2024届广东省佛山市顺德区第一中学高三上学期11月月考数学试题含答案

这是一份2024届广东省佛山市顺德区第一中学高三上学期11月月考数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知复数（i为虚数单位），是的共轭复数，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】根据共轭复数的定义和模长公式计算可得答案.
【详解】因为复数，
所以，.
故选：B.
2．设全集，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】本题首先可以根据函数的定义域得出，然后根据补集的性质得出，再然后根据的值域得出，最后根据交集的相关性质即可得出结果.
【详解】因为，
所以，即，解得，，
因为全集，所以或，
因为，所以，，
则，
故选：D.
【点睛】易错点睛：表示集合时，一定要注意集合中元素的含义，例如，集合表示的是函数的定义域，集合表示的是函数的值域.
3．已知向量，满足，且，，则（ ）
A．5B．3C．2D．1
【答案】D
【分析】根据向量的模长的计算即可求解.
【详解】，所以，
故选：D
4．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想如下：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，如30=7+23，在不超过25的素数中，随机选取2个不同的数，则这2个数恰好含有这组数的中位数的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先确定不超过25的素数，再确定中位数，最后根据古典概型概率公式求概率．
【详解】因为不超过25的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23共9个，
这组数的中位数为11，所以所求概率．
故选：C
5．若函数在区间内有极值点，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出函数的导数，依题意可得在区间内有零点，参变分离可得，根据对勾函数的性质求出的取值范围，即可得到的取值范围，最后检验时不符合题意，即可得解.
【详解】解：函数，，
若函数在区间上有极值点，
则在区间内有零点，
由可得，
因为在上单调递减，在上单调递增，又，，，
所以，
，
当时，，不符合题意，
所以实数的取值范围是.
故选：C．
6．已知，，．则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据对数函数的性质及对数的运算性质判断即可.
【详解】∵，∴，
又，∴，
∴．
故选：B．
7．已知，，则（ ）
A．4B．6C．D．
【答案】D
【分析】由正弦和正切的和差角公式即可代入求值.
【详解】由得，进而可得，所以，
故选：D
8．已知函数的零点分别为，，…，（），则（ ）
A．B．C．0D．2
【答案】A
【分析】由题意可得，所以的一个零点为0，令，求出的零点，即为零点，代入计算即可得答案．
【详解】令，则有，即，
所以有，
令，则，
令，则有，即有，
因为，所以，则，
即有，当时，等号成立，所以当时，，
所以共有3个零点，分别为0，，，
所以．
故选：A
二、多选题
9．已知随机变量X服从正态分布，则下列选项正确的是（参考数值：随机变量服从正态分布，则（ ）
，，）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据正态曲线的对称性及参考数据可得答案.
【详解】∵随机变量X服从正态分布，
正态曲线关于直线对称，且，，从而A正确，B错误，
根据题意可得，，，
∴，故C正确；
与不关于直线对称，故D错误．
故选：AC．
10．下列说法正确的是（ ）
A．若不等式的解集为或，则
B．若命题p：，，则p的否定为：，
C．在△ABC中，“”是“”的充要条件
D．若对恒成立，则实数x的取值范围为
【答案】AD
【分析】根据方程的两根为，2，可判断A；根据全称命题的否定是特称命题可判断B；两边平方可，根据充要条件定义可判断C；转化为关于的一次函数可判断D.
【详解】对于A，不等式解集为或，则方程的两根为，2，
故，则，，所以，故A正确；
对于B，全称命题的否定是特称命题，量词任意改成存在，结论进行否定应是小于等于，
即p的否定为：，，故B不正确；
对于C，对得，又，
所以或，显然不是充要条件，故C错误；
对于D，令，则，对恒成立，
则，解得，故D正确.
故选：AD．
11．已知函数的部分图象如图所示，若将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列命题正确的是（ ）
A．函数的解析式为
B．函数的解析式为
C．函数在区间上单调递增
D．函数图象的一条对称轴是直线
【答案】ABC
【分析】对于A，由图像可得，，从而可求出得，再将点的坐标代入函数中可求出的值，从而可求出函数解析式，对于B，由三角函数图像变换规律求出的解析式，对于C，由求出的增区间进行判断即可，对于D，将代入中验证是否能取得最值.
【详解】由图可知，，，所以，解得，故．
因为图像过点，所以，即．
因为点位于单调增区间上，且，所以，
故．故A项正确；
若其纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，所得到的函数解析式为，
再向右平移个单位长度，所得到的函数解析式．故B项正确；
令，
得，
故函数的单调增区间是，
当时，在区间上单调递增，故C项正确；
当时，，即时，
不取最值，故不是函数的一条对称轴,所以D项不正确．
故选：ABC
12．已知三棱锥P-ABC内接于球O，PA⊥平面ABC，，AB⊥AC，，点D为AB的中点，点Q在三棱锥P-ABC表面上运动，且，已知在弧度制下锐角，满足：，，则下列结论正确的是（ ）
A．过点D作球的截面，截面的面积最小为B．过点D作球的截面，截面的面积最大为
C．点Q的轨迹长为D．点Q的轨迹长为
【答案】ABD
【分析】对于A项和B项，先求出三棱锥外接球的半径，再根据图形判断经过球心的截面最大，与半径垂直的截面最小即得，对于C项和D项，则先要通过计算找到角，再根据轨迹特征确定轨迹形状，计算即得.
【详解】
对于选项A,如图，三棱锥P-ABC的外接球O即为以AB，AC，AP为邻边的长方体的外接球，
∴，∴，取BC的中点，则为△ABC的
外接圆圆心，且平面ABC，当OD与过点D的截面垂直时，截面的面积最小，
∵，此时截面圆的半径为，
∴最小截面面积为，故A项正确；
对于选项B，当截面过球心时，截面圆的面积最大为，故B项正确；
对于选项C和D，由条件可得
故即，易得，
则点Q的轨迹分别是以点P为圆心，4为半径的三段弧，其中一段弧圆心角为，两段弧
圆心角为，点Q的轨迹长即为，故C项错误，D项正确．
故选：ABD．
三、填空题
13．数据2，4，6，8，10，12，13，15，16，18的第70百分位数为 .
【答案】
【分析】根据百分位数的定义求解即可.
【详解】解：共有10个数据，
由，
所以第70百分位数为.
故答案为；14.
14．已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】作出图形，设双曲线的右焦点为，根据双曲线的定义可得，可得出，利用、、三点共线时取得最小值即可得解.
【详解】对于双曲线，则，，，如下图所示：
设双曲线的右焦点为，则，
由双曲线的定义可得，则，
所以，，
当且仅当、、三点共线时，等号成立.
因此，的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：利用双曲线的定义求解线段和的最小值，有如下方法：
（1）求解椭圆、双曲线有关的线段长度和、差的最值，都可以通过相应的圆锥曲线的定义分析问题；
（2）圆外一点到圆上的点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解.
15．已知函数在上单调递增，且在上有最大值．则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】通过函数在上单调递增，求出的范围，再根据在上有最大值可得，进而即得.
【详解】由，可得，
又函数在上单调递增，
所以，
所以，又函数在上有最大值，
所以，即，
综上，.
故答案为：.
16．已知函数的定义域为，且，函数在区间内的所有零点为（i=1，2，3，…，n）．若，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】函数的零点转化为函数的图象与函数的图象的交点的横坐标，作出它们的图象，观察图象可得结果.
【详解】函数的零点即为函数的图象与函数的图象的交点的横坐标，先作出函数在区间上的图象，
又当时，，所以当时，，
再作出函数的图象，如图所示：

由图象可得：，，，…，，则，
若，得，则实数a的取值范围是.
故答案为：
四、解答题
17．半径为的圆内接，，为锐角．
(1)求的大小；
(2)若的平分线交于点，，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理计算可得；
（2）由角平分线的性质得到，再由等面积法求出，最后由面积公式计算可得.
【详解】（1）由正弦定理，又角为锐角，所以．
（2）∵为的平分线，，
设点到和的距离为，则，即，
∴，
又∵，
∴，则有，
∴或（舍去），所以，
∴．
18．已知数列是首项为正数的等差数列，数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)设求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题中条件可求得，即可求得通项公式；
（2）把通项公式分成两组，其中一组并项求和，另一组公式求和，即可.
【详解】（1）设数列的公差为，
令，得，所以．①
令，得，所以．②
解①②得，
所以．
（2）由（1）中条件，
数列，
则其前项和：
.
五、证明题
19．如图①，在等腰梯形中，,分别为的中点，，为的中点．现将四边形沿折起，使平面平面，得到如图②所示的多面体．在图②中：

(1)证明：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据折叠前后垂直的关系不变可得，由线面垂直的判定定理可得平面，由线面垂直性质可得；
（2）根据面面垂直性质可知以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用二面角的空间向量求法可得平面与平面夹角的余弦值为.
【详解】（1）由题意知在等腰梯形中，，
又分别为的中点，所以，
即折叠后，
，所以平面，
又平面，
所以．
（2）∵平面平面，平面平面，且，
所以平面，平面,
，两两垂直，
以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
易知，
所以，
则
设平面的法向量，
则，取，则，得；

设平面的法向量
则，取，则，可得，
，由图易知平面与平面夹角为锐角，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
六、解答题
20．某梯级共20级，某人上梯级（从0级梯级开始向上走）每步可跨一级或两级，每步上一级的概率为，上两级的概率为，设他上到第n级的概率为．
(1)求他上到第10级的概率（结果用指数形式表示）；
(2)若他上到第5级时，求他所用的步数X的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析；期望为
【分析】（1）求出，且（），从而变形后得到通项公式，求出答案；
（2）先在（1）的基础上求出此人上到第5级的概率，再求出X的可能取值及相应的概率，得到分布列，求出数学期望.
【详解】（1）由条件知，，
且（）．
所以，
设，故，
令，解得，
所以，
又，
∴，
∴．
∴．
（2）由（1）知此人上到第5级的概率为，
X的可能取值为3，4，5，
其中时，此人1次选择跨一级，2次选择跨两级，由条件概率可得，
，
时，此人1次选择跨两级，3次选择跨一级，由条件概率可得，
，
时，此人5次选择跨一级，由条件概率可得，
，
所以X的分布列为
所以．
21．已知椭圆的离心率为，其左､右焦点分别为，，点是坐标平面内一点，且，(O为坐标原点).
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标，若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，理由见解析.
【解析】（1）利用，列出方程可得，再由离心率即可求出，得出椭圆方程；
（2）设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程，借助于韦达定理，即可求出点的坐标.
【详解】(1)，，
又，，即，
则可得，又，，
故所求椭圆方程为；
(2)设直线，代入，有.
设，则，
若轴上存在定点满足题设，则，，
，
由题意知，对任意实数都有恒成立，
即对成立.
，解得，
在轴上存在定点,使以为直径的圆恒过这个定点.
【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为，；
（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程；
（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为形式；
（5）代入韦达定理求解.
七、证明题
22．已知函数，，
(1)若在存在极小值点，求的取值范围；
(2)若函数有3个零点，，，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析；
【分析】（1）由题意，得到函数，求导可得导函数，要证极小值，即证导函数存在零点，且在零点左侧导数小于零，零点右侧导数大于零，对于导函数再次求导，研究其单调性，可得答案；
（2）令，利用导数确定函数的单调性，得到，易发现，因此要证，即证，即证，构造函数证明即可.
【详解】（1），，
设，则，
时，，单调递增，在存在极小值点，
要满足题意，则，解得，
所以的取值范围是.
（2），
当时，，则单调递增；
当时，，令，解得，
则当时，，即单调递增，当时，，即单调递减；
由，则函数为一条连续不断的曲线，
要满足题意则需，即，此时.
易发现，
因此要证，即证，即证，即证，
设，则证，即证，
设，则，
在上递减，所以，
即得证，则得证.
【点睛】1.导数研究函数的极值，可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不同；若在内有极值，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值.
2.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧，许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
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