2024届四川省绵阳市南山中学实验学校高三上学期12月月考数学试题含答案

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命题人：王博 审题人：姚尊培
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，答题卡收回.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D. 或
2. 设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=（ ）
A. B.
C. D. 2
3. 设为单位向量，且，则向量夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，或，则是 （ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 执行下面的程序框图，输出的（ ）

A. 21B. 34C. 55D. 89
6 已知，则（ ）
A. B. C. D.
7. 设e是椭圆的离心率，且e＝ ，则实数k的取值是( )
A. B. C. 或D. 或
8. 直线与曲线（m，n为非零实数）在同一平面直角坐标系中的示意图可以是（ ）
A. B.
C. D.
9. 已知直线过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，与抛物线的准线交于C点，若，则等于（ ）
A. 2B. 3C. D.
10. 已知两点，，以及圆C: ，若圆C上存在点P，满足，则r的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作一条直线与双曲线右支交于两点，坐标原点为，若，，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
12 已知，则（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知直线，，若，则实数_______.
14. 设等比数列的前项和为，若，则______.
15. 若椭圆的弦恰好被点平分，则的直线方程为____________.
16. 已知抛物线，其焦点为点，点是拋物线上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为___________.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17—21题为必考题，每个考生都必须作答；22—23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）在中，分别是角的对边，若，，且的面积为，求外接圆的半径.
18. 已知数列的前项和为，且
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和
19. 已知线段的端点为，端点在圆上运动，是线段的中点.
（1）求点的轨迹方程；
（2）记（1）中所求轨迹为曲线，过定点的直线与曲线交于，两点，曲线的中心记为点，求当面积最大时直线的方程.
20. 已知椭圆的左、右焦点为，，若上任意一点到两焦点的距离之和为，且点在上.
（1）求椭圆方程；
（2）在（1）的条件下，若点，在上，且(为坐标原点)，分别延长，交于，两点，则四边形的面积是否为定值？若为定值，求四边形的面积，若不为定值，请说明理由.
21. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在上单调递增，求a取值范围.
（二）选考题：共10分.请在22—23题中任选一题作答，若多做，则按所做第一题计分.
22. 在平面直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数，），曲线的参数方程为（β为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）若点，直线与曲线所在抛物线交于A，B两点，且，求直线的普通方程．
23. 已知函数.
（1）求不等式的解集；