山东省济南市高新区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题（解析版）

这是一份山东省济南市高新区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题（解析版），共23页。试卷主要包含了 下列图形是中心对称图形的是， 在中，，，则的度数是， 计算等内容，欢迎下载使用。
本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷共2页，满分为40分；第Ⅱ卷共4页，满分为110分．本试题共6页，满分为150分．考试时间为120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的考点、姓名、准考证号、座号填写在答题卡上和试卷规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器．
第I卷（选择题 共48分）
注意事项：第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 下列图形是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如果把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义分析判断即可．
【详解】解：A.不是中心对称图形，不符合题意；
B. 不是中心对称图形，不符合题意；
C. 不是中心对称图形，不符合题意；
D. 是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的识别，理解并掌握中心对称图形的定义是解题关键．
2. 下列各等式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C更多优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 【解析】
【分析】因式分解就是把一个多项式转化成几个整式积的形式，根据此定义即可解答．
【详解】解：A、从左到右的变形是整式的乘法，故本选项不符合题意；
B、不多项式，故本选项不符合题意；
C、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项符合题意；
D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积．
3. 有一个数不小于a，这个数在数轴上表示，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设这个数为x，由这个数不小于a可得，把它在数轴上表示出来即可求解．
【详解】解：设这个数为x，由题意得：，
把在数轴上表示为：
故选：D．
【点睛】本题考查了列不等式，在数轴上表示解集，根据不等关系列出不等式，并根据数轴上表示解集的方法表示出来是解题的关键．
4. 如图，在一次实践活动课上，小明为了测量池塘A，B两点间的距离，他先在池塘的一侧选定一点O，然后取线段，的中点，，测量出，于是可以计算出池塘A，B两点间的距离是​（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理求解即可．
【详解】解：由题意知，点、分别是、的中点，
是的中位线，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，熟记三角形中位线定理是解题的关键．
5. 在中，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】在直角三角形中，两个锐角互余，由此即可求解．
【详解】解：在中，，
，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形两锐角互余．
6. 计算：（ ）
A. aB. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式的约分进行计算即可求解．
【详解】解：，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质和约分是解题的关键．
7. 菱形的对角线长分别为6和8，它的面积为（ ）
A. 5B. 20C. 24D. 48
【答案】C
【解析】
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，计算即可．
【详解】解：菱形的面积为：；
故选C．
【点睛】本题考查求菱形的面积．熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半，是解题的关键．
8. 已知方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】根据根的判别式和已知得出且，求出解集即可．
【详解】方程有两个实数根，则，且，
即，
解得：且，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能根据根的判别式得出关于k的不等式是解此题的关键．
9. 若干辆载重为的卡车来运载货物，若每辆卡车只装，则剩下货物；若每辆卡车装5t，则最后一辆汽车不满也不空，问：可能有（ ）辆汽车．
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】设有x辆汽车，根据题意列不等式组解题，取符合题意的整数即可．
【详解】设有x辆汽车，则
解得，
∵x为正数
∴x为9或10，
故选D．
【点睛】本题考查不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解题的关键．
10. 如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一个动点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF，有下列5个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤EF的最小值等于．其中正确结论的个数是（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】C
【解析】
【分析】延长FP交AB于点N，延长AP交EF于点M，只需要证明△ANP≌△FPE得到AP=EF，∠PFE=∠BAP即可判断①④；根据三角形的内角和定理即可判断②；根据P的任意性可以判断③；根据AP=EF，当AP最小时，EF有最小值，即可判断⑤；
【详解】解：延长FP交AB于点N，延长AP交EF于点M．
∵四边形ABCD是正方形．
∴∠ABP=∠CBD，∠ABC=90°，AB=BC，
又∵NP⊥AB，PE⊥BC，
∴∠PNB=∠NBE=∠PEB=90°，PN=PE，
∴四边形BNPE是正方形，∠ANP=∠EPF=90°，四边形BCFN是矩形，
∴NP=EP=BE，BC=NF，
∴AN=PF，
在△ANP与△FPE中，
，
∴△ANP≌△FPE（SAS），
∴AP=EF，∠PFE=∠BAP（故①④正确）；
在△APN与△FPM中，∠APN=∠FPM，∠NAP=∠PFM，
∴∠PMF=∠ANP=90°，
∴AP⊥EF，（故②正确）；
∵P是BD上任意一点，因而△APD是等腰三角形不一定成立，（故③错误）；
∵AP=EF，
∴当AP⊥BD时，AP有最小值即EF有最小值，
∵AB=AD，AP⊥BD，
∴此时P为BD的中点，
又∵∠BAD=90°，
∴，即EF的最小值为（故⑤正确）
故正确的是：①②④⑤．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质，正确证明△ANP≌△FPE，以及理解P的任意性是解决本题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
注意事项：
1.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
2.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
二、填空题:（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
11. 分解因式：__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据提公因式法分解因式即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法，易错点是提取公因式后要保留1．
12. 点向右平移2个单位长度得到，则坐标为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据点向右平移，横坐标加上平移单位长度即可．
【详解】因为点 向右平移个单位长度

所以点的坐标是
【点睛】本题考查了坐标与图形的变化——平移，熟记规律：横坐标右加左减是本题解题的关键．
13. 如图，中，于D，若，则______．
【答案】4
【解析】
【分析】先在中利用角所对的直角边等于斜边的一半得到，然后在利用同样方法求．
【详解】解：在中，
，，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了含度角的直角三角形：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．
14. 已知方程，则__．
【答案】
【解析】
【分析】根据解分式方程的步骤求解即可，注意要检验．
【详解】解：，
，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
故答案为：．
【点睛】本题考查解分式方程，正确求解是解题的关键，注意要检验．
15. 小刚开学后，第一次测试数学得了70分，语文得了84分，则英语至少得 _______分，才能使三科平均分不低于80分．
【答案】86
【解析】
【分析】设英语得分，根据题意可列一元一次不等式并求解即可．
【详解】解：设英语得分，根据题意，
可得 ，
解得 ，
所以，英语至少得86分，才能使三科平均分不低于80分．
故答案为：86．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用，理解题意，弄清熟练关系是解题关键．
16. 如图，在中，点E，F分别是，边的中点，延长至点，使，以，为边向外构造，连接交于点，连接．若，，则的长为___．
【答案】
【解析】
【分析】连接、，先证明四边形，是平行四边形，进而得到，再证明是等边三角形，进一步证明，得到，则，，即可由勾股定理得到．
【详解】解：如图所示，连接、，
四边形是平行四边形，
，，
点，分别是，边的中点，
，
四边形，是平行四边形，
，，四边形是平行四边形，
，
，
，
是等边三角形，
，，
、、三点共线，
，
，
在和中
，
，
，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定、等边三角形的性质于判定、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识点，灵活应用所学知识成为解答本题的关键．
三、解答题:（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 解方程：
【答案】，
【解析】
【分析】利用配方法求解即可．
【详解】∵，
∴，
则，
即，
∴，
∴，
即，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，选择恰当的方法是解题的关键．
18. 解不等式组，并写出它的所有正整数解．
【答案】
【解析】
【分析】根据解一元一次不等式的步骤即可解答．
【详解】解： ，
由①得：，
由②得：，
∴原不等式的解集为；
∴原不等式所有正整数解为：；
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
19. 如图，平行四边形中，点E，F在对角线上，且．求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】由平行四边形，可知，则，证明，则，，进而可证．
【详解】证明：∵平行四边形，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
20. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，均在格点上．

（1）画出将向左平移个单位长度得到的；
（2）画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）见解析，
【解析】
【分析】（1）根据平移的性质找到的对应点，顺次连接即可求解；
（2）根据旋转的性质，找到的对应点，然后顺次连接，即可求解，根据坐标系写出的坐标，即可．
【小问1详解】
解：如图所示，
【小问2详解】
解：如图所示，
【点睛】本题考查了平移作图，旋转作图，写出坐标系中点的坐标，熟练掌握平移与旋转的性质是解题的关键．
21. 如图，是的角平分线，点D在上，且．
（1）求证：；
（2）若，，求大小．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，证明，即可得出；
（2），根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出即可．
【小问1详解】
证明：∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
22. 如图，在中，，D是中点，过点A作，且，连接．
（1）求证：四边形是矩形：
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】（1）由，D是的中点，得到，再证明四边形是平行四边形，即可得出结论；
（2）根据等腰三角形性质，由，得，根据勾股定理求出，再根据矩形性质求出的长．
【小问1详解】
证明：，D为的中点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
【小问2详解】
解：，
，
为的中点，，
，
，
四边形是矩形，
，
的长是3．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形性质、勾股定理等知识，熟记矩形性质与判定及等腰三角形性质是解题关键．
23. 随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注，体育用品需求增加，某商店决定购进A、B两种羽毛球拍进行销售，已知每副A种球拍的进价比每副B种球拍贵20元，用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同．
（1）求A、B两种羽毛球拍每副的进价；
（2）若该商店决定购进这两种羽毛球拍共100副，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，那么该商店最多可购进A种羽毛球拍多少副？
【答案】（1）A种羽毛球拍每副的进价为70元，B种羽毛球拍每副的进价为50元；
（2）该商店最多购进A种羽毛球拍45副．
【解析】
【分析】（1）设A种羽毛球拍每副的进价为x元，根据用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同，列分式方程，求解即可；
（2）设该商店购进A种羽毛球拍m副，根据购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，列一元一次不等式，求解即可．
【小问1详解】
解：设A种羽毛球拍每副的进价为x元，则B种羽毛球拍每副的进价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原分式方程的根，且符合题意，（元），
答：A种羽毛球拍每副的进价为70元，B种羽毛球拍每副的进价为50元；
【小问2详解】
设该商店购进A种羽毛球拍m副，则购进B种羽毛球拍副，
根据题意，得，
解得，
答：该商店最多购进A种羽毛球拍45副．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意并根据题意建立相应的关系式是解题的关键．
24. 定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“慧泉数”．将一个“慧泉数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与的商记为．
例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数，新两位数与原两位数的和为，和与的商为，所以．
根据以上定义，回答下列问题：
（1）填空：下列两位数：，，中，“慧泉数”为________；
（2）计算：
①；②；
（3）如果一个“慧泉数”的十位数字是，个位数字是，另一个“慧泉数”的十位数字是，个位数字是，且满足，求．
【答案】（1）51 （2）①；②
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据“慧泉数”的定义分析即可；
（2）根据的定义求解即可；
（3）根据（2）中②的结论可写出与的表达式，代入解不等式，结合“慧泉数”个位数字与十位数字的特点可得的值．
【小问1详解】
解：的个位数字与十位数字不同，且都不为，为“慧泉数”．
【小问2详解】
解：，．
【小问3详解】
解：，均为慧泉数，
，解得或或．
由，得的值等于的个位数字与十位数字之和，
，，
，
，解得．
或．
【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式，充分理解新定义的概念是解题的关键．
25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点A、B,是的角平分线，交直线于点C．

（1）求点C的坐标；
（2）如图2，是的角平分线，过点B作的垂线交于点D，交x轴于点E求直线的解析式；
（3）在x轴上寻找点F使得为等腰三角形，请直接写出点F的坐标．
【答案】（1）点C坐标为
（2）直线的解析式为
（3）或或或
【解析】
【分析】（1）过点C作于点M，设点C坐标为，根据题意计算得，则，，进行计算即可得；
（2）根据是的角平分线得，根据于点D得，利用可证明，则，即可求出点A和点B的坐标，根据勾股定理可计算出的长度，运用勾股定理可计算出点E坐标，设直线的解析式为，将点和代入，进行计算即可得；
（3）设点F的坐标为，根据，，得，，分情况讨论：①，②，③，进行计算即可得．
【小问1详解】
解：过点C作于点M，如图所示：

根据题意，可设点C坐标为，
∴，，
∵，是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得m，
∴点C坐标为；
【小问2详解】
解：∵是的角平分线，
∴，
∵于点D，
∴，
在和中，
∴，
∴，
当时，，
∴点，
则，
当时，，
∴点，
∴，
在中，根据勾股定理，得，
∴，
∴点E坐标为，
设直线的解析式为，将点和代入，得
，
解得
∴直线的解析式为；
【小问3详解】
解：设点F的坐标为，
∵，，，
∴，，
为等腰三角形，分情况讨论：
①，
∴，
，
，
，
，
或，
∴点F的坐标为或；
②，
∴，
，
，
，
或（舍），
∴点F的坐标为；
③，
∴，
，
，
，
，
∴点F的坐标为；
综上，满足条件的点F坐标为或或或．
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，解题的关键是掌握待定系数法，角平分线的定义，勾股定理，等腰三角形的性质，本题综合性较强，注意等腰三角形分情况讨论．
26.
（1）【探究发现】如图1，在四边形中，对角线，垂足是O，则图中出现4个直角三角形，在中，，则有，据此探索与的值是否相等，并说明理由．
（2）【拓展迁移】如图2，以三角形的边为边向外作正方形和正方形，求证：．
（3）如图3，在（2）小题条件不变的情况下，连接GE，若，求的长．
【答案】（1）相等，证明见解析；
（2）见解析； （3）
【解析】
【分析】（1）根据，利用勾股定理分别求出即可证明结论；
（2）利用正方形的性质证明，可得，根据即可证明；
（3）利用勾股定理分别求出，然后利用（1）中结论求解即可．
【小问1详解】
证明：如图1，
∵于点O，
∴，
∴，
∴，，
∴；
【小问2详解】
解：如图2，交于点M，交于点N，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图3，连接，
由（2）得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是关键．