27平面向量的应用专项训练—2024届艺术班高考数学一轮复习（文字版 含答案）

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A．矩形 B．正方形
C．菱形 D．梯形
解析：选C 因为eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝0，所以eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，所以四边形ABCD是平行四边形．又(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(DB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形．
2．(2023·宁波模拟)已知△ABC中，D是BC的中点，且|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|，则向量eq \(BA,\s\up6(→))在eq \(BC,\s\up6(→))上的投影向量为( )
A．eq \f(1,4)eq \(BC,\s\up6(→)) B．eq \f(\r(3),4)eq \(BC,\s\up6(→))
C．－eq \f(1,4)eq \(BC,\s\up6(→)) D．－eq \f(\r(3),4)eq \(BC,\s\up6(→))
解析：选A 因为|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\(AC,\s\up6(→))))eq \s\up12(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))－\(AC,\s\up6(→))))eq \s\up12(2)，
所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，则eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(AC,\s\up6(→))，
因为D是BC的中点，
所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BD,\s\up6(→))))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(CD,\s\up6(→))))，
又因为|eq \(AD,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|，所以△ABD为等边三角形，
故点A作AE⊥BD交BD于点E，则E为BD中点，
所以向量eq \(BA,\s\up6(→))在向量eq \(BC,\s\up6(→))上的投影向量为eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(BC,\s\up6(→))．故选：A．
3．△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝0，|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|，则eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))的值是( )
A．2B．3
C．1 D．0
答案：B
4．半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC的中点，则(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→)))·eq \(PC,\s\up6(→))的值是( )
A．－2
B．－1
C．2
D．无法确定，与C点位置有关
解析：选A (eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→)))·eq \(PC,\s\up6(→))＝2eq \(PO,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝－2．
5．(2023·桂林模拟)若非零向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))满足eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),\a\vs4\al(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))))))＋\f(\(AC,\s\up6(→)),\a\vs4\al(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→))))))))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，且eq \f(\(AB,\s\up6(→)),\a\vs4\al(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))))))·eq \f(\(AC,\s\up6(→)),\a\vs4\al(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→))))))
＝eq \f(\r(3),2)，则△ABC为( )
A．三边均不等的三角形
B．直角三角形
C．底边和腰不相等的等腰三角形
D．等边三角形
解析：选C ∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),\a\vs4\al(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))))))＋\f(\(AC,\s\up6(→)),\a\vs4\al(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→))))))))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，
∴∠A的角平分线与BC垂直，
∴AB＝AC．
∵cs A＝eq \f(\(AB,\s\up6(→)),\a\vs4\al(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))))))·eq \f(\(AC,\s\up6(→)),\a\vs4\al(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→))))))＝eq \f(\r(3),2)，
∴∠A＝eq \f(π,6)，
则△ABC是顶角为30°的等腰三角形，故选：C．
6．(2023·贵阳一中模拟)已知在△ABC中，AB＝2，AC＝4，∠BAC＝60°，D为BC的中点，M为AC的中点，则eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BM,\s\up6(→))＝( )
A．3B．2
C．4 D．1
解析：选D 令eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，
易得eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(a＋b)，eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)b－a，
eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a＋\f(1,2)b))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)b－a))
＝eq \f(1,4)a·b－eq \f(1,2)a2＋eq \f(1,4)b2－eq \f(1,2)b·a＝－eq \f(1,2)×4＋eq \f(1,4)×16－eq \f(1,4)×2×4×cs 60°＝1．
7．已知四边形ABCD是矩形，AB＝2AD＝2，点E是线段AC上一点，eq \(AE,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))，且eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BE,\s\up6(→))＝－eq \f(4,5)，则实数λ的取值为( )
A．eq \f(3,4) B．eq \f(2,5)
C．eq \f(1,3) D．eq \f(1,5)
解析：选B 由平面向量的平行四边形法则，
得eq \(AE,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))＝λ(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))，
eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝λ(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))－eq \(AB,\s\up6(→))＝(λ－1)·eq \(AB,\s\up6(→))＋λeq \(AD,\s\up6(→))．
因为eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BE,\s\up6(→))＝－eq \f(4,5)，所以λ(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))·[(λ－1)eq \(AB,\s\up6(→))＋λeq \(AD,\s\up6(→))]＝－eq \f(4,5)，
即λ[4(λ－1)＋λ]＝－eq \f(4,5)，解得λ＝eq \f(2,5)．故选B．
8．(2023·银川模拟)设平面向量a＝(－2，1)，b＝(λ，－1)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是( )
A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，2))∪(2，＋∞)
B． (2，＋∞)
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞))
D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪(2，＋∞)
解析：选A ∵a与b的夹角为钝角，
∴a·b＝－2·λ＋1×(－1)－eq \f(1,2)，且λ≠2，故选：A．
9．(2023·广州模拟)在正方形ABCD中，动点E从点B出发，经过C，D，到达A，eq \(AE,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，则λ＋μ的取值范围是( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，1)) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，1))
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，2))D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，2))
解析：选B 以B为坐标原点，AB，BC所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，
设AB＝1，则Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0))，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1))，
当点E在BC上时，设Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，m))，m∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，1))，
则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，m))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，0))＋μeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，1))，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－λ－μ＝－1，,m＝μ，))故λ＋μ＝1．
当点E在CD上时，设Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t，1))，t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，1))，
则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－1，1))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，0))＋μeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，1))，
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－λ－μ＝t－1，,μ＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝－t，,μ＝1，))
故λ＋μ＝1－t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，1))．
当点E在AD上时，设Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，u))，u∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，1))，
则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，u))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，0))＋μeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，1))，
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－λ－μ＝0，,μ＝u，))故λ＋μ＝0．
综上，λ＋μ的取值范围是λ＋μ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，1))．
10．(2023·武汉模拟)如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2BC＝4，动点M在以点C为圆心且与BD相切的圆上，则eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))的最大值是( )
A．－4B．4
C．－1 D．1
解析：选A 在矩形ABCD中，AB＝2BC＝4，动点M在以C为圆心，且与BD相切的圆上，
所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→))))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BD,\s\up6(→))))＝2eq \r(5)，
如图所示，连接AC，CM，设C到BD的距离为d，
则d＝eq \f(2×4,2\r(5))＝eq \f(2\r(5),5)，
则eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CM,\s\up6(→)))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(CM,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))，
其中eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))·(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))＝－12，eq \(CM,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))≤eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(CM,\s\up6(→))))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BD,\s\up6(→))))＝8，
当且仅当eq \(CM,\s\up6(→))与eq \(BD,\s\up6(→))同向时，等号成立，
所以eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(CM,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))≤－12＋8＝－4，
即eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))的最大值为－4．故选：A．
11．(2023·淮安调研)如图，单位向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))的夹角为eq \f(π,2)，点C在以O为圆心，1为半径的弧AB上运动，则eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))的最小值为______．
解析：以O为坐标原点，分别以OB，OA为x，y轴，建立空间直角坐标系，
则Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0))，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1))，设Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs θ，sin θ))，
θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
故eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝(－cs θ，1－sin θ)·(1－cs θ，－sin θ)＝cs2θ－cs θ－sin θ＋sin2θ＝1－cs θ－sin θ＝
1－eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))，
因为θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以θ＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4)))，
故当θ＋eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)，θ＝eq \f(π,4)时，eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))取得最小值，最小值为1－eq \r(2)．
答案：1－eq \r(2)
12．(2023·贵阳期中)已知点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，0))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8，3))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6，－1))，D为线段BC的中点，E为线段AB上靠近B的三等分点．
(1)求D，E的坐标．
(2)在①△ADE，②△BDE这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答．
问题：按角分类，判断______的形状，并说明理由．
(注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分)
解析：(1)因为eq \f(8＋6,2)＝7，eq \f(3－1,2)＝1，
故D的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7，1))，
eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6，3))，故eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，2))，
所以eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6，2))，即E的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6，2))．
(2)选①，△ADE为钝角三角形，
理由如下：由(1)可知eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，2))，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，1))，eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，1))，
因为eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝4×5＋2×1＝22>0，所以∠DAE为锐角．
易得eq \(DA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－5，－1))，因为eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(DE,\s\up6(→))＝5－1＝4>0，所以∠ADE为锐角．
因为eq \(EA,\s\up6(→))·eq \(ED,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(DE,\s\up6(→))＝－4＋2＝－20，所以∠DBE为锐角．
易得eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，2))，因为eq \(DB,\s\up6(→))·eq \(DE,\s\up6(→))＝－1＋2＝1>0，所以∠BDE为锐角．
因为eq \(EB,\s\up6(→))·eq \(ED,\s\up6(→))＝eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(DE,\s\up6(→))＝2－1＝1>0，所以∠AED为锐角．
故△BDE为锐角三角形．