江西省吉安市七校联盟2022-2023学年八年级下学期期中数学试题（解析版）

这是一份江西省吉安市七校联盟2022-2023学年八年级下学期期中数学试题（解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．
【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形，解题的关键是根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．
2. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式得出不等式的解集，再在数轴上表示即可．
【详解】，
，
．
故选B．
【点睛】本题考查了解不等式的问题，掌握解不等式的方法是解题的关键．更多优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 3. 如图，将△ABC沿BC方向平移1cm得到对应的△A′B′C′．若B′C=2cm，则BC′的长是（ ）
A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm
【答案】C
【解析】
【分析】据平移的性质可得BB′=CC′=1，列式计算即可得解．
【详解】解：∵△ABC沿BC方向平移1cm得到△A′B′C′，
∴BB′=CC′=1cm，
∵B′C=2cm，
∴BC′= BB′+ B′C+CC′=1+2+1=4（cm）．
故选：C．
【点睛】本题考查了平移的性质，熟记性质得到相等的线段是解题的关键．
4. 若一次函数的图象经过第一、二、四三象限，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】运用一次函数的图像和性质解答即可；
【详解】一次函数的图象经过第一、二、四三象限
解得：，
故选：D
【点睛】该题主要考查了一次函数所过象限，解答该题的关键是根据函数图像经过的象限确定一次函数中参数的范围.
5. 如图，在中，平分，，垂足为．若，，，则的面积为（ ）
A. B. 3C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】作 于 ，如图，根据角平分线定理得到 ，再利用三角形面积公 式 ， 计算可求解；
【详解】作 于 ，如图，
∵ 是 中 的角平分线，，，
∴，
∵，
∴
故选A
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，三角形的面积，运用角平分线的性质求解的长是解题的关键
6. 如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的边长为4，点在第二象限内，将沿射线的方向平移后得到，平移后点的横坐标为，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据等边三角形的性质得出A的坐标，进而利用平移规律解答即可．
【详解】解：如图，过点A作AT⊥OB于T，过点A′作A′J⊥AT交AT的延长线于J．
∵等边三角形△OAB边长为4，AT⊥OB，
∴OT=BT=2，AT=2，∠OAT=∠OAB=30°，
∴点A坐标为（-2，2），B（0，4），
∵平移后点A'的横坐标为6，
∴JT=6
即AJ=8，
在Rt△AJA′中，∵
∴
又
∴
∴JA′= 8(负值舍去)，
∴点A向右平移8个单位，再向下平移8个单位可得点A'，
∴由此可得，点B'的坐标为（8，-4），
故选：B．
【点睛】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
二、填空题（每题3分，共18分）
7. 命题“若ac＜bc，则a＜b”是_____命题．（填“真”或“假”）
【答案】假
【解析】
【分析】当c＜0时，a＞b，即可判断真假．
【详解】解： 当ac＜bc，c＜0时，a＞b，
∴命题“若ac＜bc，则a＜b”是假命题，
故答案为：假．
【点睛】本题主要考查命题真假的判断，给字母赋值范围是解题的关键．
8. 在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到点的坐标是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减，列式计算即可得解．
【详解】解：∵点向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，
∴，，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
9. 某种商品的进价为每件元，商场按进价提高后标价，为增加销量，准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至多可以打_______折．
【答案】八
【解析】
【分析】设打x折，根据题意得出不等式，求出不等式的解集即可．
详解】解：设打x折，根据题意得：
100（1+50%）•x≥100（1+20%），
解得：x≥8，
即至多打8折，
故答案为：八．
【点睛】此题考查一元一次不等式的应用，能根据题意列出不等式是解题的关键．
10. 已知关于，的方程组的解满足不等式，则的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】运用等式的基本性质，，得，求解得答案．
【详解】解：
，得
∴
∴ ．
故答案为：.
【点睛】本题考查等式的基本性质，一元一次不等式的求解；理解等式的基本性质是解题的关键．
11. 将一副三角板和如图（1）放置，其中，，，与共线，将沿方向平移，当经过的中点时，直线交于点[如图（2）]，若，则此时线段的长度为___________．
【答案】
【解析】
【分析】过 作 于 ，，，，得出，根据所对直角边等于斜边的一半得出，由点是的中点，得出，再根据勾股定理即可得；
【详解】∵，
点是的中点，
过 作 于 ，
故答案为：
【点睛】该题主要考查了直角三角形所对直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识点，解答的关键是掌握这些知识点并能够熟练运用
12. 如图，平行四边形中，，，∠，点是的中点，点在的边上，若为等腰三角形，则的长为__________．
【答案】或或6
【解析】
【分析】根据点P所在的线段分类讨论，再分析每种情况下腰的情况，然后利用直角三角形的性质和勾股定理分别求值即可．
【详解】解：①当点P在AB上时,由∠ABC=120°,此时只能是以∠PBE为顶角的等腰三角形，BP=BE，过点B作BF⊥PE于点F，如下图所示；
∴∠FBE=∠ABC=60°，EP=2EF
∴∠BEF=90°－∠FBE=30°
∵，点是的中点
∴BE=
在Rt△BEF中，BF=
根据勾股定理：EF=
∴EP=2EF=；
②当点P在AD上时，过点B作BF⊥AB于F，过点P作PG⊥BC，如下图所示
∵∠ABC=120°
∴∠A=60°
∴∠ABF=90°－∠A=30°
在Rt△ABF中AF=，BF=
∴BP≥BF＞BE，EP≥BF＞BE
∴此时只能是以∠BPE为顶角的等腰三角形，BP=PE，
∴PG=BF=，EG=
根据勾股定理：EP=；
③当点P在CD上时，过点E作EF⊥CD于F，过点B作BG⊥CD
由②可知：BE的中垂线与CD无交点，
∴此时BP≠PE
∵∠A=60°，四边形ABCD为平行四边形
∴∠C=60°
在Rt△BCG中，∠CBG=90°－∠C=30°，CG=
根据勾股定理：BG=
∴BP≥BG＞BE
∵EF⊥CD，BG⊥CD，点E为BC的中点
∴EF为△BCG的中位线
∴EF=
∴此时只能是以∠BEP为顶角的等腰三角形，BE=PE=6．
综上所述：的长为或或6．
故答案为：或或6
【点睛】此题考查的是等腰三角形的性质、直角三角形的性质和勾股定理，掌握三线合一、30°所对的直角边是斜边的一半、利用勾股定理解直角三角形和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
三、解答题（每题6分，共30分）
13.
（1）解不等式：
（2）如图，在中，，垂足为，点为边上一点，交于点，且，，求证：是等腰直角三角形．
【答案】（1）
（2）见详解
【解析】
【分析】（1）先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1即可求出不等式的解集；
（2）先证明，得出，再根据即可求解；
【小问1详解】
去括号得，，
移项、合并同类项得，
系数化为1得，
故此不等式的解集为；
【小问2详解】
证明：
，
，
在和中，
，
，
，
是等腰直角三角形
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式和全等三角形的判定，解答此题时要注意当不等式的两边同时除以一个负数时，不等号的方向要改变，全等三角形判定方法要熟练
14. 解不等式组：，并利用数轴确定不等式组的解集．
【答案】，用数轴表示见解析.
【解析】
【分析】分别解两个不等式得到和，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集，然后利用数轴表示其解集.
【详解】
解①得，
解②得，
所以不等式组的解集为．
用数轴表示为：
【点睛】本题考查了一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.解集的规律：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到.
15. 如图，中，，，是腰的垂直平分线，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】根据等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，计算即可．
【详解】∵，，是腰的垂直平分线，
∴，，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
16. 如图，直线l1：y＝2x﹣2与x轴交于点D，直线l2：y＝kx+b与x轴交于点A，且经过点B（3，1），直线l1，l2交于点C（m，2）．
（1）求m的值；
（2）求直线l2的解析式；
（3）根据图象，直接写出kx+b＜2x﹣2的解集．
【答案】（1）2；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）根据点在直线直线上，可以求得的值；
（2）根据直线过点和点，利用待定系数法即可求得直线的解析式；
（3）根据图象可得，在点的右侧，直线在直线的上方，从而可以直接写出的解集．
【详解】解：（1）把代入，
得，
解得，
即的值是2；
（2）把，代入，得
，
解得，
直线的解析式为；
（3）由图象可得：的解集是．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数与一元一次不等式的关系，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
17. 将绕点逆时针旋转一个角度得到，点，的对应点分别为，．

（1）若，如图1，连接，试判断的形状，并说明理由；
（2）若点恰好落在边上，如图2，且点，，在同一条直线上，，求的度数．
【答案】（1）等边三角形，见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质得到，，然后证明出是等边三角形；
（2）首先根据旋转的性质得到，，，，
进而得到，然后利用三角形内角和定理求解即可．
【小问1详解】
是等边三角形，
理由如下：
将绕点逆时针旋转一个角度得到，
，，
是等边三角形；
【小问2详解】
将绕点逆时针旋转一个角度得到，
，，，，
，，
，
，
．
【点睛】此题考查了旋转的性质，等边三角形的判定，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
四、解答题（每题8分，共24分）
18. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）画出△ABC向上平移4个单位长度后所得到△A1B1C1；
（2）画出△DEF绕点O按顺时针方向旋转90°后所得到的△D1E1F1；
（3）△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形是轴对称图形吗？如果是，请直接写出对称轴所在直线的解析式．
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）是，y=x
【解析】
【分析】（1）根据平移变换点的坐标的变化规律在网格中确定出点A1、B1、C1位置顺次连接即可；
（2）根据旋转的性质在网格中确定出点D1、E1、F1位置顺次连接即可；
（3）根据轴对称图形的概念确定对称轴，然后再求对称轴所在直线的解析式．
【详解】解：（1）见下图；
（2）见下图；
（3）△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形是轴对称图形，对称轴为直线y=x和直线y=-x-2．
19. 如图，△ABC中，AE=BE，∠AED =∠ABC.
(1)求证：BD平分∠ABC；
(2)若AB = CB，∠AED =4∠EAD，求∠C的度数.
【答案】（1）见解析（2）54°
【解析】
【分析】（1）先根据AE=BE得到∠ABE=∠BAE，再由∠AED=∠ABC得到∠BAE=∠CBD，即可得到∠ABE=∠CBD，故可求解；
（2）先求出，再求出∠BAE=，从而求出∠BAD，再根据AB=CB求∠C.
详解】（1）证明：∵AE=BE
∠ABE=∠BAE
∵∠AED=∠ABC 而∠AED=∠ABE+∠BAE，∠ABC=∠ABE+∠CBD
∴∠BAE=∠CBD
∴∠ABE=∠CBD，即 BD 平分∠ABC.
（2）解：若 AB=CB，由（1）知 BD 平分∠ABC
∴BD⊥AC
∴∠EDA=90°
∴∠AED+∠EAD=90°
∵∠AED=4∠EAD
∴
∴∠BAE=
∴∠BAD=36°+18°=54°
又∵AB=CB
∴∠C=∠BAD=54°
【点睛】此题主要考查等腰三角形内的角度求解，解题的关键是熟知等腰三角形的性质.
20. 阅读材料：解分式不等式＜0
解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为：①或②
解①得：无解；
解②得：﹣2＜x＜1
所以原不等式的解集是﹣2＜x＜1
请仿照上述方法解下列不等式：
（1）
（2）（x+2）（2x﹣6）＞0．
【答案】（1）-＜x≤2；（2）x＞3或x＜﹣2
【解析】
【分析】（1）把分式不等式转化为不等式（组）即可解决问题．
（2）把整式不等式转化为不等式（组）即可解决问题．
【详解】（1）原不等式可转化为：①或②
解①得无解，
解②得﹣＜x≤2，
所以原不等式的解集是﹣＜x≤2；
（2）原不等式可转化为：①或②
解①得x＞3，
解②得x＜﹣2，
所以原不等式的解集是x＞3或x＜﹣2．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，分式不等式以及整式等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题.
五、解答题（每题9分，共18分）
21. 某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；
（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么有哪几种购买方案？
【答案】（1）篮球的单价为120元，足球的单价为90元
（2）学校一共有四种购买方案：方案一：篮球30个，足球20个；方案二：篮球31个，足球19个；方案三：篮球32个，足球18个；方案四：篮球33个，足球17个
【解析】
【分析】（1）根据购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，可以列出相应的不等式组，从而可以求得篮球数量的取值范围，然后即可写出相应的购买方案．
【小问1详解】
解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，
由题意可得：，解得，
答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元；
【小问2详解】
解：设采购篮球m个，则采购足球为（50-m）个，
∵要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，
∴，
解得30≤x≤33，
∵x为整数，
∴x的值可为30，31，32，33，
∴共有四种购买方案，
方案一：采购篮球30个，采购足球20个；
方案二：采购篮球31个，采购足球19个；
方案三：采购篮球32个，采购足球18个；
方案四：采购篮球33个，采购足球17个．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组．
22. 如图1，在中，，，点，分别在边，上，且，连接．现将绕点顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接，，．
（1）当时，如图2，求证：；
（2）当时，如图3，延长交于点，求证：垂直平分；
（3）在旋转过程中，当的面积最大时，直接写出此时旋转角的度数和的面积．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3），
【解析】
【分析】（1）利用 “”证得即可得到结论；
（2）利用 “”证得，推出，计算得出，利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论；
（3）观察图形，当点D在线段的垂直平分线上时，的面积取得最大值，利用等腰直角三角形的性质结合三角形面积公式即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意：，，，
，
，
在和中，
，
，
；
【小问2详解】
解：根据题意：，，，
在和中，
，
，
，
，且，
，
，
，
，，，
，，
，
，
是线段的垂直平分线；
【小问3详解】
解：中，边长是定值，则边上的高取最大值时的面积有最大值，
当点在线段的垂直平分线上时，的面积取得最大值，如图：
，，，于，
，，
，，
的面积的最大值为：
，旋转角．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
六、解答题
23. 对于平面直角坐标系中的线段及点，给出如下定义：
若点满足，则称为线段的“轴点”，其中，当时，称为线段的“远轴点”；当时，称为线段的“近轴点”．
（1）如图1，点，的坐标分别为，，则在，，，中，线段的“近轴点”是________．
（2）如图2，点的坐标为，点在轴正半轴上，且
①若为线段的“远轴点”，直接写出点的横坐标的取值范围________；
②点为轴上的动点（不与点重合且），若为线段的“轴点”，当线段与的和最小时，求点的坐标．
【答案】（1），
（2）①或；②
【解析】
【分析】1）先画出等边，，再求出点，的坐标，进而可得答案；
（2）①先画出等边，，再求出点，的坐标，进而可得答案；
②先判断出点Q在与的垂直平分线的交点处时，线段与的和最小，再画出相关图形求解即可．
【小问1详解】
（1）如图，作等边，，
∵点，的坐标分别为，，
∴，，
在Rt中，，
∴点，
同理可得：，
当点P在线段上时，点P是“近轴点”，
∴和是“近轴点”，
故答案为：，；
【小问2详解】
（2）①如图2-1，
以为边作等边，，
设，则，
∵在Rt中，，
∴，
解得，（舍负），
∴，
∵在等边中，
∴，，
∴，
∴点K的坐标为，
同理可得，
若P为线段的“远轴点”，
∴点P的横坐标x的取值范围为或．
故答案为：或．
②如图2-2，由题意点Q在线段的垂直平分线上．连接，．
∵点Q在的垂直平分线上，
∴，
∴，
根据垂线段最短可知：当A，Q，C共线且时，的值最小，最小值为线段的长，此时点Q就是的垂直平分线与轴的交的，
∵′在的垂直平分线上，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵点A的坐标为，
∴，
∴，
∴当点Q的坐标为时，的值最小,
故答案为：．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，的特殊性质、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题．