2024届新疆乌鲁木齐市第六十一中学高三上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2024届新疆乌鲁木齐市第六十一中学高三上学期12月月考数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，问答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若复数在复平面上对应的点在第二象限，则实数的取值范围为
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用复数的运算法则，求出复数，结合复数的几何意义求出结果
【详解】 ，
复数在复平面上对应的点在第二象限，
则，，
解得.
故选.
【点睛】本题主要考查了复数的概念和几何意义，熟练运用复数的运算法则求出结果，属于基础题．
2．已知集合若且，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先求得集合A，然后利用集合的包含关系得到关于a的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.
【详解】由题意可得A={-2,1},由于集合A是集合B的真子集，所以解得，选A.
【点睛】本题主要考查集合的表示方法，由集合的关系求解参数的取值范围等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3．某校的书法绘画，乐器演奏，武术爱好三个兴趣小组的人数分别为600，400，300，若用分层抽样方法抽取n名学生参加某项活动，已知从武术小组中抽取了6名学生，则n的值为（ ）
A．20B．22C．23D．26
【答案】D
【解析】根据分层抽样的特点，先得到武术小组占总人数的比值，然后根据比例，得到所抽取的人数，得到答案.
【详解】因为书法绘画，乐器演奏，武术爱好三个兴趣小组的人数分别为600，400，300，
所以得到武术小组占总人数的比值为
因为武术小组中抽取了6名学生，根据分层抽样的特点可得
，解得，
故选：D.
【点睛】本题考查根据分层抽样的特点求抽取的人数，属于简单题.
4．设函数在上是偶函数，且在上单调递增，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】因为，根据函数的单调性与奇偶性即可比较大小．
【详解】因为
又因为在上是偶函数，且在上单调递增，
则在上单调递减，
所以
故选：A
5．在平面直角坐标系中，已知点，在椭圆上，且直线，的斜率之积为，则（ ）
A．1B．3C．2D．
【答案】A
【分析】因为点、在椭圆上得，直线，的斜率之积为得，两边平方化简得，代入可得答案.
【详解】因为点，在椭圆上，
所以，
因为直线，的斜率之积为，所以，
可得，化简得，
则
.
故选：A.
6．已知函数的图像在点处的切线方程，若函数满足（其中为函数的定义域），当时，恒成立，则称为函数的“转折点”.已知函数在上存在一个“转折点”，则的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意求二阶导数，再根据方程有解求结果.
【详解】由题意得：在上有解，因为所以，
故选：D.
7．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用半角公式，倍角公式，弦化切等进行化简求值.
【详解】
因为
所以分子分母同除以，可得：原式=
故选：C
8．已知等比数列的前n项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由等比数列通项公式及前n项和公式结合，可得.
又，据此可得答案.
【详解】设等比数列的公比为q，，
则.故
故选：
二、多选题
9．若一个直角三角形的两条直角边长分别为3与4，则以其直角边为旋转轴，旋转而成的空间图形的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】由题得旋转而成的空间图形是圆锥，分底面半径为3和4两种情况讨论计算得解.
【详解】解：由题得旋转而成的空间图形是圆锥，母线长为5.
若底面半径为3，则侧面积为；
若底面半径为4，则侧面积为．
故选：BC
10．已知抛物线的焦点为，抛物线上的点到点的距离是2，是抛物线的准线与轴的交点，，是抛物线上两个不同的动点，为坐标原点，则（ ）
A．B．若直线过点，则
C．若直线过点，则D．若直线过点，则
【答案】BCD
【分析】对于A，利用抛物线的定义求得抛物线的方程，然后将点的坐标代入即可求解；
对于B，设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系以及向量数量积的坐标运算即可求解；
对于C，先写出点的坐标，然后得到直线与的斜率之和为0，从而得到直线平分，再根据三角形内角平分线定理即可得解；
对于D，设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系得到，然后利用抛物线的定义及基本不等式得到，结合即可得解．
【详解】由题意得，则，故抛物线的方程为，
将代入抛物线的方程，得，解得，
所以A不正确；
设，，易知直线的斜率不为零，当直线过点时，
可设直线的方程为，与抛物线方程联立，得，
化简得：，则，，
所以，所以，
所以B正确；
易知，则由选项B得
，
所以直线平分，所以，
选项C正确；
因为直线过点，且斜率不为零，
所以设直线的方程为，与抛物线方程联立，
易得，所以．
因为，，且，
所以，又，所以，所以D正确．
故选：BCD．
11．命题是真命题的是（ ）
A．方程的有一个正实根，一个负实根，则；
B．函数的定义域是，则函数的定义域为；
C．一条曲线和直线的公共点个数是，则的值不可能是1；
D．若则.
【答案】ABC
【分析】A，运用判别式大于0且两根之积小于0，即可求出的范围；
B，由函数的定义域的概念，令，求出的范围，即为所求函数的定义域；
C，画出曲线，直线，通过观察，即可得到交点个数；
D，根据不等式的性质即可判断.
【详解】解：对于A，若方程有一个正实根，一个负实根
则，解得，故A对；
对于B，函数的定义域是，，令，
则，则函数的定义域为，，故B对；
对于C，画出曲线，直线，
则曲线和直线的公共点个数是，，2，3，4，
则的值不可能是1，故C对；
对于D，若，
则，所以，故D错.
故选：ABC.
12．某校高三学生参加某门学科的标准化选拔考试，成绩采用等级制.根据模拟成绩，考生小明得A等和D等的概率都为，得B等和C等的概率都为，为了进一步分析的需要，学校将等级转换成分数，A，B，C，D分别记为90分、80分、60分、50分.若用模拟成绩来估计选拔考试的情况，设小明选拔考试的成绩等级转换为分数X，则（ ）
A．小明得B等或C等的概率为B．
C．D．
【答案】BC
【分析】由条件，根据概率加法公式判断A，B，确定随机变量的分布列，根据期望公式和方差公式求，由此判断CD.
【详解】因为小明得A等和D等的概率都为，得B等和C等的概率都为，
所以小明得B等或C等的概率为，A错误；
事件相当于事件小明得等或等，
所以，B正确；
由已知可得随机变量的分布列如下；
所以，C正确；
，D错误；
故选：BC.
三、填空题
13．向量、满足，，且，则向量在上的投影向量为 .
【答案】
【分析】根据数量积的运算律及定义求出向量、的夹角的余弦值，再根据向量在上的投影为求出投影，最后根据计算可得.
【详解】解：因为，，且，
所以，
所以，
所以向量在上的投影为，
所以向量在上的投影向量为.
故答案为：.
14．已知正四棱锥的底面边长为2，现用一平行于正四棱锥底面的平面去截这个棱锥，截得棱台的上、下底面的面积之比为1：4，若截去的小棱锥的侧棱长为2，则此棱台的表面积为 .
【答案】
【解析】根据棱台的上、下底面的面积之比为1：4，利用相似比得到棱台的上、下底面的边长之比为1：2，再根据截去的小棱锥的侧棱长为2和正四棱锥的底面边长为2，得到棱台的底面边长和斜高，代入公式求解.
【详解】如图所示：
因为棱台的上、下底面的面积之比为1：4，
所以棱台的上、下底面的边长之比为1：2，
因为截去的小棱锥的侧棱长为2，
所以正四棱锥的侧棱长为4，
又因为正四棱锥的底面边长为2，即，
所以，
作，则，
，
所以此棱台的表面积为，
故答案为：
15．已知圆截直线所得弦的长度为，则实数的值为 .
【答案】-3或-5
【分析】先用配方法求出圆的半径和圆心坐标，根据垂径定理和勾股定理求出圆心到直线 的距离，再根据距离公式求解.
【详解】圆 的标准方程为： ，所以圆心为 ，半径 ；
因为弦长为 ，所以圆心到直线的距离 ，
由点到直线距离公式 或 ；
故答案为： 或 .
16．锐角的内角的对边分别是，，，则= .
【答案】
【解析】因为根据余弦定理可得，结合已知，即可求得答案.
【详解】
根据余弦定理可得：
又，
，
可得
即：
由正弦定理知，
又，
，
根据是锐角
.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了根据正弦定理和余弦定理解三角形，解题关键是灵活使用正弦定理和余弦定理和边角互换的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
四、问答题
17．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.
(1)求；
(2)若，，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式或者直接展开计算，再根据倍角公式化简即可；
（2）利用正弦定理进行角化边，再根据余弦定理求出c边，最后利用正弦定理的三角形面积公式计算即可.
【详解】（1），
（或
，∴，
∵，∴，∴或，
解得或，∵，∴，∴.
（2）由（1）知，，
由正弦定理得，
由余弦定理得，即，
整理得，
由得，
∴.
18．已知等差数列的前项和满足.
（1）求的通项公式；
（2）设求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）直接运用基本量解方程即可；
（2）运用错位相减法即可求和.
【详解】（1）设等差数列的公差为，首项为，∵
∴即，解得
∴的通项公式为
（2）由（Ⅰ）得
∴①
①式两边同乘以，得②
①—②得
∴
【点睛】本题的核心是考查错位相减求和.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．
19．为了解某市家庭用电量的情况，统计部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：），将全部数据按区间，，…，分成8组，得到如下的频率分布直方图：

(1)求图中a的值；并估计这200户居民月用电量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使75%的居民缴费在第一档，20%的居民缴费在第二档，其余5%的居民缴费在第三档，试基于统计数据确定各档月均用电量的范围（计算百分位数时，结果四舍五入取整数）.
【答案】(1)，平均值为
(2)第一档的范围是，第二档的范围是，第三档的范围是.
【分析】（1）根据频率和为1列出方程解出，再根据频率分布直方图计算平均值即可；
（2）根据百分位数定义计算即可.
【详解】（1）由直方图可得，样本落在,的频率分别为,,,,,,,，由，解得，
则样本落在,的频率分别为0.05,0.1,0.2,0.3,0.15,0.1,0.05,0.05,所以月用电量的平均值为
，
（2）为了使的居民缴费在第一档，需要确定月用电量的分位数；
的居民缴费在第二档，还需要确定月用电量的分位数.
因为，
则使的居民缴费在第一档，月用电量的分位数位于区间内，
于是.
又,
所以对应的用电量为350.
所以第一档的范围是，第二档的范围是，第三档的范围是.
五、证明题
20．如图，在多面体中，四边形是矩形，
.
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）利用正方形的性质及线面垂直的判定定理，结合三角形全等的性质及线面垂直的性质定理即可求解;
（2）根据（1）的结论，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出直线的方向向量及平面的法向量，利用向量的夹角公式，结合向量夹角与线面角的关系即可求解.
【详解】（1）取的中点，连接如图所示
则．
因为，所以，
所以四边形是正方形，．
因为四边形是矩形，所以．
因为，且平面，
所以平面，又平面，所以，所以．
因为，所以．
因为，所以，所以．
又，且平面，所以平面，
又平面，所以．
（2）以O为坐标原点，OA，OB，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图所示，
则．
所以，
由，得，所以，
所以．
设平面MBD的法向量，则
，即，令，则，，
所以．
设直线与平面所成的角为，则
所以．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
21．设F1､F2分别是椭圆的左､右焦点，E是椭圆C的上顶点，是等边三角形，短轴长为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知A，B分别为椭圆左右顶点，位于轴两侧的P，Q分别是椭圆C和圆上的两个动点，且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与轴交于M，N，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）由短轴长为，得，由是等边三角形，得，从而求出，，从而求出椭圆C的方程；
（2）设点坐标，点坐标，得出，直线方程，进而得出、坐标，写出，，由分别在椭圆和圆上，得，，从而证得，即可得证.
【详解】解：（1）是等边三角形，
，
，
，
椭圆的方程为；
（2）设点坐标，点坐标，
直线方程为，
坐标为，
直线方程为，
坐标为，
，，
，
分别在椭圆和圆上，
，，
，
.
六、问答题
22．已知函数(为自然对数的底数).
(Ⅰ)求函数的单调区间；
(Ⅱ)若，，试求函数极小值的最大值.
【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是； （2）1.
【分析】（I）计算导函数，构造函数，判定单调性，得到的单调性，即可．（II）得到的解析式，结合导函数判定单调性，得到极小值，构造函数，结合导函数，计算该函数的极值，即可．
【详解】(Ⅰ)易知，且.
令，则，
∴函数在上单调递增，且.
可知，当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
∴函数的单调递减区间是，单调递增区间是.
(Ⅱ)∵，∴.
由(Ⅰ)知，在上单调递增，
当时，；当时，，则有唯一解.
可知，当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
∴函数在处取得极小值，且满足.
∴.
令，则.
可知，当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
∴.
∴函数极小值的最大值为1.
【点睛】本道题考查了利用导函数判定原函数的单调性，考查了利用导函数计算极值，关键懂得构造新函数作为辅助条件，即可，难度偏难．