2024届广东省佛山市顺德区第一中学高三上学期11月月考数学试题含答案
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这是一份2024届广东省佛山市顺德区第一中学高三上学期11月月考数学试题含答案,共18页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题,证明题等内容,欢迎下载使用。
一、单选题
1.已知复数(i为虚数单位),是的共轭复数,则的值为( )
A.1B.C.D.
【答案】B
【分析】根据共轭复数的定义和模长公式计算可得答案.
【详解】因为复数,
所以,.
故选:B.
2.设全集,,,则( )
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】本题首先可以根据函数的定义域得出,然后根据补集的性质得出,再然后根据的值域得出,最后根据交集的相关性质即可得出结果.
【详解】因为,
所以,即,解得,,
因为全集,所以或,
因为,所以,,
则,
故选:D.
【点睛】易错点睛:表示集合时,一定要注意集合中元素的含义,例如,集合表示的是函数的定义域,集合表示的是函数的值域.
3.已知向量,满足,且,,则( )
A.5B.3C.2D.1
【答案】D
【分析】根据向量的模长的计算即可求解.
【详解】,所以,
故选:D
4.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果,哥德巴赫猜想如下:每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和,如30=7+23,在不超过25的素数中,随机选取2个不同的数,则这2个数恰好含有这组数的中位数的概率是( )
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】先确定不超过25的素数,再确定中位数,最后根据古典概型概率公式求概率.
【详解】因为不超过25的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23共9个,
这组数的中位数为11,所以所求概率.
故选:C
5.若函数在区间内有极值点,则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】求出函数的导数,依题意可得在区间内有零点,参变分离可得,根据对勾函数的性质求出的取值范围,即可得到的取值范围,最后检验时不符合题意,即可得解.
【详解】解:函数,,
若函数在区间上有极值点,
则在区间内有零点,
由可得,
因为在上单调递减,在上单调递增,又,,,
所以,
,
当时,,不符合题意,
所以实数的取值范围是.
故选:C.
6.已知,,.则a,b,c的大小关系是( )
A.B.C.D.
【答案】B
【分析】根据对数函数的性质及对数的运算性质判断即可.
【详解】∵,∴,
又,∴,
∴.
故选:B.
7.已知,,则( )
A.4B.6C.D.
【答案】D
【分析】由正弦和正切的和差角公式即可代入求值.
【详解】由得,进而可得,所以,
故选:D
8.已知函数的零点分别为,,…,(),则( )
A.B.C.0D.2
【答案】A
【分析】由题意可得,所以的一个零点为0,令,求出的零点,即为零点,代入计算即可得答案.
【详解】令,则有,即,
所以有,
令,则,
令,则有,即有,
因为,所以,则,
即有,当时,等号成立,所以当时,,
所以共有3个零点,分别为0,,,
所以.
故选:A
二、多选题
9.已知随机变量X服从正态分布,则下列选项正确的是(参考数值:随机变量服从正态分布,则( )
,,)
A.B.
C.D.
【答案】AC
【分析】根据正态曲线的对称性及参考数据可得答案.
【详解】∵随机变量X服从正态分布,
正态曲线关于直线对称,且,,从而A正确,B错误,
根据题意可得,,,
∴,故C正确;
与不关于直线对称,故D错误.
故选:AC.
10.下列说法正确的是( )
A.若不等式的解集为或,则
B.若命题p:,,则p的否定为:,
C.在△ABC中,“”是“”的充要条件
D.若对恒成立,则实数x的取值范围为
【答案】AD
【分析】根据方程的两根为,2,可判断A;根据全称命题的否定是特称命题可判断B;两边平方可,根据充要条件定义可判断C;转化为关于的一次函数可判断D.
【详解】对于A,不等式解集为或,则方程的两根为,2,
故,则,,所以,故A正确;
对于B,全称命题的否定是特称命题,量词任意改成存在,结论进行否定应是小于等于,
即p的否定为:,,故B不正确;
对于C,对得,又,
所以或,显然不是充要条件,故C错误;
对于D,令,则,对恒成立,
则,解得,故D正确.
故选:AD.
11.已知函数的部分图象如图所示,若将函数的图象纵坐标不变,横坐标缩短到原来的,再向右平移个单位长度,得到函数的图象,则下列命题正确的是( )
A.函数的解析式为
B.函数的解析式为
C.函数在区间上单调递增
D.函数图象的一条对称轴是直线
【答案】ABC
【分析】对于A,由图像可得,,从而可求出得,再将点的坐标代入函数中可求出的值,从而可求出函数解析式,对于B,由三角函数图像变换规律求出的解析式,对于C,由求出的增区间进行判断即可,对于D,将代入中验证是否能取得最值.
【详解】由图可知,,,所以,解得,故.
因为图像过点,所以,即.
因为点位于单调增区间上,且,所以,
故.故A项正确;
若其纵坐标不变,横坐标缩短到原来的,所得到的函数解析式为,
再向右平移个单位长度,所得到的函数解析式.故B项正确;
令,
得,
故函数的单调增区间是,
当时,在区间上单调递增,故C项正确;
当时,,即时,
不取最值,故不是函数的一条对称轴,所以D项不正确.
故选:ABC
12.已知三棱锥P-ABC内接于球O,PA⊥平面ABC,,AB⊥AC,,点D为AB的中点,点Q在三棱锥P-ABC表面上运动,且,已知在弧度制下锐角,满足:,,则下列结论正确的是( )
A.过点D作球的截面,截面的面积最小为B.过点D作球的截面,截面的面积最大为
C.点Q的轨迹长为D.点Q的轨迹长为
【答案】ABD
【分析】对于A项和B项,先求出三棱锥外接球的半径,再根据图形判断经过球心的截面最大,与半径垂直的截面最小即得,对于C项和D项,则先要通过计算找到角,再根据轨迹特征确定轨迹形状,计算即得.
【详解】
对于选项A,如图,三棱锥P-ABC的外接球O即为以AB,AC,AP为邻边的长方体的外接球,
∴,∴,取BC的中点,则为△ABC的
外接圆圆心,且平面ABC,当OD与过点D的截面垂直时,截面的面积最小,
∵,此时截面圆的半径为,
∴最小截面面积为,故A项正确;
对于选项B,当截面过球心时,截面圆的面积最大为,故B项正确;
对于选项C和D,由条件可得
故即,易得,
则点Q的轨迹分别是以点P为圆心,4为半径的三段弧,其中一段弧圆心角为,两段弧
圆心角为,点Q的轨迹长即为,故C项错误,D项正确.
故选:ABD.
三、填空题
13.数据2,4,6,8,10,12,13,15,16,18的第70百分位数为 .
【答案】
【分析】根据百分位数的定义求解即可.
【详解】解:共有10个数据,
由,
所以第70百分位数为.
故答案为;14.
14.已知是双曲线的左焦点,,是双曲线右支上的动点,则的最小值为 .
【答案】
【解析】作出图形,设双曲线的右焦点为,根据双曲线的定义可得,可得出,利用、、三点共线时取得最小值即可得解.
【详解】对于双曲线,则,,,如下图所示:
设双曲线的右焦点为,则,
由双曲线的定义可得,则,
所以,,
当且仅当、、三点共线时,等号成立.
因此,的最小值为.
故答案为:.
【点睛】关键点点睛:利用双曲线的定义求解线段和的最小值,有如下方法:
(1)求解椭圆、双曲线有关的线段长度和、差的最值,都可以通过相应的圆锥曲线的定义分析问题;
(2)圆外一点到圆上的点的距离的最值,可通过连接圆外的点与圆心来分析求解.
15.已知函数在上单调递增,且在上有最大值.则的取值范围为 .
【答案】
【分析】通过函数在上单调递增,求出的范围,再根据在上有最大值可得,进而即得.
【详解】由,可得,
又函数在上单调递增,
所以,
所以,又函数在上有最大值,
所以,即,
综上,.
故答案为:.
16.已知函数的定义域为,且,函数在区间内的所有零点为(i=1,2,3,…,n).若,则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】函数的零点转化为函数的图象与函数的图象的交点的横坐标,作出它们的图象,观察图象可得结果.
【详解】函数的零点即为函数的图象与函数的图象的交点的横坐标,先作出函数在区间上的图象,
又当时,,所以当时,,
再作出函数的图象,如图所示:
由图象可得:,,,…,,则,
若,得,则实数a的取值范围是.
故答案为:
四、解答题
17.半径为的圆内接,,为锐角.
(1)求的大小;
(2)若的平分线交于点,,,求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用正弦定理计算可得;
(2)由角平分线的性质得到,再由等面积法求出,最后由面积公式计算可得.
【详解】(1)由正弦定理,又角为锐角,所以.
(2)∵为的平分线,,
设点到和的距离为,则,即,
∴,
又∵,
∴,则有,
∴或(舍去),所以,
∴.
18.已知数列是首项为正数的等差数列,数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式;
(2)设求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据题中条件可求得,即可求得通项公式;
(2)把通项公式分成两组,其中一组并项求和,另一组公式求和,即可.
【详解】(1)设数列的公差为,
令,得,所以.①
令,得,所以.②
解①②得,
所以.
(2)由(1)中条件,
数列,
则其前项和:
.
五、证明题
19.如图①,在等腰梯形中,,分别为的中点,,为的中点.现将四边形沿折起,使平面平面,得到如图②所示的多面体.在图②中:
(1)证明:;
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)根据折叠前后垂直的关系不变可得,由线面垂直的判定定理可得平面,由线面垂直性质可得;
(2)根据面面垂直性质可知以为坐标原点,分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系,利用二面角的空间向量求法可得平面与平面夹角的余弦值为.
【详解】(1)由题意知在等腰梯形中,,
又分别为的中点,所以,
即折叠后,
,所以平面,
又平面,
所以.
(2)∵平面平面,平面平面,且,
所以平面,平面,
,两两垂直,
以为坐标原点,分别以所在直线为轴,建立空间直角坐标系,
易知,
所以,
则
设平面的法向量,
则,取,则,得;
设平面的法向量
则,取,则,可得,
,由图易知平面与平面夹角为锐角,
所以平面与平面夹角的余弦值为.
六、解答题
20.某梯级共20级,某人上梯级(从0级梯级开始向上走)每步可跨一级或两级,每步上一级的概率为,上两级的概率为,设他上到第n级的概率为.
(1)求他上到第10级的概率(结果用指数形式表示);
(2)若他上到第5级时,求他所用的步数X的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析;期望为
【分析】(1)求出,且(),从而变形后得到通项公式,求出答案;
(2)先在(1)的基础上求出此人上到第5级的概率,再求出X的可能取值及相应的概率,得到分布列,求出数学期望.
【详解】(1)由条件知,,
且().
所以,
设,故,
令,解得,
所以,
又,
∴,
∴.
∴.
(2)由(1)知此人上到第5级的概率为,
X的可能取值为3,4,5,
其中时,此人1次选择跨一级,2次选择跨两级,由条件概率可得,
,
时,此人1次选择跨两级,3次选择跨一级,由条件概率可得,
,
时,此人5次选择跨一级,由条件概率可得,
,
所以X的分布列为
所以.
21.已知椭圆的离心率为,其左、右焦点分别为,,点是坐标平面内一点,且,(O为坐标原点).
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点且斜率为k的动直线l交椭圆于A,B两点,在y轴上是否存在定点M,使以为直径的圆恒过这个点?若存在,求出M的坐标,若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)存在,理由见解析.
【解析】(1)利用,列出方程可得,再由离心率即可求出,得出椭圆方程;
(2)设出直线方程,联立直线方程与椭圆方程,借助于韦达定理,即可求出点的坐标.
【详解】(1),,
又,,即,
则可得,又,,
故所求椭圆方程为;
(2)设直线,代入,有.
设,则,
若轴上存在定点满足题设,则,,
,
由题意知,对任意实数都有恒成立,
即对成立.
,解得,
在轴上存在定点,使以为直径的圆恒过这个定点.
【点睛】方法点睛:解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤:
(1)得出直线方程,设交点为,;
(2)联立直线与曲线方程,得到关于(或)的一元二次方程;
(3)写出韦达定理;
(4)将所求问题或题中关系转化为形式;
(5)代入韦达定理求解.
七、证明题
22.已知函数,,
(1)若在存在极小值点,求的取值范围;
(2)若函数有3个零点,,,求证:.
【答案】(1)
(2)证明见解析;
【分析】(1)由题意,得到函数,求导可得导函数,要证极小值,即证导函数存在零点,且在零点左侧导数小于零,零点右侧导数大于零,对于导函数再次求导,研究其单调性,可得答案;
(2)令,利用导数确定函数的单调性,得到,易发现,因此要证,即证,即证,构造函数证明即可.
【详解】(1),,
设,则,
时,,单调递增,在存在极小值点,
要满足题意,则,解得,
所以的取值范围是.
(2),
当时,,则单调递增;
当时,,令,解得,
则当时,,即单调递增,当时,,即单调递减;
由,则函数为一条连续不断的曲线,
要满足题意则需,即,此时.
易发现,
因此要证,即证,即证,即证,
设,则证,即证,
设,则,
在上递减,所以,
即得证,则得证.
【点睛】1.导数研究函数的极值,可导函数在点处取得极值的充要条件是,且在左侧与右侧的符号不同;若在内有极值,那么在内绝不是单调函数,即在某区间上单调增或减的函数没有极值.
2.证明不等式,构造一个适当的函数,利用它的单调性进行解题,是一种常用技巧,许多问题,如果运用这种思想去解决,往往能获得简洁明快的思路,有着非凡的功效.
X
3
4
5
P
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