江苏省苏州市吴江区2022-2023学年八年级下学期期中数学试题（解析版）

2022~2023学年第二学期初二期中调研试卷数学本试卷由单选题、填空题和解答题三大题组成，共27题，满分130分，考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将姓名、学校、考场号、座位号、考试号填涂在答题卷相应的位置上．2．答题必须用0.5mm黑色墨水字笔写在答题卷指定的位置上，不在答题区域内的答一律无效，不得用其他笔答题．3．考生答题必须在答题卷上，答在试卷和草稿纸上一律无效．一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据中心对称图形的定义即可求解．【详解】中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转后能和原来的图形重合，B、C、D都不符合要求，是中心对称图形的只有A．故选：A．【点睛】本题考查了中心对称图形概念：在同一平面内，把一个图形绕一个点旋转，旋转后的图形能和原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．2. 下列调查中，适合采用抽样调查方式的是（ ）A. 调查你所在班级同学的视力情况 B. 调查黄河的水质情况C. 对旅客上飞机前的安检 D. 检查神舟十五号飞船的零部件状况【答案】B【解析】【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，但所费人力、物力和时间较少分析解答即可．【详解】解：A．调查你所在班级同学的视力情况，工作量比较小，适合全面调查；B．调查黄河的水质情况工作量非常大，适合抽样调查；更多优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 C．对旅客上飞机前的安检非常重要，适合全面调查；D．检查神舟十五号飞船的零部件状况非常重要，适合全面调查．故选B．【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．3. 若分式中的和都扩大3倍，那么分式的值（ ）A. 扩大3倍 B. 不变 C. 缩小9倍 D. 缩小3倍【答案】D【解析】【分析】当把分式中的和都扩大3倍得到，然后根据分式的基本性质化简得，据此可得答案．【详解】解：若分式中的和都扩大3倍，则，∴，∴分式的值缩小3倍，故选：D．【点睛】本题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变．4. 已知反比例函数，其图象在平面直角坐标系中可能是（　　）A. B. C D. 【答案】C【解析】【分析】根据反比例函数的图象和性质进行判断即可．【详解】解：∵，，∴该函数图象在第一、第三象限，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象，反比例函数的图象是双曲线，当时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当时，它的两个分支分别位于第二、四象限．5. 如图，在中，过点作交延长线于点，若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据平行四边形的对角相等可得，再利用直角三角形两锐角互余即可得解．【详解】解：∵在中，，∴，∵，∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查平行四边形的性质，直角三角形两锐角互余．掌握平行四边形的性质是解题的关键．6. 如图，在中，点D，E分别是的中点，以点A为圆心，为半径作圆弧交于点F．若，，则的长为（ ）A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5【答案】C【解析】【分析】由点D，E分别是的中点得是的中位线，由中位线定理得到，以点A为圆心，为半径作圆弧交于点F，则，即可得到的长．【详解】解：∵点D，E分别是的中点，∴是的中位线，∴，∴，∵以点A为圆心，为半径作圆弧交于点F，∴，∴，即的长为3．故选：C【点睛】此题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线的性质定理是解题的关键．7. 如图，四边形中.为的平分线，，E，F分别是的中点，则的长为（　　）A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5【答案】A【解析】【分析】根据勾股定理得到，根据平行线的性质和角平分线的定义得到，求得，如图：连接并延长交于G，根据全等三角形的性质得到，求得，再根据三角形中位线定理即可得到结论．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵为的平分线，∴，∴，∴，如图：连接并延长交于G∵∴，∵F是的中点，∴，∵，∴，∴，∴，∵E是BD的中点，∴．故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，根据题意正确的作出辅助线是解题的关键．8. 如图，已知，为反比例函数图像上的两点，动点在x轴正半轴上运动，当线段与线段之差达到最大时，点P的坐标是（　　）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】当三点一线时，线段与线段之差达到最大，确定直线的解析式，与x轴的交点就是所求．【详解】∵，为反比例函数图像上的两点，∴，∴，设直线的解析式为，∴，解得，∴，当三点一线时，线段与线段之差达到最大，∴，解得，∴点P的坐标是．故选D．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的解析式，最值，熟练掌握待定系数法，清楚线段差最大值的意义是解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9. 妈妈做菜时，为了了解菜品的咸淡是否合适，取了一点品尝．妈妈的这种做法属于 _____（从“普查”和“抽样调查”中选一）．【答案】抽样调查【解析】【分析】根据普查和抽样调查的定义，显然此题属于抽样调查．【详解】解：由抽样调查的意义可知，“了解菜品的咸淡是否合适，取了一点品尝”属于抽样调查，故答案为：抽样调查．【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．10. 在一个不透明的盒子中，装有绿色、黑色、白色的小球共有60个，除颜色外其他完全相同，一同学通过多次摸球试验后发现其中摸到绿色球、黑色球的频率稳定在和，盒子中白色球的个数可能是______．【答案】18【解析】【分析】根据题意，可以得到白球的频率，然后用球的总数乘这个频率，即可估计出白球的个数．【详解】解：由题意可得，盒子中白色球的有：（个），故答案为：18．【点睛】本题考查利用频率，解答本题的关键是明确题意，计算出白球的个数．11. 已知，则______．【答案】【解析】【分析】根据，设，，代入式子化简即可．【详解】解：，设，，．故答案为：【点睛】本题考查了分式的化简，比例式的正确利用是解题关键．12. 两条宽为纸条如图交叉以角重叠在一起，则重叠部分的面积为________【答案】【解析】【分析】过点A作于F，过点C作于E，证明四边形是平行四边形，然后求出的长，即可解决问题．【详解】如图，过点A作于F，过点C作于E，由题意可得，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即重叠四边形的面积为，故答案为：．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，以及勾股定理等知识，求出的长是解题的关键．13. 方程：的根为___________．【答案】【解析】【分析】先去分母，把分式方程化整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解．【详解】解：，去分母得：，解得：，当时，，∴是原方程的增根；当时，，∴原方程的解为．故答案为：【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，并注意检验是解题的关键．14. 如图，点是矩形的对称中心，，，若反比例函数的图象经过点，交于点，则点的坐标为______．【答案】【解析】【分析】根据矩形的性质得到，，将代入，求出反比例函数的解析式，再计算时的x值即可得到点的坐标．【详解】解：∵点是矩形的对称中心，，，∴，，将代入，得，∴，当时，，解得，∴的坐标为，故答案为：．【点睛】此题考查了矩形的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，正确理解矩形的性质得到点的坐标是解题的关键．15. 如图，在中，点D，点E分别是，的中点，点F是上一点，且，若，，则的长为________．【答案】2【解析】【分析】根据三角形中线定理求出，再根据直角三角形的性质求出，再进行计算即可．【详解】解：∵点D、E分别是、的中点，是的中线，，，，在中，，点E是的中点，，，，故答案为：2．【点睛】本题考查了三角形中线定理和直角三角形的性质，熟练掌握三角形的中线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．16. 如图，以的斜边为一边，在的右侧作正方形，正方形的对角线交于点O，连接，如果，，那么______．【答案】【解析】【分析】过点O作交的延长线于点M，作于点N，易证四边形是矩形，利用已知条件再证明，因为，，所以平分；进而求出的长，根据勾股定理即可求出的长．【详解】解：如图：过点O作交的延长线于点M，作于点N，，，∴四边形是矩形，，∵正方形的对角线交于点O，，，，，在和中，，，，，，∴矩形是正方形，，，，，，，由勾股定理得：，故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，解答时作辅助线，构建全等三角形和等腰直角三角形是关键．三、解答题（本大题共11小题，共82分）17. 计算：【答案】.【解析】【分析】此题涉及的知识点是实数的运算，根据运算法则，先开方，再进行计算【详解】=+3--=【点睛】此题重点考查学生对根式的化简的理解，每个根式化成最简是解本题的关键18. 下面是一位同学化简代数式的解答过程：（1）这位同学的解答，在第_______步出现错误．（2）请你写出正确的解答过程，并求出当时，原式的值．【答案】（1）① （2），．【解析】【分析】（1）根据分式混合运算顺序和运算法则计算即可判断；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【小问1详解】解：第①步出现错误，故答案为：①；【小问2详解】解：，当时，原式．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．19. 某单位计划选购甲，乙两种物品，已知甲物品单价比乙物品单价高20元，用240元单独购买甲物品的数量是用80元单独购买乙物品数量的2倍．（1）求甲，乙两种物品的单价分别是多少元？（2）如果该单位计划购买甲，乙两种物品共80件，且总费用不超过4060元，求最多能购买甲物品多少件？【答案】（1）甲物品的单价是60元，乙物品的单价是40元 （2）43件【解析】【分析】（1）设乙物品的单价是x元，则甲物品的单价是元，利用数量＝总价÷单价，结合用240元单独购买甲物品的数量是用80元单独购买乙物品数量的2倍，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出乙物品的单价，再将其代入中，可求出甲物品的单价；（2）设购买m件甲物品，则购买件乙物品，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过4060元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．【小问1详解】设乙物品的单价是x元，则甲物品的单价是元，根据题意得：，解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意，∴．答：甲物品的单价是60元，乙物品的单价是40元．【小问2详解】设购买m件甲物品，则购买件乙物品，根据题意得：，解得：，又∵m为正整数，∴m的最大值为43．答：最多能购买甲物品43件．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．20. 月日是“世界地球日”，某校为调查学生对相关知识的了解情况，从全校学生中随机抽取名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数分布直方图和扇形统计图．（1）___________，___________，补全频数分布直方图；（2）在扇形统计图中，“”这组的扇形圆心角为___________°；（3）若成绩达到分以上为优秀，请你估计全校名学生对“世界地球日”相关知识了解情况为优秀的学生人数．【答案】（1），，补全频数分布直方图见详解图示 （2） （3）【解析】【分析】（1）条形图中，的有人，扇形图中所占比例是，由此即可求解；（2）扇形的圆心角等于该组所占比例乘以，由此即可求解；（3）先计算出达到分以上的人所占的比例，即可求解．【小问1详解】解：条形图中，的有人，扇形图中所占比例是，∴，即本次抽样的总量是人，∴，∴条形图中的有（人），条形图中的有人，∴，∴，故答案为：，；补全补全频数分布直方图如图所示，【小问2详解】解：“”的人数为人，∴所占比例为，∴所对圆心角的度数为，故答案为：．【小问3详解】解：达到分以上的人数有（人），∴所占比例为，∴全校名学生对“世界地球日”相关知识了解情况为优秀的学生人数大约为（人）．【点睛】本题主要考查统计的相关知识，理解条形图，扇形图的意义，掌握计算总量的方法，圆心角的计算方法，用样本估算总体的计算方法是解题的关键．21. 如图，在中，，点O是上的中点，将绕着点O旋转得（1）求证：四边形是菱形；（2）如果，求菱形的面积．【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可得，从而得到，即可求证；（2）过点A作于点E，先证明是等边三角形，可得，，再由勾股定理可得，再由菱形的面积公式计算，即可求解．【小问1详解】证明：∵将绕着点O旋转得，∴，∵，∴，∴四边形是菱形；【小问2详解】解：如图，过点A作于点E，∵，∴是等边三角形，∴，，∴，∴菱形的面积为．【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．22. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，．（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；（2）根据函数图象，直接写出不等式的解集；（3）若点C是点A关于x轴的对称点，连接，，求的面积．【答案】（1），图见解析 （2）或 （3）【解析】【分析】（1）根据反比例函数求点A、B的坐标，再利用待定系数法求一次函数的表达式，最后求出一次函数图象与x轴和y轴的交点，即可作出图象；（2）根据图象直接写出不等式的解集即可；（3）根据对称求出点C的坐标，再利用点A、B、C的坐标求出的高和底，即可求出面积．【小问1详解】解：∵点A、B在反比例函数的图象上，∴分别把，代入，解得：，，所以，，∵点A、B在一次函数图象上，∴分别把，代入，可得：，解得，∴一次函数的解析式是：，一次函数的图象如图所示：【小问2详解】解：，即一次函数图象在反比例函数图象的下方，∴由图象可知：或．【小问3详解】解：∵点与点C关于x轴对称，∴点，如图所示：，上的高是4，∴的面积为：．【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数、反比例函数和一次函数交点的问题，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象和性质、三角形面积公式是解题的关键．23. 如图，在中，D是边上的一点，E是的中点，过A点作的平行线交的延长线于点F，且，连接．（1）求证：；（2）如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论．【答案】（1）证明见解析 （2）四边形是矩形，证明见解析【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，求出，然后再证明三角形全等即可；（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形即可解答．【小问1详解】证明：，，是的中点，，在与中，，，，，；【小问2详解】解：四边形是矩形．理由如下：，D是的中点，，，，，∴四边形是平行四边形，又，∴四边形是矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，熟练掌握矩形的判定是解本题的关键．24. 在矩形纸片中，，．将矩形纸片折叠，使与重合．（1）求证是等腰三角形（2）求折痕的长【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质得到，再由矩形的性质得到，从而可推出，进而可求解；（2）过点G作于点E，根据轴对称的性质得到，由勾股定理即可求得的值．【小问1详解】如图，矩形纸片折叠后，设与重合，过点G作于点E，由折叠的性质得：，，，，四边形是矩形，，，， ，，，，是等腰三角形．【小问2详解】，，， ，，，设，则，由勾股定理得：，解得：，，，在中，由勾股定理得：，．【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等众多知识点，解答时根据轴对称的性质求解是关键．25. 如图1，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接．（1）试判断四边形的形状，并说明理由；（2）如图2，若，请猜想线段与的数最关系并加以证明；（3）如图1，若的面积为72，，请直接写出的长．【答案】（1）四边形是正方形，理由见解析； （2），理由见解析； （3）3．【解析】【分析】（1）根据旋转性质得到，再由题意可得，即可得四边形是正方形；（2）过点作于点， 可证明，则有，根据正方形的性质即可解决；（3）作于，设，由求得，在中，由勾股定理得，由即可求出．【小问1详解】解：四边形是正方形．理由如下：∵将绕点按顺时针方向旋转，．，∴四边形是矩形．，∴四边形是正方形．【小问2详解】解：；理由如下：如图2，过点作于点，，．∵四边形是正方形，．．． ，．．∵将绕点按顺时针方向旋转，．∵四边形是正方形，．． ；【小问3详解】解：，理由如下：作于，如图．由（2）可知，，由将绕点按顺时针方向旋转得可知，，设，则∵，即，解得，即∵四边形是正方形，在中，，∵四边形正方形，∴，．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，证明是关键．26. 定义：有一个角为直角的平行四边形是矩形． （1）如图1，在平行四边形中，，是它的两条对角线，．请用题中矩形定义证明：平行四边形是矩形；（2）如图2，在矩形中，是的中点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点．猜想线段与有何数量关系？并证明你的结论；（3）如图3，将（2）中的矩形改为平行四边形，其它条件不变，（2）中的结论是否仍然成立，请说明理由．【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 （3）（2）中的结论仍然成立，理由见解析【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，证明和全等，根据全等三角形对应角相等即可得证；（2）连接，根据点是的中点以及翻折的性质可以求出,然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（3）利用平行四边形的性质，首先得出，，进而得出，再推出,即可得出结论．【小问1详解】四边形是平行四边形，.在和中，平行四边形是矩形．【小问2详解】．理由如下：如下图，连接， ∵是的中点，∴，∵沿折叠后得到，∴，∴，∵在矩形中，∴，∴，∵在和中，，∴，∴；【小问3详解】（2）中的结论仍然成立．证明：如下图，连接， ∵是的中点，∴，∵将沿折叠后得到，∴，，∴，∴，∵矩形为平行四边形，∴，∵，，∴，∴，∴，∴；即（2）中的结论仍然成立．【点睛】此题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质及折叠的性质是解题的关键．27. 如图，四边形是菱形，点B在x的正半轴上，直线交y轴于点D轴交x轴于点B，反比例函数的图象经过点．（1）求直线的解析式（2）如图1，点P是直线上一动点，点M是x轴上一动点（点M不与点O点重合）．当最小时，求点P的坐标；（3）如图2，点N从A点出发，以每秒1个单位的速度沿折线A-C-B时停止，设点N的运动时间为t秒，的面积为S，求S与t的函数关系式．【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质，先求出点A、点B的坐标，然后利用待定系数法，即可求出解析式；（2）由菱形的性质，得到，即当有最小值时，有最小值，则当时，有最小值，然后求出点C的坐标，再求出点P的坐标即可；（3）先求出和的长度，然后分两种情况进行分析：当点N在线段上运动时，即时；当点N在线段上运动时，即时；分别求出解析式即可．【小问1详解】∵反比例函数的图象经过点，∴，即，∴点A为，∴，∵四边形是菱形，∴，∴点B的坐标为：；设直线为，∴，解得，∴直线的解析式；【小问2详解】连接、，与相交于点P，则，即当有最小值时，有最小值，如图∵四边形是菱形，∴垂直平分，∴点C是点O关于的对称点，∴，∴，∴当有最小值时，有最小值，即当时，有最小值，∵点C是点A向右平移5个单位得到，∴点C的坐标为：，把代入，则，∴点P的坐标为：；【小问3详解】如图，在函数中，令，，∴点D为，∵，，，∴，∴，，∴；当点N在线段AC上运动时，即时，；当点N在线段CB上运动时，即时，；∴S与t的函数关系式为：【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的图像和性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，以及最短路径问题，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的分析点的运动情况进行解题．解：原式 ① ② ③