2024届河南省名校联盟高三上学期11月段考数学试题含答案

这是一份2024届河南省名校联盟高三上学期11月段考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．命题“”的否定为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由存在量词命题的否定是全称量词命题，写出命题的否定.
【详解】命题“”的否定为“”.
故选：C
2．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由基本不等式求集合A中函数的值域，得到集合A，解集合B中的不等式，得到集合B，再求两个集合的交集.
【详解】因为，
当且仅当，即时，等号成立，则，
不等式解得，则，
所以．
故选：C
3．已知函数，则（ ）
A．B．C．1D．0
【答案】B
【分析】利用解析式结合对数函数求函数值即可.
【详解】令，则.
故选：B
4．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用指数函数和对数函数的图象与性质判断三个数的范围即可得出它们的大小关系.
【详解】因为，
由对数函数的图象与性质知，
∴；
∵由对数函数的图象与性质知，
∴；
∵由指数函数的图象与性质知，
∴；
∴．
故选：A.
5．已知数列满足，且，若，则的值可能为（ ）
A．2021B．2022
C．2023D．2024
【答案】D
【分析】由递推公式，写出数列前几项，得到数列的周期，可求可能的值.
【详解】数列的递推公式为，由，
则有，
，则是以4为周期的周期数列，
，有，，故的值可能为2024．
故选：D.
6．已知函数的定义域为，为奇函数，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据已知可得出，，，进而推得.赋值即可得出答案.
【详解】由为奇函数，可得，
且，所以，所以.
又，所以，
所以，.
令可得，，所以.
故选：D.
7．笛卡尔在信中用一个能画出心形曲线的方程向公主表达爱意的故事广为流传，其实能画出心型曲线的方程有很多种．心形曲线如图所示，其方程为，若为曲线上一点，的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】记与轴非负半轴所成的角为，点，则()，代入曲线方程化简可求得结果.
【详解】记与轴非负半轴所成的角为，心形曲线关于轴对称，不妨取．
设点，则，代入曲线方程可得，
则，
因为，所以，
所以，
所以，
所以，即
所以．
故选：A
8．对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称，中心对称都能给人以美感，在菱形中，，以菱形的四条边为直径向外作四个半圆，P是这四个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为（ ）
A．5B．3C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，由条件可得当EF与图形下面半圆相切时，取得最大值，再结合图形，代入计算，即可得到结果．
【详解】
如图，设，，设P是直线EF上一点，
令，则，
，又，所以
因为P是四个半圆弧上的一动点，所以当EF与图形下面半圆相切时，取得最大值，
设线段AB的中点为M，线段AC的中点为O1，
连接MP，连接并延长使之与EF交于点，
过M作，垂足为N，
因为，设，则，
，
则，由，得，
故的最大值为．
故选：D．
二、多选题
9．已知等比数列的公比为，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】由已知条件结合等比数列的通项，求出公比，解得和，验证选项即可．
【详解】因为，，所以，有，解得，故A选项错误，B选项正确；
当时，；当时，，故C选项错误，
， 故D选项正确．
故选：BD．
三、单选题
10．下列函数的图象不可能与直线相切的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】题目转化为函数有解，则直线就可以为该函数图象的切线，则逐项检验即可得结论.
【详解】若导函数有解，则直线就可以为该函数图象的切线．
对于选项A，令，解得，满足条件；
对于选项B，因为在上单调递增，且，，所以方程有解，满足条件；
对于选项C，令，解得，满足条件；
对于选项D，，不满足条件．
故选：D.
四、多选题
11．已知函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．的图象关于点对称
C．将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象
D．在上的最大值为2
【答案】BD
【分析】利用函数的最小值点求出，得到函数解析式，由正弦函数的性质判断单调区间，对称中心，最值和平移后的函数解析式.
【详解】，其中．
因为，所以，
则，．
当时，，不单调，A不正确．
当时，，，故的图象关于点对称，B正确．
，所以将的图象向右平移个单位长度，得不到函数的图象，C不正确．
由，得，当，即时取最大值为2，D正确．
故选：BD.
12．若函数的定义域为D，对于任意，都存在唯一的，使得，则称为“A函数”，则下列说法正确的是（ ）
A．函数是“A函数”
B．已知函数，的定义域相同，若是“A函数”，则也是“A函数”
C．已知，都是“A函数”，且定义域相同，则也是“A函数”
D．已知，若，是“A函数”，则
【答案】BD
【分析】题干给出了“A函数”的定义，按照定义，判断函数是否是“A函数”，其中一定注意在定义域中恒成立，选项中不正确的举出反例，正确的严格按照“A函数”的定义证明即可.
【详解】对于选项A，当时，，此时不存在，使得．A不正确；
对于选项B，由，的定义域相同，若是“A函数”，则对于任意，都存在唯一的，使得，则对于任意，都存在唯一的，使得，所以也是“A函数”．B正确；
对于选项C，不妨取，，，令，则，
故不是“A函数”．C不正确；
对于选项D，因为，，是“A函数”，
所以在上恒成立．又，所以，且，
即对于任意，都存在唯一的，使得，
因为，所以，
即
由解得．D正确．
故选：BD
五、填空题
13．已知均为单位向量，且，则与夹角的余弦值为 ．
【答案】/
【分析】结合平面向量数量积的定义及运算律求解即可.
【详解】由，得，
即，则，
所以．
故答案为：.
14．已知正实数满足，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】变形得到，结合，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】，
由，得，故，
则，
当且仅当，即时，等号成立．
故的最小值为．
故答案为：
15．邯郸丛台又名武灵丛台，相传始建于战国赵武灵王时期，是赵王检阅军队与观赏歌舞之地，某学习小组为了测量邯郸丛台的高度，选取了与台底在同一水平面内的两个测量基点C，D，米，则丛台的高度为 米．（结果精确到0.1米，取）
【答案】26.4
【分析】由已知及正弦定理可得，再由即可求高度.
【详解】因为，则，
在中，，则m，
在中，所以m．
故答案为：26.4
16．已知，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】令，可将不等式化为，利用导数可求得单调性，进而得到，即，由此可得不等式解集.
【详解】不等式可化为：，
当时，，又，；
令，则，
，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减；
当时，，，，
即当时，，，
即不等式的解集为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数不等式的求解问题，解题关键是能够将所求不等式转化为的两个函数值大小关系的比较问题，通过对单调性的求解，得到自变量之间的大小关系.
六、解答题
17．已知是函数的一个极值点．
(1)求的值；
(2)若有3个零点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）函数的极值点为导函数的零点，可求的值并检验；
（2）利用导数求函数的单调区间和极值点，由函数极值的符号确定零点的个数.
【详解】（1）因为，所以．
因为是的一个极值点，所以，解得．
经检验知，当时，是的一个极值点，故．
（2）由（1）可知，．
当或时，；当时，．
在和上单调递增，在上单调递减．
因为有3个零点，所以
解得，故的取值范围为．
18．的内角，，的对边分别为，，，已知．
(1)求；
(2)若，的面积为，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理得，从而求得；
（2）根据面积公式和余弦定理即可求得的周长.
【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得．
又，所以．
因为，所以．
又，所以，．
（2）的面积，则．
由余弦定理：，得，
所以，故的周长为．
七、证明题
19．递增的等差数列的前项和为，已知，且是和的等比中项．
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设的公差为，依题意有，解出和，即可得的通项公式；
（2）根据数列的通项，利用裂项相消求前项和，可证得不等式成立
【详解】（1）设的公差为，因为，所以，即．
又是和的等比中项，所以，即．
将代入整理得，解得或（舍去），
则，．
（2）证明：由（1）可得，，
则
．
八、解答题
20．如图，在中，，且．
(1)若，求的长；
(2)求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意解三角形，利用余弦定理即可求得答案；
（2）分别在和中利用正弦定理求出的表达式，结合两角和的正弦公式以及同角三角函数化简可得的表达式，利用基本不等式即可求得答案.
【详解】（1）因为，则，
又，
所以，
所以．
（2）由题意知；
在中，，则，
在中，，，则，
所以
，（），
当且仅当，即时，等号成立，
即的最小值为.
21．已知数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据递推关系作差即可求解，
（2）根据错位相减法即可求和.
【详解】（1）当时，．
当时，，
即，
当时，上式也成立，
所以．
当时，也符合，所以．
（2）由（1）知．
，
，
则，
所以．
九、证明题
22．已知函数，.
(1)若在上单调递增，求的取值范围；
(2)当时，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由于在上单调递增，所以在上恒成立，通过构造函数转化为求最值问题；
（2）将的证明转化成 的证明，通过构造，，即可证明，从而原命题得证.
【详解】（1）因为，
所以.
因为在上单调递增，
所以在上恒成立，
故在上恒成立，
即在上恒成立.
令函数，则.
当时，，
所以在单调递减，
所以，
所以a的取值范围为.
（2）要证，，
只需证，.
因为，
所以，.
要证，，
只需证，，
即证，，
即证，.
令函数，，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
故.
令函数，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
故.
所以，
所以，从而原命题得证.
【点睛】思路点精：
（1）由函数单调性求参数取值范围，通常构造函数转化为求函数最值问题；
（2）要证明不等式成立，可通过转化后，利用构造函数法，结合导数求最值，由此来证得不等式成立.