2024届四川省内江市第二中学高三上学期12月月考数学（理）试题含答案

这是一份2024届四川省内江市第二中学高三上学期12月月考数学（理）试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知，，则=（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】利用一元二次不等式的解法，先求出集合，再根据交集的定义即可求解.
【详解】因为集合，又集合，
所以，
故选：D.
2．复数,则的虚部为
A．B．iC．-1D．1
【答案】D
【解析】利用复数代数形式的除法运算化简，求出z，则答案可求．
【详解】依题意，，，复数的虚部为1，
故选D.
【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
3．已知命题：在中，若，则；命题：向量与向量相等的充要条件是且，下列四个命题是真命题的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】根据函数的单调性，可判定命题为真命题，再根据共线向量的定义，可判定命题为假命题，得到命题是真命题，结合复合命题的判定方法，即可求解.
【详解】由命题：在中，若，根据函数在区间上为单调递减函数，可得，所以命题为真命题；
又由命题，，可得与方向可能相反，与不一定相等，所以命题为假命题，则命题是真命题，所以是真命题，，，均为假命题.
故选：A.
4．函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】先由函数的奇偶性排除部分选项，再由时，用导数法研究其单调性.
【详解】函数的定义域为关于原点对称，
又
所以是奇函数，排除BC
当时，，
则在上递增，
又 ，
所以函数 在内存在零点，
且当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，排除D
故选：A
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
5．若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线垂直，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出曲线在点处的切线的斜率为，利用斜率成积等于-1，求出曲线y=ln x在点P处的切线的斜率，利用导数即可求出切点的横坐标，代入可解.
【详解】的导数为，所以曲线在点处的切线的斜率为.
因为曲线在点处的切线与曲线y=ln x在点P处的切线垂直，
所以曲线y=ln x在点P处的切线的斜率.
而y=ln x的导数，所以切点的横坐标为，所以切点.
故选：D
6．已知变量X，Y之间的线性回归方程Y=-0.7X+10.3，且变量X，Y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（ ）
A．变量X，Y之间呈负相关关系
B．m=4
C．可以预测，当X=20时，Y=-3.7
D．该回归直线必过点(9,4)
【答案】B
【分析】A选项，由线性回归方程可判断正负相关性；BD选项，利用线性回归方程过点可判断选项正误；C选项，将X=20代入回归方程可判断选项正误.
【详解】A选项，由回归方程可知变量X，Y之间呈负相关关系，故A正确；
BD选项，由题可知，因线性回归方程过点，则，则回归直线必过点(9,4)，则，故B错误，D正确.
C选项，将X=20代入回归方程可得Y=-3.7，故C正确.
故选：B
7．已知菱形的对角线相交于点，点为的中点，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意,以对角线交点为坐标原点，对角线所在直线为轴建立直角坐标系,利用坐标法求解.
【详解】解：如图，以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
由，，
所以，，，，
所以，
所以.
故选：B
【点睛】本题考查向量的数量积运算，解题的关键在于根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标法求解，考查运算求解能力，是中档题.
8．下列命题中错误的命题是（ ）
A．设等比数列的前项和为，则“”是“”的充分必要条件；
B．对于命题，使得，则，都有；
C．设函数，则函数有三个不同的零点；
D．若随机变量，则；
【答案】C
【分析】根据等比数列前n项和公式及充要条件的定义判断A，根据存在量词命题的否定为为全称量词命题判断B，根据函数单调性结合零点定义判断C，根据正态分布的性质判断D.
【详解】对于A，当公比时，由得，即成立；
当公比时，由于，再由得，
即成立；所以“”是“”的充分条件；
当公比时，由成立得，即成立；
当公比时，由成立得，又，
所以；所以“”是“”的必要条件；
综上，“”是“”的充分必要条件，正确；
对于B，根据存在量词命题的否定为全称量词命题知，命题，使得的否定为
，都有，正确；
对于C，因为，所以，
所以函数在R上单调递增，又，所以函数只有一个零点，错误；
对于D，若随机变量，对称轴为，
根据正态分布的对称性知，，正确.
故选：C.
9．如图所示程序框图输出的结果是，则判断框内应填的条件是
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】第一次运行，，满足条件，
第二次运行，，满足条件，，
第三次运行，，满足条件，，
此时不满足条件，输出，
故条件应为，8，9，10满足，不满足，
故条件为 ，
故选A．
【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据运行条件是解决本题的关键．
10．某班微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名同学同时抢4个红包，每人最多抢一个红包，且红包全被抢光，4个红包中有两个2元，两个5元(红包中金额相同视为相同的红包)，则甲、乙两人同抢到红包的情况有
A．36种B．24种C．18种D．9种
【答案】C
【分析】分三种情况：（1）都抢到2元的红包（2）都抢到5元的红包（3）一个抢到2元，一个抢到5元，由分类计数原理求得总数．
【详解】甲、乙两人都抢到红包一共有三种情况：（1）都抢到2元的红包，有种；（2）都抢到5元的红包，有种；（3）一个抢到2元，一个抢到5元，有种，故总共有18种．故选C．
【点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，是根据得红包情况进行分类．
11．数列满足，数列的前项和为，若，则使不等式成立的的最小值为（ ）
A．11B．12C．13D．14
【答案】C
【分析】由知为等差数列，即可求出，再代入知，再利用裂项相消求出，解不等式，即可得出答案．
【详解】因为，
由等差中项的概念可知为等差数列，
又其公差为，，
所以，
代入得
解得即n的最小值为13
故选:C
12．若则下列结论正确的有（ ）
① ② ③ ④
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解析】由对数定义求出，再根据不等式的性质判断．作差并利用二次函数性质得出结论．
【详解】由题意得，，
，而，∴，①正确；
，，，
∴，②正确；
，
又，
∴，③正确；
，
又，即，，
∴，∴，④正确，
故选：D．
【点睛】关键点点睛：本题考查对数与指数式的互化，对数函数的性质，考查作差法证明不等式，证明不等式的方法很多，其中作差不进最基本的方法，作差后可以利用不等式的性质，利用函数的性质进行判断证明．
二、填空题
13．已知向量，，且与垂直，则实数 .
【答案】-1
【解析】由题得化简即得解.
【详解】因为与垂直，
所以，
所以.
故答案为：.
14．若实数，满足，则的最大值为 .
【答案】6
【解析】根据，满足画出可行域，将目标函数转化为，平移直线，由直线在轴上截距最大时， 目标函数取得最大值求解.
【详解】由，满足画出可行域如图所示阴影部分：
将目标函数转化为，然后平移直线，
当直线经过点时，在轴上截距最大，
此时，目标函数取得最大值，最大值为6，
故答案为：6
15．已知，则的最大值为
【答案】
【分析】由已知求得，可得，利用同角三角函数基本关系可得，利用二次函数性质即可求解.
【详解】，
，，即
又，
利用二次函数的性质知，当时，
故答案为：
16．若函数在区间(－2，1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为
【答案】
【分析】转化函数在区间(－2，1)上恰有一个极值点，为在区间(－2，1)上有唯一的变号零点，利用二次函数根的分布，转化为，再验证端点即得解
【详解】由题意，
函数在区间(－2，1)上恰有一个极值点，即在区间(－2，1)上恰有一个变号零点
令，即在区间(－2，1)上有唯一的变号零点
根据二次函数根的分布可知：
，即
此时端点值是否成立不确定.
（1）当时，在区间(－2，1)上有唯一的变号零点，成立；
（2）当时，在区间(－2，1)上恒小于0，不成立；
综上，实数a的取值范围为
故答案为：
三、解答题
17．已知是等差数列的前项和，．
(1)求
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）基本量法求出即可求出通项公式；
（2）采用分组求和法，先求出，再用等差和等比数列求和公式求出结果.
【详解】（1）设公差为，因为，
所以，解得，
所以
（2），
，
则.
18．已知函数．
(1)判断函数在上的单调性；
(2)将函数的图象向右平移个周期后得到函数的图象，求函数在区间上的值域．
【答案】(1)在单调递增，在单调递减
(2)
【分析】（1）利用三角函数的诱导公式变形，再求其单调性即可；
（2）先做平移变换，再利用正弦函数的单调性求值域即可.
【详解】（1）原式，
令，解得，
又因为，可得函数的递增区间为，递减区间为，
所以函数在单调递增，在单调递减.
（2）因为，周期，
向右平移个周期后得到函数的图象，则，
因为，
所以
19．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.
(1)求函数的解析式；
(2)若对于任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令，则，代入的解析式，又，根据奇偶性即可求得的解析式；
（2）将原不等式恒问题转化为在R上恒成立，，分离参数，转化在上恒成立，换元，利用单调性求解函数最值即可求解.
【详解】（1）当时，，
当时，，，
又因为是定义在实数集R上的奇函数，
所以，
即当时，.
所以函数的解析式为；
（2）因为对于任意实数，不等式恒成立，
所以在R上恒成立，
即在R上恒成立，
整理得在R上恒成立，
令，因为，所以，
当且仅当即时，等号成立，
从而在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，，则，
因为函数在单调递减，可得的最大值为，
所以，所以.
20．近年来，我国大力发展新能源汽车工业，新能源汽车（含电动汽车）销量已跃居全球首位某电动汽车厂新开发了一款电动汽车，并对该电动汽车的电池使用情况进行了测试，其中剩余电量y与行驶时间x（单位：小时）的9组测试数据如下：
如果剩余电量不足1，则电池需要充电.
（1）从这9组数据中随机选出7组，用X表示需要充电的数据组数，求随机变量X的分布列；
（2）根据电池放电的特点，剩余电量y与时间x满足经验关系式：.设，利用表格中的9组数据求x与的相关系数r，并判断是否有99%的把握认为x与之间具有线性相关关系.当时，可认为有99%的把握认为两个变量具有线性相关关系，否则不能认为；
（3）求y与x的经验关系式.（结果保留两位小数）
参考数据：，，，，.
这9组测试数据的一些相关量见下表：
相关公式：对于样本.其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，相关系数.
【答案】（1）答案见解析；（2），有99%的把握认为x与之间具有线性相关关系；（3）.
【分析】（1）X的所有可能取值为1，2，3,求出相应的概率即可列出分布列；
（2）利用题目中给的数据和公式求出相关系数r，与比较即可判断；
（3）对两边取对数得，设，又，则，，先求出，再求出所给的方程为即可.
【详解】（1）9组数据中需要充电的数据组数为3组，X的所有可能取值为1，2，3.
，，，
所以X的分布列为
（2）由题意知，
，有99%的把握认为x与之间具有线性相关关系.
（3）对两边取对数得，
设，又，则，
，
易知，.
，而，
故，
所求y与x的经验关系式为，即.
【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列，考查相关系数的应用，考查非线性回归方程的求法，属于中档题.
21．已知函数.
(1)若函数在上有唯一零点，求a的取值范围；
(2)当时，求证：对任意的，都有.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)求导，根据导数的正负确定函数在上的单调性，再根据单调性列出不等式求解即可；
(2)将问题转化为证明在上成立，所以只需根据(1)的结论，讨论函数在上的单调性，从而求出函数，r的最大值即可.
【详解】（1）解：函数，，
则，
①当时，在上恒成立，
所以函数在上单调递增，
又，
所以函数在上无零点，
②当时，易知函数在上单调递增，在上单调递减，
要使函数在上有唯一零点，
则，即，
∴，
③当时，在上恒成立，
所以函数在上单调递减，
又，，
所以函数在上有唯一零点，
综上所述，实数a的取值范围为；
（2）证明：由（1）得函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，极小值，极大值，，
∴当时，，
令函数，
则，
∴函数在上单调递减，
∴；
令函数，
显然函数在上单调递减，
∴，
综上所述，当时，对任意的，都有.
22．在极坐标系中，为极点，如图所示，已知以为直径作圆.
(1)求圆的极坐标方程 ；
(2)若为圆左上半圆弧的三等分点，求点的极坐标．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）设点为圆上任意一点，利用中三角函数可建立关系，即可得解；
（2）由三等分点确定极角，代入圆的极坐标方程求解即可.
【详解】（1）设点为圆上任意一点，则，
在中，.
∴ 圆的极坐标方程为.
（2）圆左上半圆弧的三等分点对应的极角分别，
代入圆的极坐标方程中，
∴ 圆左上半圆弧的三等分点分别为
23．已知，函数.
（1）若，，求不等式的解集；
（2）求证：.
【答案】（1）或；（2）证明见解析.
【解析】（1）代入、的值，解此不等式即可得解；
（2）利用分析法可得知：要证不等式成立，即证，利用绝对值三角不等式及两次基本不等式证明即可.
【详解】（1）依题意，，
则或，
解得或，故不等式的解集为或.
（2）依题意，，
因为，
，故，
故，当且仅当，时等号成立.
【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和基本不等式证明不等式，考查了转化思想，属中档题.
X
6
8
10
12
Y
6
m
3
2
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y
2.77
2
1.92
1.36
1.12
1.09
0.74
0.6
0.53
合计
45
12.21
1.55
60
4.38
2.43
合计
-15.55
-11.88
X
1
2
3
P