2024届广东省佛山市实验中学高三上学期10月第三次月测数学试题含答案

这是一份2024届广东省佛山市实验中学高三上学期10月第三次月测数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，单空题，填空题，问答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则的子集个数为（ ）
A．3B．5C．7D．8
【答案】D
【分析】解一元二次不等式，求出集合M，根据其元素个数即可求得答案.
【详解】由题意得集合，
故的子集个数为个，
故选：D
2．若复数为纯虚数（），则（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【分析】求出虚数的表达式，即可得出的值.
【详解】由题意，，
在中，
∵z为纯虚数，
∴，解得：，
∴，，
故选：C．
3．已知向量，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据题意，由向量垂直的判断方法分析“”和“”的关系，由此分析可得答案．
【详解】根据题意，当时，向量，，
则，有，则有，
反之，若，则，
则，解可得或1，不一定成立；
故“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
4．的内角的对边分别为，若 ，， 的面积为 ，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据余弦定理以及三角形面积公式即可求解.
【详解】由余弦定理得,又，所以，
又，故，
故选：C
5．若圆锥高为，体积为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用圆锥的体积公式及侧面积公式求解即可.
【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，体积为，
由题意，，得，则，
则该圆锥的侧面积为.
故选：C.
6．袋中装有标号为且大小相同的个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和不是的倍数，则获奖，若有人参与摸球，则恰好人获奖的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用古典概型和对立事件概率公式可求得一个人摸球能够获奖的概率，由独立重复试验概率公式可求得结果.
【详解】从袋子中一次性摸出两个球，共有种情况，
其中两个号码的和为的倍数的有，，，，，共种情况，
一个人摸球，能够获奖的概率为，
人参与摸球，恰好人获奖的概率.
故选：D.
7．为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》，某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型，其中为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（ ）（参考数据：）
A．15次B．16次C．17次D．18次
【答案】B
【分析】利用，的值求出t，可得，依题意列出不等式，解不等式即可求得答案.
【详解】由题意知，
当时，，故，，
故，
由得，即，
则，而，故，
故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要16次，
故选：B
8．已知定义在上的奇函数满足，当时，.若函数在区间上有10个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意可知和都是周期为2的周期函数，因此可将的零点问题转换为和的交点问题，画出函数图形，找到交点规律即可找出第10个零点坐标，而m的取值范围就在第10个零点和第11个零点之间.
【详解】由得是一个周期为2的奇函数，
当时，，因此，
因为是奇函数，所以 ，，
且的周期为，且，，，，
求的零点，即是与的交点，如图：

为与在区间的交点图形，因为与均为周期为2的周期函数，
因此交点也呈周期出现，由图可知的零点周期为，
若在区间上有10个零点，则第10个零点坐标为，
第11个零点坐标为，因此.
故选：A
【点睛】思路点睛：函数的零点问题，往往可以转化为常见函数的交点的个数问题，而图象的刻画需结合函数的奇偶性、周期性等来处理.
二、多选题
9．下列函数中，既是偶函数又在区间上是减函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根据函数的奇偶性定义以及函数的单调性一一判断各选项，即可得答案.
【详解】对于A，设，则，定义域为，
，即函数为偶函数，且在区间上是减函数，A正确；
对于B，定义域为R且为奇函数，不符合题意；
对于C，设，定义域为R，
则，函数为偶函数；
当时，，函数在区间上是减函数，C正确；
对于D，定义域为，
当时，在区间上是增函数，D错误，
故选：AC
10．函数的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．
B．函数的图象关于点对称
C．函数在上单调递增
D．将函数的图象向由右平移个单位得到函数的图象
【答案】ABC
【分析】借助图象周期求出、再由定点结合范围求出，得出解析式后结合正弦型函数性质可得A、B、C，结合函数图象的平移可得D.
【详解】由题意可得，故，则，
，即，
解得，又，即，故A正确；
即，当时，有，
故的图象关于点对称，故B正确；
当时，，故C正确；
将函数的图象向由右平移个单位得到，
故D错误.
故选：ABC.
11．已知，，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．有最大值B．有最小值C．有最小值D．有最大值4
【答案】ABD
【分析】对A选项：借助基本不等式即可得；
对B选项：由，结合A即可得；
对C选项：借助，两者相乘结合基本不等式即可得；
对D选项：消元后构造函数，借助导数研究最值即可得.
【详解】对A选项：，当且仅当时等号成立，
故，故A正确；
对B选项：，由A中知，
故，当且仅当时等号成立，故B正确；
对C选项：，
当且仅当，即、时等号成立，故C错误；
对D选项：由，即，则，
令，，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
即有最大值，即的最大值为，
此时、，故D正确.
故选：ABD.
12．已知函数，下列结论中正确的是（ ）
A．函数在时，取得极小值；
B．对于，恒成立；
C．若，则；
D．若对于恒成立，则的最大值为．
【答案】BCD
【分析】利用导数研究在上单调性及最值即可判断A、B的正误；构造，应用导数研究单调性即知C的正误；构造，应用导数并结合分类讨论的方法研究上、恒成立时a的取值范围，即可判断正误.
【详解】，
∴上，即上单调递减，则，
∴A错误，B正确；
令，则在上，即单调递减，
∴时，有，C正确；
，则等价于，
令，则，，
∴当时，，则单调递增，故；
当时，，则单调递减，故；
当时，存在使，
∴此时，上，则单调递增，；
上，则单调递减，
∴要使在上恒成立，则，得.
综上，时，上恒成立，
∴若，对于恒成立，则的最大值为，D正确.
故选：BCD.
三、单空题
13．已知向量，满足，，与的夹角为，则 ．
【答案】/
【分析】将平方，结合数量积的运算律，即可求得答案.
【详解】由题意得
，
故，
故答案为：
四、填空题
14．已知为锐角，，则 .
【答案】
【分析】根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系式、两角差的正切公式求得正确答案.
【详解】由于为锐角，所以，
，
所以.
故答案为：
15．若直线与曲线相切，则实数 ．
【答案】
【分析】设切点为，利用导数的几何意义结合点为直线与曲线的公共点，可得出关于、的方程组，即可解得的值.
【详解】设切点为，由，得，则，
因为点为直线与曲线的公共点，则，
所以，，即，可得，故.
故答案为：.
16．已知数列满足：对于任意有，且，若，，数列的前n项和为，则 ．
【答案】
【分析】对求导，可证得是以为首项，1为公差的等差数列，可求出，再由并项求和法求出.
【详解】因为，则，
由，，可得，，
所以是以为首项，1为公差的等差数列，
所以，，，
所以，
所以
．
故答案为:.
五、问答题
17．已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列，求数列的前100项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据和的关系可得，进而得到是以1为首项，2为公差的等差数列，进而求解；
（2）结合（1）可得，进而根据裂项相消法求和即可.
【详解】（1）由，，
当时，则，
当时，，
所以，所以.
又因为，
所以是以1为首项，2为公差的等差数列，
所以.
（2）由（1）知，等差数列的通项公式，
于是，
所以.
六、证明题
18．已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面，且，是的中点.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点为，连接、，即可证明四边形是平行四边形，从而得到，即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）证明：取的中点为，连接、，
因为、分别是、的中点，所以且，
又且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）解：因为，底面，所以两两互相垂直，以为坐标原点，
以分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系如图所示，
则，
则，
设平面的一个法向量为，所以，
即，令，则，
设直线与平面所成角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
七、问答题
19．已知的内角的对边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若的中点为且，，请写出与的关系式，并求出的最大值.
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）利用正弦定理及两角和得正弦公式即可求得，结合角的范围可知；
（2）依题意在中由正弦定理可得，即可得，利用辅助角公式可知，结合角的范围及三角函数单调性可得的最大值为.
【详解】（1）因为，由正弦定理得，
即可得，
所以，
又，所以，所以，
又，所以；
（2）如下图所示：

依题意，
则在中，由知，
又，利用正弦定理得，
所以，，
又，所以，，
所以
，
因为，所以，根据三角函数单调性可知，
所以，
即的最大值为.
20． 设是等差数列，是等比数列，公比大于，已知， ，.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足求.
【答案】（I），；
（II）
【分析】（I）首先设出等差数列的公差，等比数列的公比，根据题意，列出方程组，求得，进而求得等差数列和等比数列的通项公式；
（II）根据题中所给的所满足的条件，将表示出来，之后应用分组求和法，结合等差数列的求和公式，以及错位相减法求和，最后求得结果.
【详解】（I）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
依题意，得，解得，
故，，
所以，的通项公式为，的通项公式为；
（II）
，
记 ①
则 ②
②①得，，
所以
.
【点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法和运算求解能力，属于中档题目.
21．中国国家统计局2019年9月30日发布数据显示，2019年9月中国制造业采购经理指数（PMI）为，反映出中国制造业扩张步伐有所加快．以新能源汽车、机器人、增材制造、医疗设备、高铁、电力装备、船舶、无人机等为代表的高端制造业突飞猛进，则进一步体现了中国制造目前的跨越式发展．已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布，并把质量差在内的产品称为优等品，质量差在内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理．现从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：
(1)根据大量的产品检测数据，检查样本数据的标准差s近似值为10，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，记质量差服从正态分布，求该企业生产的产品为正品的概率；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
参考数据：若随机变量服从正态分布,则，，．
(2)假如企业包装时要求把2件优等品和（，且）件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则该箱产品记为，否则该箱产品记为．
①试用含的代数式表示某箱产品抽检被记为的概率；
②设抽检5箱产品恰有3箱被记为的概率为，求当为何值时，取得最大值．
【答案】(1)
(2)①；②时，最大值为.
【分析】（1）根据频率分布直方图可估计从该企业生产的正品中随机抽取1000件的平均数，再根据标准差，可得出和，得出，结合正品的条件，即可求出该企业生产的产品为正品的概率的结果；
（2）①由题意，结合组合的定义可知，从件正品中任选两个，有种选法，其中等级相同有种选法，通过古典概型的概率求法，即可求出箱产品抽检被记为B的概率为，最后利用排列数的运算即可得出结果；
②根据二项分布的概率求法求出，化简得出关于的函数，利用导数研究函数的单调性和最值，得出当时，取得最大值，从而可求出时，最大值为.
【详解】（1）由题意，估计从该企业生产的正品中随机抽取1000件的平均数为：
，即，
，所以，
则优等品为质量差在内，即，
一等品为质量差在内，即，
所以正品为质量差在和内，即，
所以该企业生产的产品为正品的概率：；
（2）①从件正品中任选两个，有种选法，其中等级相同有种选法，
∴某箱产品抽检被记为B的概率为：.
②由题意，一箱产品抽检被记为的概率为，则5箱产品恰有3箱被记为的概率为
，
所以，
所以当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，取得最大值，最大值为.
此时，解得：，
∴时，5箱产品恰有3箱被记为的概率最大，最大值为.
22．已知函数．
(1)求的最小值；
(2)若对，，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据导数研究函数单调性，结合单调性求解最值即可；
（2）根据题意将问题转化为恒成立，进而结合的单调性转化为研究恒成立，再求函数最小值即可.
【详解】（1）函数的定义域为，，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以函数在处取得极小值，，该极小值也是最小值.
所以的最小值为.
（2）因为对，，恒成立，
所以，即恒成立，
令，，
所以当时，，单调递增，
因为，
所以当时，，
恒成立，
当时，由得，即恒成立，
设，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
所以要使恒成立，只需，解得，
因为，所以实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于结合函数同构，将问题转化为恒成立，再构造函数求解即可.