2023年吉林省白城市通榆县第四中学校、第九中学校中考模拟预测数学试题+

这是一份2023年吉林省白城市通榆县第四中学校、第九中学校中考模拟预测数学试题+，共31页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）
A．圆柱B．圆锥C．四棱柱D．四棱锥
2．如图，数轴上两点M，N所对应的实数分别为m，n（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2.2
3．如图，l1∥l2，l3∥l4，若∠1＝70°，则∠2的度数为（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
4．代数式（x+1）2+x（x﹣2）化简，得（ ）
A．2x+1B．2x﹣1C．2x2+1D．2x2﹣1
5．如图，在⊙O中，AB为直径，CD为切线，连接OC．若∠BCD＝48° 则∠AOC的度数为（ ）
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A．42°B．48°C．84°D．106°
6．《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（ ）
A．＝B．＝
C．＝D．＝
二、填空题。（每小题3分，共24分）
7．（3分）计算：|﹣2023|＝ ．
8．（3分）袁隆平院士被誉为“杂交水稻之父”，经过他带领的团队多年努力，目前我国杂交水稻种植面积约为2.5亿亩．将250000000用科学记数法表示为2.5×10n，则n＝ ．
9．（3分）已知a+b＝3，a﹣b＝5，则代数式a2﹣b2的值是 ．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，点D，E，连接DE、DF，则四边形BFDE的周长为 ．
​
11．（3分）如图，在菱形ABCD中，点C在x轴上（7，2），点B的坐标为（﹣1，2），则点C的坐标为 ．
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12．（3分）如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，则线段BC＝ cm．
13．（3分）如图，点A，B，C对应的刻度分别为3，5，7，得到CA'，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时 ．（结果保留π）
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14．（3分）公元前2000年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号（如图所示），一个钉头形代表1，人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相同，最右边的数字代表个位，百位．根据符号计数的方法，如图符号表示一个两位数 ．
三、解答题。（每小题5分，共20分）
15．（5分）如图，已知AB＝DC，AC＝DB．求证：∠A＝∠D．
16．（5分）解不等式组请按下列步骤完成解答．
（1）解不等式①，得 ；
（2）解不等式②，得 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集是 ．
17．（5分）学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元：购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？
18．（5分）有五个封装后外观完全相同的纸箱，且每个纸箱内各装有一个西瓜，其中所装西瓜的重量分别为6kg，7kg，7kg
（1）若从这五个纸箱中随机选一个，则所选纸箱里西瓜的重量为8kg的概率是 ．
（2）若从这五个纸箱中随机选两个，请利用列表或画树状图的方法，求所选两个纸箱里的西瓜的重量之和为14kg的概率．
四、解答题。（每小题7分，共28分）
19．（7分）如图，在5×5的方格中，线段AB的端点均在格点上
（1）如图①，画出一条线段AC，使AC＝AB；
（2）如图②，画出一条线段EF，使EF、AB互相平分，F均在格点上；
（3）如图③，画出一个以AB为一边的四边形，使其是中心对称图形
​
20．（7分）周末，王老师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量一栋楼的高度．小希站在自家阳台上，看这栋楼底部的俯角为37°，已知两楼之间的水平距离为30m
（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
21．（7分）如图，大、小两个正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行或垂直．反比例函数（﹣2，﹣1），且经过小正方形的顶点B．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）求图中阴影部分的面积．
22．（7分）某校九年级640名学生在“信息素养提升”培训前、后各参加了一次水平相同的测试，并以同一标准折算成“6分”、“7分”、“8分”、“9分”、“10分”5个成绩．为了解培训效果，用抽样调查的方式从中抽取了32名学生的2次测试成绩
（1）这32名学生2次测试成绩中，培训前测试成绩的中位数是m，培训后测试成绩的中位数是n n；（填“＞”、“＜”或“＝”）
（2）这32名学生经过培训，测试成绩为“6分”的百分比比培训前减少了多少？
（3）估计该校九年级640名学生经过培训，测试成绩为“10分”的学生增加了多少人？
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）已知A、B两地之间有一条长440千米的高速公路．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止（千米）与各自的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式；
（3）当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程．
24．（8分）下面是小明同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．
【作业】
如图①，已知正方形ABCD中，E，F分别是AB、BC边上的点，求证：EF＝AE+CF．
证明：如图，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM，∠A＝∠DCM，∠ADE＝∠MDC．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠ADC＝∠DCB＝90°，
∴∠EDM＝∠EDC+∠MDC＝∠EDC+∠ADE＝∠ADC＝90°．
∵∠EDF＝45°，
∴∠MDF＝∠EDF＝45°，
又∵∠A＝∠DCM＝∠DCB＝90°，
∴点B，F，C，M在一条直线上．
∵DF＝DF，
∴△EDF≌ ，
∴EF＝MF＝CM+CF＝ +CF．
【探究】
（1）在图①中，若正方形ABCD的边长为3，AE＝1，求EF的长．
解：∵正方形ABCD的边长为3，AE＝1，
∴BE＝2，CM＝1．
设EF＝x，则FM＝EF＝x，FC＝FM﹣CM＝x﹣1，
∴BF＝3﹣（x﹣1）＝4﹣x．
在Rt△BEF中，由22+（4﹣x）2＝x2，解得x＝ ，即EF＝ ；
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，BC＝4，E是AB边上的点，则CE＝ ．
（3）如图③，在△ABC中，∠BAC＝45°，CD＝3，则AD的长为 ．
​
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2cm．P，Q两点分别从A，点P以3cm/s的速度沿折线AB﹣BC向终点C匀速运动；点Q在CA上以，以PM、QM为邻边作矩形PMQN．设点P的运动时间为x（s），矩形PMQN的面积为y（cm）2 （注：线段看成面积为0cm2的矩形）
（1）当点P与点N重合时，x＝ ；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）在整个运动过程中，当时，直接写出x的值．
26．（10分）若二次函数的图象经过点A（﹣2，0），其对称轴为直线x＝1，与y轴交于点B．
（1）点C的坐标为 ；
（2）求二次函数的解析式；
（3）点M在线段AB上，过点M作MN⊥x轴于点N．
①若MN：NC＝2：5，求点M的坐标；
②以MN为对角线作正方形MPNQ（点P在MN右侧），当点P在对称轴上时，直接写出点M的坐标．
参考答案与试题解析
一、单项选择题。（每小题2分，共12分）
1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）
A．圆柱B．圆锥C．四棱柱D．四棱锥
【分析】俯视图为圆的几何体为球，圆柱，再根据其他视图，可知此几何体为圆柱．
【解答】解：俯视图为圆的几何体为球，圆柱，可知此几何体为圆柱．
故选：A．
【点评】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图．
2．如图，数轴上两点M，N所对应的实数分别为m，n（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2.2
【分析】根据在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大，可得：1＜m＜2，n＝﹣1，m﹣n的结果即可求得．
【解答】解：∵M，N所对应的实数分别为m，n，
∴1＜m＜2，n＝﹣7，
∴2＜m﹣n＜3，
∴m﹣n的值可能是3.2．
故选：D．
【点评】本题考查了实数与数轴，利用数轴可以比较任意两个实数的大小，确定两个实数的范围是解决本题的关键．
3．如图，l1∥l2，l3∥l4，若∠1＝70°，则∠2的度数为（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
【分析】根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：∵l1∥l2，∠6＝70°，
∴∠3＝∠1＝70°，
∵l3∥l4，
∴∠2＝180°﹣∠2＝180°﹣70°＝110°，
故选：B．
【点评】此题考查了平行线的性质，解题的关键是：熟记两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补．
4．代数式（x+1）2+x（x﹣2）化简，得（ ）
A．2x+1B．2x﹣1C．2x2+1D．2x2﹣1
【分析】利用完全平方公式，单项式乘多项式的法则进行运算，再合并同类项即可．
【解答】解：（x+1）2+x（x﹣5）
＝x2+2x+5+x2﹣2x
＝3x2+1．
故选：C．
【点评】本题主要考查完全平方公式，单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．如图，在⊙O中，AB为直径，CD为切线，连接OC．若∠BCD＝48° 则∠AOC的度数为（ ）
​
A．42°B．48°C．84°D．106°
【分析】根据切线的性质得出∠OCD＝90°，进而得出∠OCB＝40°，再利用圆心角等于圆周角的2倍解答即可．
【解答】解：在⊙O中，AB为直径，CD为切线，
∴∠OCD＝90°，
∵∠BCD＝48°，
∴∠OCB＝42°，
∴∠AOC＝84°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径，切线的性质：切线垂直于过切点的半径．
6．《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（ ）
A．＝B．＝
C．＝D．＝
【分析】根据题意可知，装裱后的长为2.4+2x，宽为1.4+2x，再根据整幅图画宽与长的比是8：13，即可得到相应的方程．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
二、填空题。（每小题3分，共24分）
7．（3分）计算：|﹣2023|＝ 2023 ．
【分析】负数的绝对值是它的相反数，由此可解．
【解答】解：﹣2023的相反数是2023，
故|﹣2023|＝2023，
故答案为：2023．
【点评】本题考查求一个数的绝对值，解题的关键是掌握负数的绝对值是它的相反数．
8．（3分）袁隆平院士被誉为“杂交水稻之父”，经过他带领的团队多年努力，目前我国杂交水稻种植面积约为2.5亿亩．将250000000用科学记数法表示为2.5×10n，则n＝ 8 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：∵250000000＝2.5×107．
∴n＝8，
故答案为：8．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
9．（3分）已知a+b＝3，a﹣b＝5，则代数式a2﹣b2的值是 15 ．
【分析】原式利用平方差公式化简，将已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：∵a+b＝3，a﹣b＝5，
∴原式＝（a+b）（a﹣b）＝15，
故答案为：15
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，点D，E，连接DE、DF，则四边形BFDE的周长为 9 ．
​
【分析】根据三角形中位线定理分别求出DE、DF，根据线段中点的概念分别求出BE、BF，计算即可．
【解答】解：∵点D，E，F分别是AC、BC的中点，BC＝5，
∴DE、DF是△ABC的中位线AB＝2BC＝2.5，
∴DE＝BC＝2.6AB＝6，
∴四边形BFDE的周长为：BF+DF+BE+DE＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
11．（3分）如图，在菱形ABCD中，点C在x轴上（7，2），点B的坐标为（﹣1，2），则点C的坐标为 （3，0） ．
​
【分析】连接AC、BD交于点E，BD交y轴于点F，由菱形的性质得AC⊥BD，BE＝DE＝BD，再求出BD＝BF+DF＝8，则BE＝DE＝4，得OC＝EF＝3，即可得出结论．
【解答】解：如图，连接AC，BD交y轴于点F，
则OC＝EF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BE＝DE＝，
∵点D的坐标为（8，2），2），
∴BF＝3，DF＝7，
∴BD＝BF+DF＝8，
∴BE＝DE＝7，
∴OC＝EF＝BE﹣BF＝4﹣1＝2，
∵点C在x轴上，
∴点C的坐标为：（3，0），
故答案为：（2，0）．
【点评】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
12．（3分）如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，则线段BC＝ 12 cm．
【分析】过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥CE于点E，
∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，
∴，
即，
∴BC＝12cm．
故答案为：12．
【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．
13．（3分）如图，点A，B，C对应的刻度分别为3，5，7，得到CA'，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时 π ．（结果保留π）
​
【分析】求线段CA扫过的图形的面积，即求扇形ACA′的面积．
【解答】解：由题意，知AC＝7﹣3＝5，∠A′BC＝90°．
由旋转的性质，得A′C＝AC＝4．
在Rt△A′BC中，cs∠ACA′＝＝．
∴∠ACA′＝60°．
∴扇形ACA′的面积为＝π．
即线段CA扫过的图形的面积为π．
故答案为：π．
【点评】此题考查了扇形面积的计算和解直角三角形，熟练掌握扇形面积公式是解本题的关键．
14．（3分）公元前2000年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号（如图所示），一个钉头形代表1，人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相同，最右边的数字代表个位，百位．根据符号计数的方法，如图符号表示一个两位数 25 ．
【分析】根据题意可知，这个两位数的个位上的数是5，十位上的数是2，故这个两位数为25．
【解答】解：由题意可得，表示25．
故答案为：25．
【点评】本题主要考查了用数字表示事件，理清题目中的符号表示的意义是解答本题的关键．
三、解答题。（每小题5分，共20分）
15．（5分）如图，已知AB＝DC，AC＝DB．求证：∠A＝∠D．
【分析】分析题目条件，AB、AC围成△ABC，DC、DB围成△DCB，BC为它们的公共边，容易判断△ABC≌△DCB，从而得出∠A＝∠D．
【解答】证明：在△ABC和△DCB中，
∵AB＝DC，AC＝DB，
∴△ABC≌△DCB，
∴∠A＝∠D．
【点评】本题是全等三角形的判定，性质的综合运用，可以由结论探究所要证明全等的三角形，然后找全等的条件．
16．（5分）解不等式组请按下列步骤完成解答．
（1）解不等式①，得 x≥﹣3 ；
（2）解不等式②，得 x＜1 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集是 ﹣3≤x＜1 ．
【分析】分别解这两个不等式，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，找到解集的公共部分即可得到原不等式组的解集．
【解答】解：（1）解不等式①，得：x≥﹣3；
（2）解不等式②，得：x＜1；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：
（4）原不等式组的解集为：﹣2≤x＜1．
故答案为：（1）x≥﹣3；
（2）x＜5；
（4）﹣3≤x＜1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，体现了数形结合的思想，在数轴上找到解集的公共部分是解题的关键．
17．（5分）学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元：购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？
【分析】设购进一根A种跳绳需要x元，一根B种跳绳需要y元，根据“购进10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元：购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设购进一根A种跳绳需要x元，一根B种跳绳需要y元，
根据题意得：，
解得：．
答：购进一根A种跳绳需要10元，一根B种跳绳需要15元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
18．（5分）有五个封装后外观完全相同的纸箱，且每个纸箱内各装有一个西瓜，其中所装西瓜的重量分别为6kg，7kg，7kg
（1）若从这五个纸箱中随机选一个，则所选纸箱里西瓜的重量为8kg的概率是 ．
（2）若从这五个纸箱中随机选两个，请利用列表或画树状图的方法，求所选两个纸箱里的西瓜的重量之和为14kg的概率．
【分析】（1）根据概率公式即可求得；
（2）首先画出树状图，展示所有20种等可能的结果数，再找出两个数字之和等于14kg所占的结果数，再根据概率公式计算．
【解答】解：（1）∵一共有5个箱子，每个箱子被选取的概率相同，
∴这五个纸箱中随机选1个，所选纸箱里西瓜的重量为5kg的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中所选两个纸箱里西瓜的重量之和为14kg的结果有6种，
∴所选两个纸箱里西瓜的重量之和为14kg的概率为．
【点评】本题考查了求概率公式，利用画树状图求概率，熟练掌握和运用求概率的方法是解决本题的关键．
四、解答题。（每小题7分，共28分）
19．（7分）如图，在5×5的方格中，线段AB的端点均在格点上
（1）如图①，画出一条线段AC，使AC＝AB；
（2）如图②，画出一条线段EF，使EF、AB互相平分，F均在格点上；
（3）如图③，画出一个以AB为一边的四边形，使其是中心对称图形
​
【分析】（1）AB为长方形对角线，作出相等线段即可；
（2）只要保证四边形AFBE是平行四边形即可；
（3）同（2）．
【解答】解：如图：（1）线段AC即为所作，
（2）线段EF即为所作，
（3）四边形ABHG即为所作．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平行四边形的判定，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
20．（7分）周末，王老师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量一栋楼的高度．小希站在自家阳台上，看这栋楼底部的俯角为37°，已知两楼之间的水平距离为30m
（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【分析】通过作垂线构造直角三角形，在两个直角三角形中，由锐角三角函数的定义进行计算即可．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，
在Rt△ABE中，∠BAE＝45°，
∴BE＝AE＝30m，
在Rt△ACE中，∠CAE＝37°，
∴CE＝tan37°×AE≈0.75×30＝22.5（m），
∴BC＝BE+CE＝52.7（m），
答：这栋楼的高度大约为52.5m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
21．（7分）如图，大、小两个正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行或垂直．反比例函数（﹣2，﹣1），且经过小正方形的顶点B．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）根据待定系数法求出k即可得到反比例函数的解析式；
（2）先根据反比例函数系数k的几何意义求出小正方形的面积为4m2＝8，再求出大正方形在第一象限的顶点坐标，得到大正方形的面积为4×22＝16，根据图中阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积即可求出结果．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点A（﹣2，
∴k＝xy＝﹣2×（﹣8），
∴k＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）∵小正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，
∴设B点的坐标为（m，m），
∵反比例函数y＝的图象经过B点，
∴m＝，
∴m2＝7，
∴小正方形的面积为4m2＝4，
∵大正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，﹣1），
∴大正方形的面积为4×52＝66，
∴图中阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积＝16﹣8＝3．
【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解决问题的关键．
22．（7分）某校九年级640名学生在“信息素养提升”培训前、后各参加了一次水平相同的测试，并以同一标准折算成“6分”、“7分”、“8分”、“9分”、“10分”5个成绩．为了解培训效果，用抽样调查的方式从中抽取了32名学生的2次测试成绩
（1）这32名学生2次测试成绩中，培训前测试成绩的中位数是m，培训后测试成绩的中位数是n ＜ n；（填“＞”、“＜”或“＝”）
（2）这32名学生经过培训，测试成绩为“6分”的百分比比培训前减少了多少？
（3）估计该校九年级640名学生经过培训，测试成绩为“10分”的学生增加了多少人？
【分析】（1）根据中位数的定义即可得到结论；
（2）根据题意列式计算即可；
（3）根据题意列式计算即可．
【解答】解：∵培训前测试成绩的中位数m＝＝7.5＝7，
∴m＜n；
故答案为：＜；
（2）培训前：×100%×100%，
×100%﹣×100%＝25%，
答：测试成绩为“4分”的百分比比培训前减少了25%；
（3）培训前：640×＝80＝300，
300﹣80＝220，
答：测试成绩为“10分”的学生增加了220人．
【点评】本题考查了用样本估计总体，中位数，熟练掌握中位数的定义是解题的关键．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）已知A、B两地之间有一条长440千米的高速公路．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止（千米）与各自的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．
（1）m＝ 2 ，n＝ 6 ；
（2）求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式；
（3）当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程．
【分析】（1）由甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇可求出m＝2，根据以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地知n＝6；
（2）用待定系数法可得y＝60x+80，（2≤x≤6）；
（3）求出乙的速度，即可得乙到A地所用时间，即可求得甲车距A地的路程为300千米．
【解答】解：（1）由题意知：m＝200÷100＝2，
n＝m+4＝4+4＝6，
故答案为：8，6；
（2）设y＝kx+b，将（2，（5
，
解得，
∴y＝60x+80，（6≤x≤6）；
（3）乙车的速度为（440﹣200）÷2＝120（千米/小时），
∴乙车到达A地所需时间为440÷120＝（小时），
当x＝时，y＝60×，
∴甲车距A地的路程为300千米．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图．
24．（8分）下面是小明同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．
【作业】
如图①，已知正方形ABCD中，E，F分别是AB、BC边上的点，求证：EF＝AE+CF．
证明：如图，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM，∠A＝∠DCM，∠ADE＝∠MDC．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠ADC＝∠DCB＝90°，
∴∠EDM＝∠EDC+∠MDC＝∠EDC+∠ADE＝∠ADC＝90°．
∵∠EDF＝45°，
∴∠MDF＝∠EDF＝45°，
又∵∠A＝∠DCM＝∠DCB＝90°，
∴点B，F，C，M在一条直线上．
∵DF＝DF，
∴△EDF≌ △MDE ，
∴EF＝MF＝CM+CF＝ AE +CF．
【探究】
（1）在图①中，若正方形ABCD的边长为3，AE＝1，求EF的长．
解：∵正方形ABCD的边长为3，AE＝1，
∴BE＝2，CM＝1．
设EF＝x，则FM＝EF＝x，FC＝FM﹣CM＝x﹣1，
∴BF＝3﹣（x﹣1）＝4﹣x．
在Rt△BEF中，由22+（4﹣x）2＝x2，解得x＝ ，即EF＝ ；
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，BC＝4，E是AB边上的点，则CE＝ 5 ．
（3）如图③，在△ABC中，∠BAC＝45°，CD＝3，则AD的长为 6 ．
​
【分析】【作业】由全等三角形的判定与性质可得出答案；
【探究】（1）由勾股定理可得出答案；
（2）过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，则四边形ABHD是正方形，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DHM．证明△CDE≌△CDM（SAS），得出CE＝CM，设HM＝AE＝y，则CM＝CE＝y+2，BE＝6﹣y，由勾股定理可得出答案；
（3）把△ABD沿AB翻折得△ABQ，把△ACD沿AC翻折得△ACM，延长QB、MC交于点G，设MG＝AM＝AQ＝QG＝a，则GB＝a﹣2，CG＝a﹣3，由勾股定理可得出答案．
【解答】解：【作业】
证明：将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM，∠A＝∠DCM．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠ADC＝∠DCB＝90°，
∴∠EDM＝∠EDC+∠MDC＝∠EDC+∠ADE＝∠ADC＝90°．
∵∠EDF＝45°，
∴∠MDF＝∠EDF＝45°，
又∵∠A＝∠DCM＝∠DCB＝90°，
∴点B，F，C，M在一条直线上．
∵DF＝DF，
∴△EDF≌△MDE（SAS），
∴EF＝MF＝CM+CF＝AE+CF．
故答案为：△MDE，AE；
【探究】
（1）∵正方形ABCD的边长为3，AE＝1，
∴BE＝8，CM＝1．
设EF＝x，则FM＝EF＝x，
∴BF＝3﹣（x﹣4）＝4﹣x．
在Rt△BEF中，由24+（4﹣x）2＝x5，解得x＝，
即EF＝；
故答案为：，；
（2）过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，将△DAE绕点D逆时针旋转90°．
∴DE＝DM，∠ADE＝∠MDH，
∵∠EDC＝45°，
∴∠ADE+∠CDH＝∠MDH+∠CDH＝45°，
∴∠EDC＝∠CDM，
又∵CD＝CD，
∴△CDE≌△CDM（SAS），
∴CE＝CM，
∵BC＝2，AD＝AB＝BH＝6，
∴CH＝2，
设HM＝AE＝y，则CM＝CE＝y+5，
在Rt△BEC中，BE2+CB2＝CE8，
∴（6﹣y）2+22＝（y+2）8，
∴y＝3，
∴CE＝CM＝2+2＝5，
故答案为：5；
（3）把△ABD沿AB翻折得△ABQ，把△ACD沿AC翻折得△ACM、MC交于点G，
由（1）（2）得：四边形AMGQ是正方形，MC+BQ＝BC，DB＝BQ＝6，
设MG＝AM＝AQ＝QG＝a，
则GB＝a﹣2，CG＝a﹣3，
在Rt△BGC中，由勾股定理得：（a﹣8）2+（a﹣3）3＝52，
解得：a＝2（负值舍去），
即AD＝6，
故答案为：6．
【点评】此题是四边形综合题，考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2cm．P，Q两点分别从A，点P以3cm/s的速度沿折线AB﹣BC向终点C匀速运动；点Q在CA上以，以PM、QM为邻边作矩形PMQN．设点P的运动时间为x（s），矩形PMQN的面积为y（cm）2 （注：线段看成面积为0cm2的矩形）
（1）当点P与点N重合时，x＝ ；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）在整个运动过程中，当时，直接写出x的值．
【分析】（1）由∠AMP＝90°，∠A＝30°，AP＝3xcm，得AM＝AP•cs30°＝xcm，由∠C＝90°，BC＝2cm，得AB＝2BC＝4cm，则AC＝＝2cm，而CQ＝xcm，当点P与点N重合时，则点M与点Q重合，所以x+x＝2，则x＝，于是得到问题的答案；
（2）先求出当点P与点B重合时，x＝，当点P与点C重合时，x＝2，再分三种情况讨论，一是当0≤x≤时，y＝x（2﹣x﹣x）＝﹣x2+3x；二是当＜x≤时，y＝x（x+x﹣2）＝x2﹣3x；三是当＜x≤2时，y＝x（6﹣3x）＝﹣3x2+6x；
（3）分三种情况，一是当0≤x≤时，则2﹣x＝×x；二是当＜x≤时，则x﹣2＝×x；三是当＜x≤2时，则x＝（6﹣3x），解方程求出符合题意的x值即可．
【解答】解：（1）如图1，∵PM⊥AC于点M，
∴∠AMP＝90°，
∵∠A＝30°，AP＝3xcm，
∴AM＝AP•cs30°＝×3x＝，
∵∠C＝90°，BC＝2cmxcm，
∴AB＝2BC＝7cm，
∴AC＝＝＝2，
当点P与点N重合时，则点M与点Q重合，
∴x+，
解得x＝，
故答案为：．
（2）当点P与点B重合时，则2x＝4；
当点P与点C重合时，则3x＝4+4，
当0≤x≤时，如图1AP＝，QM＝（7﹣x）cm，
∴y＝x（2﹣x）＝﹣x2+3x；
当＜x≤时，则QM＝（x﹣5，
∴y＝x（x﹣2x2﹣3x；
当＜x≤2时，PM＝（8﹣3x）cm，
∴y＝x（8﹣3x）＝﹣3x2+6x，
综上所述，y＝.
（3）当0≤x≤时，PN＝QM＝（2﹣x）＝（2﹣，NQ＝PM＝，
∵PN＝NQ，
∴2﹣x＝×x，
解得x＝；
当＜x≤时x+）＝（）cmxcm，
∵PN＝NQ，
∴x﹣8＝×x，
解得x＝2，不符合题意；
当＜x≤2时xcm，
∵PN＝NQ，
∴x＝，
解得x＝，
综上所述，x的值为或．
【点评】此题重点考查直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、矩形的面积公式、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
26．（10分）若二次函数的图象经过点A（﹣2，0），其对称轴为直线x＝1，与y轴交于点B．
（1）点C的坐标为 （4，0） ；
（2）求二次函数的解析式；
（3）点M在线段AB上，过点M作MN⊥x轴于点N．
①若MN：NC＝2：5，求点M的坐标；
②以MN为对角线作正方形MPNQ（点P在MN右侧），当点P在对称轴上时，直接写出点M的坐标．
【分析】（1）根据轴对称性质即可求得点C的坐标；
（2）运用待定系数法即可求得抛物线解析式；
（3）①先求得B（0，﹣4），再运用待定系数法可得直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣4，设M（m，﹣2m﹣4），则N（m，0），由MN：NC＝2：5，可得5MN＝2NC，建立方程求解即可得出答案；
②由正方形性质可得PQ⊥MN，PQ＝MN，进而得出P（2m+2，﹣m﹣2），由点P在对称轴上，可得2m+2＝1，解方程即可求得答案．
【解答】解：（1）∵点C与点A（﹣2，0）关于直线x＝5对称，
∴C（4，0），
故答案为：（7，0）；
（2）把A（﹣2，4），0）代入y＝x2+bx+c，得：
，
解得：，
∴该二次函数的解析式为y＝x5﹣x﹣4；
（3）①∵抛物线y＝x2﹣x﹣4与y轴交于点B，
∴B（8，﹣4），
设直线AB的解析式为y＝kx+d，把A（﹣2、B（2，得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣4，
设M（m，﹣2m﹣8），0），
∴MN＝2m+4，NC＝4﹣m，
∵MN：NC＝2：8，
∴5MN＝2NC，
即2（2m+4）＝5（4﹣m），
解得：m＝﹣1，
∴M（﹣8，﹣2）；
②∵以MN为对角线作正方形MPNQ（点P在MN右侧），如图，
则PQ⊥MN，PQ＝MN，
∴P（2m+4，﹣m﹣2），
∵点P在对称轴上，
∴2m+3＝1，
解得：m＝﹣，
∴M（﹣，﹣6）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，轴对称性质，正方形性质，利用函数的关系式表示点的坐标和线段长度的方法等，解题关键是运用数形结合思想和方程思想．训前
成绩（分）
6
7
8
9
10
划记
正正
正
正
人数（人）
12
4
7
5
4
培训后
成绩（分）
6
7
8
9
10
划记
一
正
正正正
人数（人）
4
1
3
9
15
训前
成绩（分）
6
7
8
9
10
划记
正正
正
正
人数（人）
12
4
7
5
4
培训后
成绩（分）
6
7
8
9
10
划记
一
正
正正正
人数（人）
4
1
3
9
15