福建省泉州市鲤城区培元中学2023-2024学年八年级上学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份福建省泉州市鲤城区培元中学2023-2024学年八年级上学期开学考试数学试题（解析版），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如图，在中，，平分，于E，则下列结论：
①平分；②；
③平分；④，其中正确的有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】先运用角平分线性质得到，证明，得到，再运用勾股定理判断即可；
【详解】解：，AD平分，于E，
又，
,
平分，
，
，又，
,
,
正确的有①②④，更多优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 故选择：B
【点睛】本题主要考查角平分线性质，直角三角形全等的判定和勾股定理，证明是解题的关键．
2. 如图：D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】延长BD与AC交于点E，由题意可推出BE=AE，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出BC=CE，AE=BE=2BD，根据BD=1，BC=3，即可推出AC的长度．
【详解】解：延长BD与AC交于点E，
∵∠A=∠ABD，
∴BE=AE，
∵BD⊥CD，
∴BE⊥CD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ECD，
∴∠EBC=∠BEC，
∴△BEC为等腰三角形，
∴BC=CE，
∵BE⊥CD，
∴2BD=BE，
∵BD＝1，BC＝3，
∴CE=3，
∴AE=BE=2，
∴AC=AE+EC=2+3=5
故答案为：A．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．
3. 如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用作图的基本原理，得到线段的关系证明即可．
【详解】解：如图，由作图可知，．
在和中，
，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了画一个角等于已知角的基本作图，正确理解作图的基本原理是解题的关键．
4. 下列命题中，真命题的是（ ）
A. 相等的角是对顶角B. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等
C. 垂直于同一条直线两条直线互相垂直D. 平行于同一条直线的两条直线互相平行
【答案】D
【解析】
【分析】根据对顶角的定义可判断A，根据平行线的性质可判断B，根据平行线的判定与平行公理的含义可判断C，D，从而可得答案．
【详解】解：相等的角不一定是对顶角，故A是假命题，不符合题意；
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故B是假命题，不符合题意；
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故C是假命题，不符合题意；
平行于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是对顶角的定义，平行线的性质，平行线的判定，熟记基础概念与平行线的判定方法与性质是解本题的关键．
5. 如图所示，AB⊥BC，CD⊥BC，垂足分别为B、C，AB=BC，E为BC的中点，且AE⊥BD于F，若CD=4cm，则AB的长度为（ ）
A. 4cmB. 8cmC. 9cmD. 10cm
【答案】B
【解析】
【详解】
∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABC=∠BCD=90°,
∴∠AEB+∠A=90°.
∵AE⊥BD,
∴∠BFE=90°,
∴∠AEB+∠FBE=90°,
∴∠A=∠FBE，
又∵AB=BC，
∴△ABE≌△BCD，
∴BE=CD=4cm，AB=BC,
∵E为BC的中点,
∴AB=BC=2BE=8cm．
故选：B．
【点睛】本题考查了等角的余角相等,三角形全等的判定与性质.运用等角的余角相等，得出∠A=∠FBE，从而得到，△ABE≌△BCD是解答本题的关键．
6. 如图，已知是的角平分线，过点作于点的面积为28，，则的长为（ ）
A. 2B. 6C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】过点D作于点F，再根据角平分线的性质和等高三角形的面积比等于底的比即可解得.
【详解】解：如解图，过点D作于点F.
是的平分线，.
的面积为的面积为16，
的面积为12，.
故选：B.
【点睛】本题考查三角形角平分线的性质，突破此类问题的关键是熟练掌握三角形的基本性质、三角形的简单计算”.
错因分析：1.对三角形中角平分线，垂线的性质掌握不清楚；2.在三角形中看到垂线，角平分线不能灵活地添加辅助线；3.不能将，转化成，属于容易题.
7. 在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线l1、l2相交于点P，若∠PAC＝x°，则∠1的度数是（ ）°．
A. 90﹣xB. xC. 90﹣xD. 60﹣x
【答案】A
【解析】
【分析】连接PB、PC，根据线段垂直平分线的性质得到PA＝PB，PB＝PC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案．
【详解】解：连接PB、PC，
∵边AB，BC的垂直平分线l1、l2相交于点P，
∴PA＝PB，PB＝PC，
∴∠PBA＝∠PAB，∠PBC＝∠PCB，PA＝PC，
∴∠PCA＝∠PAC＝x°，∠PAB+∠PCB＝∠PBA+∠PBC＝∠B，
∴2∠B+2x°＝180°，
解得，∠B＝90°﹣x°，
∴∠DPE＝180°﹣∠B＝90°+x°，
∴∠1＝180°﹣∠DPE＝（90﹣x）°，
故选：A．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
8. 如图，∠AOB=60°，OA=OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（ ）
A 平行B. 相交C. 垂直D. 平行、相交或垂直
【答案】A
【解析】
【分析】先判断出OA=OB，∠OAB=∠ABO，分两种情况判断出△AOC≌△ABD，进而判断出∠ABD=∠AOB=60°，即可得出结论．
【详解】∵∠AOB=60°，OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB，∠OAB=∠ABO=60°
①当点C在线段OB上时，如图1，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC=AD，∠CAD=60°，
∴∠OAC=∠BAD，
在△AOC和△ABD中，
，
∴△AOC≌△ABD，
∴∠ABD=∠AOC=60°，
∴∠DBE=180°﹣∠ABO﹣∠ABD=60°=∠AOB，
∴BD∥OA；
②当点C在OB的延长线上时，如图2，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC=AD，∠CAD=60°，
∴∠OAC=∠BAD，
在△AOC和△ABD中，
，
∴△AOC≌△ABD，
∴∠ABD=∠AOC=60°，
∴∠DBE=180°﹣∠ABO﹣∠ABD=60°=∠AOB，
∴BD∥OA，
故选A．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，求出∠ABD=60°是解本题的关键．
9. 如图，是中的角平分线， ，于点E，，，则是（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据角平分线的性质，可得，再根据三角形的面积公式，即可求得．
【详解】解：是中的角平分线，，于点E，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握和运用角平分线的性质是解决本题的关键．
10. 如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD是AC边上的高，若∠A=36°，则∠DBC的大小是（ ）
A. 18°B. 36°C. 54°D. 72°
【答案】A
【解析】
【分析】由等腰三角形的性质可求得底角的度数，再由垂直关系即可求得结果．
【详解】∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵BD是AC边上的高，
∴BD⊥AC，
∴∠DBC=90°-72°=18°．
故选A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，掌握等腰三角形的性质是关键．
11. 如图，已知AD∥BC，欲用“边角边”证明△ABC≌△CDA，需补充条件（ ）
A. AB = CDB. ∠B = ∠DC. AD = CBD. ∠BAC = ∠DCA
【答案】C
【解析】
【分析】由平行线的性质可知，再由AC为公共边，即要想利用“边角边”证明△ABC≌△CDA，可添加AD=CB即可．
【详解】∵AD∥BC，
∴．
∵AC为公共边，
∴只需AD=CB，即可利用“边角边”证明△ABC≌△CDA．
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定．理解“边角边”即为两边及其夹角是解答本题的关键．
12. 如图，，两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点也在格点上，且为等腰三角形，在图中所有符合条件的点的个数为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】分两种情况：①AB为等腰三角形的底边；②AB为等腰三角形的一条腰；画出图形，即可得出结论．
【详解】解：如图所示：
①AB为等腰三角形的底边，符合条件的点C的有5个；
②AB为等腰三角形的一条腰，符合条件的点C的有3个．
所以符合条件的点C共有8个．
故选：B．
【点睛】此题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键，注意数形结合的解题思想．
13. 如图，在△ABC中，PM、QN分别是线段AB、AC的垂直平分线，若∠BAC＝110°，则∠PAQ的度数是（ ）
A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得出AP＝BP，CQ＝AQ，求出∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ，再求出∠BAP+∠CAQ＝70°，再求出答案即可．
【详解】解：∵∠BAC＝110°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝70°，
∵PM、QN分别是线段AB、AC的垂直平分线，
∴AP＝BP，CQ＝AQ，
∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，
∴∠BAP+∠CAQ＝∠B+∠C＝70°，
∵∠BAC＝110°，
∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）＝110°﹣70°＝40°，
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质等知识点，能根据线段垂直平分线性质得出AP＝BP和AQ＝CQ是解此题的关键，注意：①线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，②等边对等角，③三角形内角和等于180°．
14. 如图，点E，C，F，B在同一条直线上，ACDF，EC＝BF，则添加下列条件中的一个条件后，不一定能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A. AC＝DFB. AB＝DEC. ∠A＝∠DD. ABDE
【答案】B
【解析】
【分析】先证明∠ACB＝∠DFE，EF＝BC，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【详解】解：∵AC//DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
∵EC＝BF，
∴EC+CF＝BF+CF，
即EF＝BC，
∴当添加AC＝DF时，可根据“SAS”判定△ABC≌△DEF；
当添加∠A＝∠D时，可根据“AAS”判定△ABC≌△DEF；
当添加AB∥DE时，∠B＝∠E，可根据“ASA”判定△ABC≌△DEF．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
15. 计算，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依据积的乘方法则和幂的乘方法则求解即可．
【详解】解：原式．
故选：A．
【点睛】本题主要考查幂的乘方，掌握相关法则是解题的关键．
16. 如图，面积为1的等边三角形中，分别是，，的中点，则的面积是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可以判断四个小三角形是全等三角形,即可判断一个的面积是．
【详解】∵分别是，，的中点,且△ABC是等边三角形,
∴△ADF≌△DBE≌△FEC≌△DFE,
∴△DEF的面积是．
故选D．
【点睛】本题考查等边三角形的性质及全等,关键在于熟练掌握等边三角形的特殊性质．
17. 图，面积为7的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且AB＝AE，则点E所表示的数为（ ）
A. B. C. 1+D. +2
【答案】C
【解析】
【分析】因为面积为7的正方形ABCD边长为，所以AB=，而AB=AE，得AE=，A点的坐标为1，故E点的坐标为+1．
【详解】∵面积为7的正方形ABCD为7，
∴AB=，
∵AB=AE，
∴AE=，
∵A点表示的数为1，
∴E点表示的数为+1，
故选：C．
【点睛】本题考查了数轴与实数、平方根的应用，关键是结合题意求出AB=AE=．
18. 如图，点F在正五边形的内部，为等边三角形，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据多边形内角和公式可求出∠ABC的度数，根据正五边形的性质可得AB=BC，根据等边三角形的性质可得∠ABF=∠AFB=60°，AB=BF，可得BF=BC，根据角的和差关系可得出∠FBC的度数，根据等腰三角形的性质可求出∠BFC的度数，根据角的和差关系即可得答案．
【详解】∵是正五边形，
∴∠ABC==108°，AB=BC，
∵为等边三角形，
∴∠ABF=∠AFB=60°，AB=BF，
∴BF=BC，∠FBC=∠ABC-∠ABF=48°，
∴∠BFC==66°，
∴=∠AFB+∠BFC=126°，
故选：C．
【点睛】本题考查多边形内角和、等腰三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握多边形内角和公式是解题关键．
19. 在实数0，﹣1，，3中，最大的数是（ ）
A. 0B. ﹣1C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】先估算的范围，再将四个实数比较大小即可．
【详解】解：，
，
最大的实数是3，
故选：D．
【点睛】本题主要考查无理数的估算，和实数的大小比较，解题的关键在于先求出无理数的范围．
20. 有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】观察数轴，找出a、b、c、d四个数的大概范围，再逐一分析四个选项的正误，即可得出结论．
【详解】解：由数轴上点的位置，得，
A．，故A不符合题意；
B．，故B不符合题意；
C．∵，
∴，故C符合题意；
D．，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了实数与数轴以及绝对值，观察数轴，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）
21. 计算：6a2b÷2ab=______．
【答案】3a
【解析】
【分析】直接利用整式除法运算法则计算得出答案．
【详解】6a2b÷2ab=3a．
故答案为3a．
【点睛】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
22. 已知则=____________.
【答案】6
【解析】
【分析】利用进行计算．
【详解】∵
∴．
故答案为：6．
【点睛】考查了同底数幂乘法计算法则，解题关键是逆向运用进行计算．
23. 如图，∠BAC=∠ABD，请你添加一个条件：_____，能使△ABD≌△BAC（只添一个即可）．
【答案】BD=AC（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题要判定△ABD≌△BAC，已知AB是公共边，∠BAC=∠ABD具备了一组边、一对角对应相等，故添加AC=BD后可以根据SAS判定△ABD≌△BAC．
【详解】解：∠BAC=∠ABD（已知），AB=BA（公共边），BD=AC，
∴△DAB≌△CBA（SAS）；
故答案为：BD=AC（答案不唯一）
24. 已知等边△ABC的边长是12，AD⊥BC，AD＝6，若点P在线段AD上运动，则AP+BP的最小值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】可以作BE⊥AC于点E，交AD于点P，根据△ABC是等边三角形，AD⊥BC，得∠DAC＝30°，所以PEAP，利用勾股定理求出BE的长，当BP⊥AC时，AP+BP＝PE+BP的值最小，由此得到答案．
【详解】解：如图，
作BE⊥AC于点E，交AD于点P，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴∠DAC＝30°，
∴PEAP，
∵△ABC是等边三角形，BE⊥AC，
∴∠ABE＝30°，
∴AEAB=6，
∴=6，
当BP⊥AC时，
AP+BP＝PE+BP的值最小6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，解决本题的关键是找到动点P的位置．
25. 已知，，则的值为________．
【答案】15
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法法则的逆用，可把变为，然后代入求值即可．
【详解】解：∵
∴．
故答案为：15
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键在熟练掌握同底数幂的计算法则．
26. 计算下列各题：
（1）______；（2）______；（3）_______；（4）______．
【答案】 ①. ②. ③. ④.
【解析】
【分析】（1）根据同底数幂相乘的运算法则求解即可；
（2）根据积的乘方运算法则求解即可；
（3）根据幂的乘方运算法则求解即可；
（4）根据同底数幂相除的运算法则求解即可．
【详解】解：（1）
（2）
（3）
（4）
故答案为，，，
【点睛】此题考查了同底数幂的乘法除法运算，积的乘方，幂的乘法等运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．
27. 命题“同旁内角互补，两直线平行”题设为_____________，结论为__________．
【答案】 ①. 同旁内角互补 ②. 两直线平行
【解析】
【分析】根据找命题题设和结论方法求解即可．
【详解】解：命题“同旁内角互补，两直线平行”题设为同旁内角互补，结论为两直线平行．
故答案为：同旁内角互补；两直线平行．
【点睛】本题考查写出命题的题设与结论，解答的关键是任何一个命题都可以写成“如果……，那么……”的形式，题设就是如果……，结论就是那么……．
28. 如图，中，H是高交点，且，则_____________．
【答案】45°##45度
【解析】
【分析】先证△BDH≌△ADC(AAS)，得BD=AD，从而得∠ABD=∠BAD，再因为∠ABD =90°，即可求得∠ABD度数，即∠ABC度数．
【详解】解：∵AD、BE是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠C+∠CBE=∠CBE+∠BHD=90°，
∴∠C=∠BHD，
在△BDH与△ADC中，
，
∴△BDH≌△ADC(AAS)
∴BD=AD，
∴∠ABD=∠BAD，
∵∠ABD =90°，
∴∠ABD =45°，即∠ABC =45°，
故答案为：45°．
【点睛】本题考查三角形的高，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形性质，证明△BDH≌△ADC是解题的关键．
29. 如图，于点，于点，且，若，则 ______度．
【答案】
【解析】
【分析】根据到角的两边的距离相等的点在角平分线上可得平分，再根据可得答案．
【详解】解：于点，于点，且，
平分，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上．
30. 如图，在△ABC中，，，边BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点E、D，则△ACE的周长为______．
【答案】16
【解析】
【分析】先根据线段垂直平分线的性质可得，通过观察图形可知周长等于，再根据已知条件代入数据计算即可得解．
【详解】∵是的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴的周长，
故答案是：．
【点睛】本题涉及到的知识点主要是线段垂直平分线的性质，能够灵活运用知识点将求三角形周长的问题进行转化是解题的关键．
31. 如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知BF=CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件______，使得△ABC≌△DEF．
【答案】∠A=∠D(答案不唯一)
【解析】
【详解】添加∠A=∠D．理由如下：
∵FB=CE，
∴BC=EF．
又∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE．
∴在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．
故答案为：∠A=∠D(答案不唯一)
32. 如图，在中，，，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转至，连接，若，则的最小值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】在上截取，作于，如图，先计算出，，，则，再在中计算出，，接着证明≌得到，然后利用勾股定理得到，然后根据二次函数的性质解决问题．
【详解】解：在上截取，作于，如图，
，，
，，，
，
在中，，，
线段绕点顺时针旋转至，
，，
，
在和中
，
≌，
，
在中，，
当时，有最小值，
的最小值为．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．构建与全等是解决此题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共55.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
33. 我们学过积的乘方法则（为正整数），请你用学过的知识证明它．
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】先根据幂的意义得到，再利用乘法交换律变为，最后变形为即可得证.
【详解】

.
【点睛】本题考查积的乘方，先把积中的每一个乘数分别乘方，再把所得的幂相乘，可以简记为，积的乘方等于乘方的积.
34. 已知：如图，D是△ABC的BC边的中点，，且DE=DF．
求证：△ABC是等腰三角形．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】先根据DE⊥AC，DF⊥AB，得出△DEC和△DFB是直角三角形，再根据HL得出Rt△BDE≌Rt△CDF，证出∠C＝∠B，从而判断出△ABC的形状．
【详解】证明：∵D是△ABC的BC边的中点
∴ BD=CD
∵ ，
∴ △BDE和△CDF是直角三角形
在Rt△BDE和Rt△CDF中
∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (HL)
∴ ∠B=∠C，
∴AB=AC，
∴ △ABC是等腰三角形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
35. 计算：.
【答案】
【解析】
【分析】根据单项式乘以多项式及积的乘方去括号后合并同类项即可.
【详解】原式
【点睛】本题考查的是整式的混合运算，掌握整式乘法的法则及积的乘法的法则是关键.
36. 如图，在和中，，．求证：．
【答案】证明见详解
【解析】
【分析】利用证明即可解决问题．
【详解】证明：在和中，
，
∴，
【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．
37. 如图，△ABC中，∠ABC=90°，AC=25cm，BC=15cm
(1)设点P在AB上,若∠PAC =∠PCA.求AP的长；
(2)设点M在AC上.若△MBC为等腰三角形，求AM的长.
【答案】（1）；（2）10，7，
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理求出AB，由∠PAC =∠PCA推出PA=PC，设PA=PC=x，则PB=20-X，再利用勾股定理求出x即可；
（2）过B作BN⊥AC，根据△MBC为等腰三角形分情况讨论，得出BC=CM，BC=BM，BM=CM三种情况，然后分别求AM出AM即可
【详解】解：（1）∵△ABC中，∠ABC=90°，AC=25cm，BC=15cm
∴
∵∠PAC =∠PCA
∴PA=PC
设PA=PC=x，则PB=20-X
在Rt∆PBC中
即
解得即PA= ；
（2）∵△MBC为等腰三角形
∴①当BC=CM时，此时有
∴AM=AC-CM=25-15=10；
②当BC=BM时，此时
如下图过B作BN⊥AC

∴BN=12
∴ 即
∴CN=9
∴CM=2CN=18
∴AM=25-18=7；
③当BM=CM时
∴∠MBC=∠MCB
又∠MBC+∠ABM=90°，∠MCB+∠BAC=90°
∴∠BAC=∠ABM
∴AM=BM
∴AM=CM= .
【点睛】本题主要考查了勾股定理得应用以及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形得性质是解题的关键.
38. 如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC=70°，将一个直角三角板的直角顶点放在点O处（∠DOE=90°）．
（1）如图①，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE= °；
（2）如图②，将直角三角板DOE绕点O转动，若OD恰好平分∠BOC，求∠AOE的度数。
【答案】（1）20；（2）55°
【解析】
【分析】（1）根据角的和差得出∠COE=∠DOE-∠BOC，代入求出即可；
（2）根据角平分线定义求出∠BOD =35°，再根据角的和差得出∠BOE=∠BOD+∠DOE=125°，再根据∠AOE=180°-∠BOE即可；
【详解】解：（1）如图①，∵∠BOC=70°，∠DOE=90°
∴∠COE=∠DOE-∠BOC=90°-70°=20°，
故答案为：20；
（2）∵OD恰好平分∠BOC，∠BOC=70°，
∴∠BOD =∠BOC=35°,
∴∠BOE=∠BOD+∠DOE=125°，
∴∠AOE=180°-∠BOE==180°-125°=55°
【点睛】本题考查了角平分线定义和角的计算，能根据图形和已知求出各个角的度数是解此题的关键．
39. 如图，在中，AB＝AC，点D是BC上一点，点E是AC上一点，且DEAD．若BAD＝55，B＝50，求DEC的度数．
【答案】115
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠C=50°，进而得到∠BAC=80°，由∠BAD=55°，得到∠DAE=25°，由DE⊥AD，进而求出结论．
【详解】∵AB=AC，
∴B=C，
∵，
∴C=50，
∴BAC=180﹣50﹣50=80，
∵BAD=55，
∴DAE=25，
∵DEAD，
∴ADE=90，
∴DEC=DAEADE=115．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，垂直定义，熟练应用等腰三角形的性质是解题的关键．
40. 已知：如图，，．
（1）求证：；
（2）求证：．

【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用证明；
（2）利用（1）的结论，易得，，进而可得．
【小问1详解】
证明：在和中，
∵，
∴；
【小问2详解】
证明∵，
∴，
∵，
∴，
则，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质和等角对等边是解答的关键．