2024届黑龙江省牡丹江市第三高级中学高三上学期第三次月考数学试题含答案

这是一份2024届黑龙江省牡丹江市第三高级中学高三上学期第三次月考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，问答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】求出集合，与集合取并集即得.
【详解】解不等式，得，
又，
.
故选：.
【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.
2．若（其中为虚数单位），则等于（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】利用复数的除法运算进行化简，然后再求复数的模长.
【详解】，∴，
故选：C.
【点睛】本题考查复数的运算与复数模的概念.
3．在中，，点在线段上(不与,点重合)，，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，得到，设，化简得到，结合，列出方程组，即可求解.
【详解】如图所示，设，因为，可得，
因为三点共线，设，
可得，
又因为，
可得，解得.
故选：C.
4．已知是各项均为正数的等比数列的前项和，，，则（ ）
A．31B．63C．16D．127
【答案】A
【分析】由等比数列的性质求出，由通项公式求出，从而求得．
【详解】设公比为
因为，所以，即
，
所以．
故选：A．
5．生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象.若某入侵物种的个体平均繁殖数量为，一年四季均可繁殖，繁殖间隔为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型（为常数）来描述该物种累计繁殖数量与入侵时间（单位：天）之间的对应关系，且，在物种入侵初期，基于现有数据得出，.据此估计该物种累计繁殖数量比初始累计繁殖数量增加倍所需要的时间为（，）（ ）
A．天B．天C．天D．天
【答案】C
【分析】根据已知数据可求得，设初始时间为，累计繁殖数量增加倍后的时间为，利用，结合对数运算法则可求得结果.
【详解】，，，，解得：.
设初始时间为，初始累计繁殖数量为，累计繁殖数量增加倍后的时间为，
则（天）.
故选：C.
6．在边长为的菱形中，为的中点，则的值为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】选择向量为基底，根据向量数量积的定义求解即可．
【详解】选择向量为基底，则，
所以
．
故选A．
【点睛】求向量数量积的两种方法：一是根据数量积的定义求解，此时需要先选择基底，将所有向量都用该基底表示，然后按照定义求解；二是根据向量的坐标进行计算，此时需要建立直角坐标系，进而得到向量的坐标，最后转化为数的运算问题．
7．在展开式中， 二项式系数的最大值为 ，含项的系数为，则
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】在展开式中，二项式系数的最大值为 a，∴a==20．
展开式中的通项公式：Tr+1=，令6﹣r=5，可得r=1．
∴含x5项的系数为b==﹣12，
则．
故选B．
8．设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据指数运算与对数运算得，，，再根据即可判断，进而得答案.
【详解】因为，
，，
所以，即
所以
故选：A
【点睛】本题考查指数运算与对数运算比较大小，考查运算求解能力，化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于根据指数运算与对数运算化简得，，，再作商法比较大小即可.
二、多选题
9．记为等差数列的前n项和若，，则下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】首先利用等差数列通项公式及前n项和公式得，求解首项和公差d，然后分别写出数列的通项公式和前n项和公式．
【详解】设等差数列的公差为d，
因为，，
即，所以故A正确，B错误．
则数列的通项公式为，故C正确．
前n项和为故D正确．
故选：ACD．
10．已知向量，是单位向量，且，则以下结论正确的是（ ）．
A．若，则B．
C．向量，的夹角为D．向量在向量上的投影向量为
【答案】BD
【分析】举出特例可判断A；根据向量的模的计算可判断B；根据向量的夹角的计算可判断C；根据投影向量的含义求得向量在向量上的投影向量判断D.
【详解】对于A，若，则时，也有，故A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，而，故，C错误；
对于D，向量在向量上的投影向量为，D正确，
故选：BD
11．已知函数(为常数，)的图象有两条相邻的对称轴和，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．的最大值为B．的图象关于直线对称
C．在上单调递增D．的图象关于点对称
【答案】BC
【解析】根据函数的最小正周期，得，进一步求出，化简得，针对各选项分别讨论从而得出结论.
【详解】由已知，函数的最小正周期，解得.
因为函数的图象关于直线对称，
所以，即，解得，
所以，
显然，函数的最大值为2，故A项错误；
当时，，
而函数的图象关于直线对称，故B项正确；
当时，，
当时，，
而函数在区间上单调递增，故C项正确；
当时，，
而函数的图象不关于点对称，故D项错误.
故选：BC.
【点睛】方法点睛：正弦型函数的图象的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此选择题中在判断直线或点是否为函数图象的对称轴或对称中心时，可通过检验的值进行判断，即是函数图象的对称轴方程；点是函数图象的对称中心.
12．为了加强疫情防控，某中学要求学生在校时每天都要进行体温检测．某班级体温检测员对一周内甲乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．乙同学体温的极差为
B．甲同学体温的中位数与平均数相等
C．乙同学体温的方差比甲同学体温的方差小
D．甲同学体温的第60百分位数为
【答案】BCD
【分析】根据图中数据，依次分析各选项即可得答案.
【详解】由乙同学的体温折线图可知体温的极差为：，
故A错误；
甲同学的体温由低到高分别为：
，
所以中位数为：，
平均数为：
，
故选项B正确，
根据图中数据，甲同学的体温平均数为，与乙同学的体温平均数为，
但甲同学的体温极差为，大于乙同学的体温极差，
故乙同学的体温比甲同学的体温稳定，C选项正确；
对于D选项，由，在B选项中甲同学的体温从小到大排列知，
甲同学体温的第60百分位数为，
故D选项正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．用线性回归模型求得甲、乙、丙组不同的数据对应的的值分别为，其中 （填甲、乙、丙中的一个）组数据的线性回归的效果最好.
【答案】乙
【分析】根据所表示的意义，可直接得出结果.
【详解】线性回归模型中越接近1，效果越好，故乙效果最好．
故答案为：乙
14．数学兴趣小组对具有线性相关的两个变量x和y进行了统计分析，得到了下表：
并由表中数据求得y关于x的回归方程为，若a，b，c成等差数列，则 ．
【答案】3
【分析】求出，结合回归方程可求得，从而得出，结合a，b，c成等差数列，即可求得答案.
【详解】由题意得，代入回归方程得，
则，所以，
又，所以，
故答案为：3
15．已知随机变量,且，若,则的最小值为 ．
【答案】
【分析】先根据正态曲线的对称性可求，结合基本不等式可求答案.
【详解】，可得正态分布曲线的对称轴为，
又，，即．
则，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：.
16．十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得 .
【答案】
【分析】由题意，结合正弦定理有，可求，又，即可求出.
【详解】由题意知：若，则，得，而
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了利用正弦定理、二倍角正弦公式、诱导公式求角的正弦值，属于中档题.
四、问答题
17．已知向量，.
（1）若∥，求的值；
（2）若，求函数的最小正周期及当时的最大值.
【答案】（1） （2）最小正周期为 ，最大值为
【分析】（1）由得，再根据二倍角的正切公式直接求解.
（2）根据平面向量的数量积以及三角函数的恒等变换，化简f（x）即可求出T，再根据三角函数的图象与性质，求出x∈[0，]时f（x）的最大值以及对应x的值．
【详解】解：（1）由得, ，
∴
∴
（2）

∴函数 的最小正周期为
当 时，
∴当，即时，.
【点睛】本题考查了共线向量的坐标运算，平面向量的数量积和三角函数的恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目．
18．在①②③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
设的内角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，_____________．
（1）求角C；
（2）若D是上的点，且平分，，，求的面积．
【答案】选择见解析；（1）；（2）．
【分析】（1）选①用正弦定理化边为角，然后由三角函数恒等变换求得角，
选②用正弦定理化角为边，再结合余弦定理可求得角；
选③用向量的数量积的定义变形，根据余弦定理化角为边，等式变形后利用余弦定理可得角；
（2）中应用正弦定理求得，，得是直角，从而求得后易得三角形面积．
【详解】解：（1）选择①：由正弦定理，，
由，
则，
即，
因为，，所以，
所以．
选择②：
可得
所以，
解得．
∵，∴
选择③：因为，
所以，即，
所以，所以．
因为，所以．
（2）在中，由正弦定理，得，
即，解得，
因为，所以，，
则，
因为平分，所以，
，
则
所以的面积为．
【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，解题关键是用正弦定理、余弦定理进行边角转换，化边为角或者化角为边后进行变换求解．
19．某中学高二年级参加市数学联考，其中甲､乙两个班级优秀率分别为和，现在先从甲､乙两个班中选取一个班级，然后从选取的班级中再选出一名同学.选取甲､乙两个班级的规则如下：纸箱中有大小和质地完全相同的个白球､个黑球，从中摸出1个球，摸到白球就选甲班，摸到黑球就选乙班.
(1)分别求出选取甲班､乙班的概率；
(2)求选出的这名同学数学成绩优秀的概率.
【答案】(1)甲、乙两个班的概率分别为和.
(2).
【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算可得；
（2）根据全概率公式计算可得.
【详解】（1）记事件“选取甲班”，事件“选取乙班”
则，
故选取甲、乙两个班的概率分别为和.
（2）由（1）可知“这名同学来自甲班”，“这名同学来自乙班”，
“这名同学数学成绩优秀”，
则，且与互斥，根据题意得，，，
，，
由全概率公式得
因此，选出的这名同学数学成绩优秀的概率为.
20．已知正项数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由已知，结合的关系可得、，根据等差数列的定义即可写出通项公式.
（2）由（1）得，应用裂项相消法求前项和.
【详解】（1）当时，且，所以.
当时，，
所以，
所以，又，
所以，即是首项为1，公差为3的等差数列，故.
（2）因为，
所以.
21．2022年6月17日，我国第三艘航空母舰“中国人民解放军海军福建舰”下水试航，这是我国完全自主设计建造的首艘弹射型航空母舰，采用平直通长飞行甲板，配置电磁弹射和阻拦装置，满载排水量8万余吨．“福建舰”的建成，下水及试航，是新时代中国强军建设的重要成果．某校为纪念“福建舰”下水试航，增强学生的国防意识，组织了一次国防知识竞赛，共有100名学生参赛，成绩均在区间上，现将成绩制成如图所示频率分布直方图（每组均包括左端点，最后一组包括右端点）．
(1)学校计划对成绩不低于平均分的参赛学生进行奖励，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，试求受奖励的分数线的估计值；
(2)对这100名参赛学生的成绩按参赛者的性别统计，成绩不低于80分的为“良好”，低于80分的为“不良好”得到如下未填写完整的列联表．
（ⅰ）将列联表填写完整；
（ⅱ）是否有95%以上的把握认为参赛学生的成绩是否良好与性别有关？
附：．
【答案】(1)73.8
(2)（ⅰ）表格见解析；（ⅱ）没有，理由见解析.
【分析】（1）利用频率之和为1列出方程，求出，进而利用中间值求出平均值，得到受奖励的分数线的估计值为73.8；
（2）完善列联表，计算出卡方，与3.841比较得到结论.
【详解】（1）由频率分布直方图可知：，
解得．
所以平均分的估计值为，
故受奖励的分数线的估计值为73.8．
（2）（ⅰ）列联表如下表所示．
（ⅱ）由列联表得，
所以没有95%以上的把握认为参赛学生的成绩是否良好与性别有关．
五、证明题
22．，
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明；
(3)证明对于任意正整数，都有.
【答案】(1)，在上单调递增；，在上单调递减，在上单调递增.
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数分类讨论求解单调区间即可.
（2）根据的单调性得到，即可证明.
（3）当且时，有，从而得到，即可得到，再化简即可证明.
【详解】（1）的定义域为，
①若，当时，，所以在上单调递增；
②若，当时，；
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，时，在上单调递增；
时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，由（1）知在上单调递减，在上单调递增，，即证.
（3）由（2）知当且时，，
对于任意正整数，令得，
所以
.
即证：.
x
4
6
8
10
12
y
a
2
b
c
6
良好
不良好
合计
男
48
女
16
合计
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
良好
不良好
合计
男
8
40
48
女
16
36
52
合计
24
76
100