过的直线交椭圆于两点，且为的中点，求弦的长度.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，列出方程组求得的值，即可求解；
（2）设，利用“点差法”求得，得到直线的方程，联立方程组，得到，结合弦长公式，即可求解.
【详解】（1）解：由椭圆 的短半轴为，离心率为，
可得且，即，
因为，可得，解得，所以，
所以椭圆的方程为.
（2）解：设，因为为的中点，可得，
则 ，两式相减得，
即，即，
所以直线的方程为，即，
联立方程组，整理得，可得，
则.

26．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)过点作直线l的平行线交曲线C于M，N两点（M在x轴上方），求的值．
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）根据参数方程与普通方程的关系以及极坐标方程与直角坐标方程的互化关系求解；
（2）利用直线参数方程的几何意义求解.
【详解】（1）将中的参数t消去，得曲线C的普通方程为．
将代入，
得直线l的直角坐标方程为．
（2）易知直线l的参数方程为（m为参数），
代入，得，
设M对应的参数为，N对应的参数为，
则，且，，
所以．