广东省河源市紫金县柏埔中学2022-2023学年九年级下学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份广东省河源市紫金县柏埔中学2022-2023学年九年级下学期开学考试数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A. “世界杯新秀”姆巴佩发点球 100%进球
B. 任意购买一张车票，座位刚好挨着窗口
C. 三角形内角和为 180°
D. 叙利亚不会发生战争
【答案】C
【解析】
【分析】随机事件是指可能发生也可能不发生的事件，必然事件是指一定能发生的事件，不可能事件是指一定不发生的事件，根据以上定义逐个进行判断即可．
【详解】A．“世界杯新秀”姆巴佩发点球 100%进球是随机事件；
B．任意购买一张车票，座位刚好挨着窗口是随机事件；
C．三角形内角和为 180°是必然事件；
D．叙利亚不会发生战争是随机事件；
故选C．
【点睛】本题考查了对随机事件、必然事件、不可能事件的应用，能理解随机事件、必然事件、不可能事件的定义是解此题的关键．
2. 在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中绿球1个，红球1个，黑球2个，“从袋中任意摸出2个球，它们的颜色相同”这一事件是（ ）
A. 必然事件B. 随机事件C. 不可能事件D. 确定事件
【答案】B
【解析】
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】解：在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中绿球1个，红球1个，黑球2个，“从袋中任意摸出2个球，它们的颜色相同”这一事件是是随机事件．
故选：B．
【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即更多优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3. 下列函数表达式中，一定是二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如 (a、b、c是常数，)的函数，叫做二次函数进行分析即可．
【详解】解：A、是一次函数，故此选项不符合题意；
B、当时，是二次函数，故此选项不符合题意；
C、是二次函数，故此选项符合题意；
D、分母中含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
4. 已知二次函数y＝ax2﹣1的图象经过点（1，﹣2），那么a的值为（ ）
A. a＝﹣2B. a＝2C. a＝1D. a＝﹣1
【答案】D
【解析】
【分析】将点带入函数表达式即可求得a的值.
【详解】将点(1，-2)代入二次函数y=ax2-1得
a-1=-2，
解得a=-1.
故答案为D.
【点睛】本题考查的知识点是二次函数图像上点的坐标特征，解题关键是熟记二次函数图像点的坐标特征.
5. 如图，点A，B，C是上的三点，已知，那么的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据图形，利用圆周角定理求出所求角度数即可．
【详解】解：∵与都对，且，
∴；
故选D．
【点睛】本题考查的是圆周角定理的含义，熟记圆周角定理是解本题的关键．
6. 多项式x2﹣6x+4y2+4y+20的最小值是（ ）
A. 20B. 17C. 10D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据完全平方公式，对原多项式进行配方，进而即可求解．
详解】解：∵原式= x2﹣6x+9+4y2+4y+1+10
= （x﹣3）2+（2y+1）2+10
∴多项式x2﹣6x+4y2+4y+20的最小值为10，
故选C．
【点睛】本题主要考查多项式配方，掌握完全平方公式是解题的关键．
7. 如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C．使点B'恰好落在BC边上，∠BAC＝120°，且，则∠C的度数为（ ）
A. 18°B. 20°C. 24°D. 28°
【答案】B
【解析】
【分析】根据等边对等角可得：，由三角形外角的性质可得：，再根据旋转的性质得出，，利用三角形内角和定理及等量代换求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵将绕点A按逆时针方向旋转得到，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】题目主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，旋转的性质，三角形内角和定理等，理解题意，结合图形综合运用这些知识点是解题关键．
8. 已知一个正多边形的内角是120°，则这个正多边形的边数是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】设该正多边形为边形，根据多边形的内角和公式，代入求解即可得出结果．
【详解】解：设该正多边形为边形，由题意得：
，
解得：，
故选：D．
【点睛】题目主要考查多边形内角和，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
9. 代数式x2﹣4x+5的值（ ）
A. 恒为正B. 恒为负C. 可能为0D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用配方法将原式变形，进而得出答案．
【详解】解：，
，
，
代数式的值恒为正．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，解题的关键是正确配方．
10. 如图，在中，，为边上一动点（点除外），把线段绕着点沿着顺时针的方向旋转90°至，连接，则面积的最大值为（ ）
A. 16B. 8C. 32D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】过点作于，作于点，由勾股定理可求，由旋转的
性质可求，，由可证，可得，由三角形面积公式和二次函数性质可求解．
【详解】解：如图，过点作于，作于点，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵将线段绕点顺时针旋转90°得到线段，
∴，，
∴，且，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴
∵面积，
∴当时，面积的最大值为8，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a值为______．
【答案】
【解析】
【分析】把代入原方程，即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是0，
∴且，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
12. 已知点p(-m，2)与（-4，n）点关于原点对称，则的值是_______.
【答案】-6
【解析】
【详解】解：点p（-m，2）与（-4，n）点关于原点对称，∴-m=4，2=-n，∴m=-4，n=-2，∴m+n=-6．
13. 方程化一般式为__________．
【答案】
【解析】
【分析】直接移项，即可得到答案．
【详解】解：方程化一般式为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式，解题的关键是注意移项需要变号．
14. 方程的解是________
【答案】4或1.
【解析】
【分析】把（2x-5）看作一个整体，整理成，然后直接开平方求解即可．
【详解】∵，
∴2x−5=3或2x−5=−3，
解得x1=4,x2=1.
故答案为4或1.
【点睛】此题考查解一元二次方程-直接开平方法，解题关键在于掌握计算公式.
15. 如图，AB是半圆O的直径，E是弧BC的中点，OE交弦BC于点D.已知BC=8cm，DE=2cm，则AD的长为________cm.
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：连接AC，根据圆周角定理可得∠ACB=90°，先根据垂径定理结合勾股定理求得半径的长，即可得到AB的长，再根据勾股定理即可求得结果.
连接AC
∵AB是半圆O直径
∴∠ACB=90°
∵E是弧BC的中点
∴OD⊥BC
∴
∵
即
解得
则
∵∠ACB=90°，BC=8cm
∴
∴
考点：圆周角定理，垂径定理，勾股定理
点评：解答本题的关键是熟练掌握直径所对的圆周角是直角；垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧.
16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8．点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE，将△BDE绕点B按顺时针方向旋转一定角度（这个角度小于90°）后，点D的对应点D′和点E的对应点E′以及点A三个点在一直线上，连接CE′，则CE′=________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可求AB，DE，BE，BD的长，由旋转BD'，D'E'，BE'的长，根据勾股定理可得AE'的长，AD'的长，由△ABD'∽△BCE'可求CE'的长．
【详解】解：∵∠ACB=90°，BC=6，AC=8，
∴AB=10，
∵点D、E分别是边AB、BC的中点，
∴BD=5，BE=3，DE=AC=4，DE∥AC，
∴∠C=∠DEB=90°，
∵旋转，
∴∠ABD'=∠CBE'，BE'=BE=3，D'E'=DE=4，BD'=BD=5，∠BE'A=∠BED=90°．
在Rt△ABE'中，AE'=，
∴AD'=-4，
∵∠AE'B=∠ACB=90°，
∴A，C，E'，B四点共圆，
∴∠BCE'=∠BAE'且∠ABD'=∠CBE'，
∴△ABD'∽△CBE'，
∴，
∴CE'=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，四点共圆等知识，关键是灵活运用这些性质解决问题．
17. 中，，，，为内一个动点，则的最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP′C′，当点B、P、P′、C′在同一直线上时，最小，求此时的BC′即可．
【详解】解：将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP′C′，
由旋转可知，P′C′=PC，AP=AP′，∠PAP′=60°，∠CAC′=60°，
∴△PAP′是等边三角形，PP′=AP，
，
当点B、P、P′、C′在同一直线上时，最小，最小值为BC′长，
过点C′作C′M⊥AB，交BA延长线于点M，
∵∠CAC′=60°，，
∴∠C′AM=45°，AC′=，
∴AM=MC′=4，
∵，
∴BM=10，
BC′=，
故答案为：．
【点睛】本题考查费马点问题，通过旋转60°构造等边三角形，把求三条线段和最小问题转化为两点之间，线段最短问题是解题关键．
三、解答题（第18，19．20小题6分，第21，22，23小题9分，第24，25小题10分）
18. 若方程（c2＋a2）x＋2（b2-c2）x＋c2-b2=0有两个相等的实数根，且a，b，c是三角形ABC的三边，证明此三角形是等腰三角形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】先根据方程有两个相等的实数根得出△=0，再得出b、c的关系即可．
【详解】解:Δ=[2（b2-c2）]2-4（c2+a2）（c2-b2）=4（b2-c2）（b2-c2+a2+c2）=4（b+c）（b-c）（b2+a2）．
∵方程有两个相等实根．
∴Δ= 0，即4（b+c）（b-c）（b2+a2）=0．
∵a，b，c是三角形的三边，
∴b+c≠0，a2+b2≠0，
只有b-c=0，
解得b=c．
∴此三角形是等腰三角形．
【点睛】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．
19. （1）计算：．
（2）用配方法解方程：．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】（1）分别计算各项后合并即可；
（2）把常数项移到方程的右边后，方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，然后利用直接开平方法解方程即可．
【详解】解：（1）
（2）将方程，
变形为：，
配方，得：，
整理，得：，
开方，得：，
解得：，
【点睛】本题考查了实数的混合运算、用配方法解一元二次方程，正确化简二次根式、三次根式、熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解答本题的关键．
20. 已知是二次函数，求m值，并判断此抛物线开口方向，写出顶点坐标及对称轴．
【答案】m=-1， 开口向下，顶点坐标（），对称轴：直线.
【解析】
【分析】利用二次函数的定义：x的最高项的次数为2，二次项系数不为0求得m的值，再利用配方法求出二次函数的顶点坐标及对称轴即可.
【详解】由题意得，解得 m=-1，
∴
开口向下，顶点坐标（），对称轴：直线.
21. 2022年北京冬奥会上，中国短道速情队在200米混合团体接力项目上取得开门红，摘取中国代表团首金短道速滑比赛分为男子项目、女子项目、混合项目．男子项目分为500米单项、1000米单项、1500米单项、5000米接力，女子项目分为500米单项、1000米单项、1500米单项、3000米接力，混合项目为2000米混合团体接力．全部赛事结束后，小宋首先点播观看了短道速滑的混合项目，因为比赛非常精彩，他又决定在男子项目和女子项目中分别随机点播一项观看请利用画树状图或列表的方法，求他随机点播的项目均为相同单项的概率．（为方便表示，记四项男子项目分别为A、B、C、D，四项女子项目分别为a、b、c、d．）
【答案】他随机点播的项目均为相同单项的概率
【解析】
【分析】根据题意画树状图或列表列出所有等可能的情况，从中找出满足条件的结果，然后利用概率公式计算即可．
【详解】解：画树状图如图，列举所有等可能的比赛项目共有16种情况，其中相同单项只有3种，
他随机点播的项目均为相同单项的概率．
【点睛】本题考查画树状图或列表求概率，掌握画树状图或列表的方法，从树状图或表格中找出满足条件的情况是解题关键．
22. 在直径是52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度CD为16cm，求油面宽度AB的长．
【答案】48cm．
【解析】
【详解】试题分析：因为圆柱形油槽装入油后形成弓形，可以考虑用垂径定理解答．
试题解析：由题意得出：OC⊥AB于点D，
由垂径定理知，点D为AB的中点，AB=2AD，
∵直径是52cm，
∴OB=26cm，
∴OD=OC﹣CD=26﹣16=10（cm），
由勾股定理知，
BD==24（cm），
∴AB=48cm．
考点：1．垂径定理的应用；2．勾股定理．
23. 如图，点A坐标为，将点A绕原点O顺时针旋转90°得点，求的坐标．
【答案】点的坐标为
【解析】
【分析】作轴于B，轴于，可证明从而求出、的长即可写出的坐标．
【详解】解：作轴于B，轴于，如图，
点A坐标为，
，，
点A绕原点O顺时针旋转得点，
，，
，，
，
在和中
，
，
，，
点的坐标为．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化—旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的性质来求出旋转后的点的坐标，解决本题的关键是正确理解题意，添加正确的辅助线解决问题．
24. 如图，边长为2cm的等边△ABC的边BC在直线l上，两条距离为1cm的平行直线a和b垂直于直线l，直线a、b同时向右移动(直线a的起始位置在B点)，运动速度为1cm/s，直到直线a到达C点时停止.在a、b向右移动的过程中，记△ABC夹在a和b之间的部分的面积为S，求S与t的函数关系式.
【答案】 或
【解析】
【分析】依据a和b同时向右移动，分两种情况作图，再根据三角形的面积公式进行求解.
【详解】解：如图①，
当0≤t＜1时，BE＝t， ∵∠ABC=60°，∴DE＝
∴s＝S△BDE＝×t×t＝
如图②，
当1≤t＜2时，CE＝2−t，BG＝t−1，
∴DE＝（2−t），FG＝（t−1），
∴s＝S五边形AFGED＝S△ABC−S△BGF−S△CDE＝×2×−×（t−1）×（t−1）−×（2−t）×（2−t）＝
综上， 或.
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
25. 两个直角边为6的全等的等腰和中，按图1所示的位置放置，A与C重合，O与E重合．

（1）求图1中，A，B，D三点的坐标；
（2）固定不动，沿x轴以每秒2个单位长的速度向右运动，当D点运动到与B点重合时停止，设运动x秒后和的重叠部分面积为y，求y与x之间的函数关系式；
（3）当以（2）中的速度和方向运动，运动时间秒时运动到如图2所示的位置，求点G的坐标．
【答案】（1），，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由两个直角边为6的全等的等腰和可直接写出A，B，D三点的坐标；
（2）由题意可知，在运动过程中有两种情况，即点D在y轴左侧和点D在y轴右侧，在第一种情况中，重合部分为两个全等的直角梯形；在第二种情况中重合部分为等腰直角三角形，面积易求出；
（3）当运动时间为4秒时，即为（2）第二种情况，作求出坐标即可．
【小问1详解】
解：两个直角边为6的全等的等腰和中，
可得：，，；
【小问2详解】
当时，位置如图A所示，作，垂足为H，

可知：，，
，，
∴
当时，位置如图B所示：

可知：
与x的函数关系式为：；
【小问3详解】
图B中，作，垂足为H，

当时，，，
，
．
【点睛】本题考查三角形综合题和二次函数，关键是把运动问题和二次函数紧密联系，考虑问题要全面．