2023-2024学年北京师大昌平附中高一（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京师大昌平附中高一（上）期中数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若集合A={0,1,2,4}，B={1,2,3}，则A∩B=( )
A. {0,1,2,3,4}B. {0,4}C. {1,2}D. {3}
2.命题“∀x>0，x+5x≥2 5”的否定是( )
A. ∀x>0，x+5x<2 5B. ∃x0>0，x0+5x0<2 5
C. ∃x0≤0，x0+5x0<2 5D. ∀x≤0，x+5x<2 5
3.如果aA. 1a<1bB. ab4.不等式1−2xx>0的解集为( )
A. {x|0C. {x|x>12或x<0}D. {x|x<0或05.函数f(x)=4x2−kx−8在[5,+∞)上单调递增，则实数k的取值范围是( )
A. (−∞,40]B. (−∞,40)C. [40,+∞)D. (40,+∞)
6.下列四个选项中，可以是函数f(x)=x2−1|x|的图象的是．( )
A. B.
C. D.
7.定义在R上的函数f(x)是奇函数，且f(x)在(0,+∞)是减函数，f(3)=0，则不等式f(x)>0的解集为( )
A. (−∞,−3)∪(0,3)B. (−3,0)∪(3,+∞)
C. (−3,0)∪(0,3)D. (−∞,−3)∪(3,+∞)
8.根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)=c x,xA. 75，25B. 75，16C. 60，25D. 60，16
9.“函数f(x)在区间[1,2]上不是增函数”的一个充要条件是( )
A. 存在a∈(1,2)满足f(a)≤f(1)
B. 存在a∈(1,2)满足f(a)≥f(2)
C. 存在a，b∈[1,2]且aD. 存在a，b∈[1,2]且a10.已知函数f(x)=2mx2−2(4−m)x+1，g(x)=mx，若对于任一实数x，f(x)与g(x)至少有一个为正数，则实数m的取值范围是( )
A. (0,2)B. (0,8)C. (2,8)D. (−∞,0)
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.函数f(x)= 4−2x的定义域是______.(要求用区间表示)
12.若函数f(2x+1)=x2−2x，则f(3)= ；f(x)= ．
13.函数f(x)=x+2x−1(x>1)的最小值是 (1) ；取到最小值时，x= (2) ．
14.已知函数f(x)的定义域为{1,2,3,4}，且自变量x与函数值的关系对应如表：
(1)f[f(1)]= ______ ；
(2)不等式f(x)≥2的解集为______ ．
15.对于正整数k，设函数fk(x)=[kx]−k[x]，其中[a]表示不超过a的最大整数．
(1)f2(23)= ______ ；
(2)设函数g(x)=f2(x)+f4(x)，则g(x)的值域所含元素的个数是______ ．
三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
设集合A={x||x−1|<2}，B={x|x2+2x−3>0}．
(1)求集合A∩B；
(2)若不等式ax2+2x+b>0的解集为A∪B，求实数a、b的值．
17.(本小题10分)
函数f(x)=x+mx的图象过点P(1,5)．
(1)求实数m的值，并判断函数的奇偶性；
(2)利用单调性定义证明f(x)在区间[2,+∞)上是增函数；
(3)直接写出函数f(x)的单调递减区间．
18.(本小题10分)
二次函数f(x)=ax2+bx+c，且f(0)=2，f(x+1)−f(x)=2x+1．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若关于x的方程f(x)−m=0在[−1,2]上有解，求实数m的取值范围；
(3)当x∈[t,t+2](t∈R)时，求函数f(x)的最小值g(t)的解析式．
19.(本小题10分)
对于函数y=f(x)，x∈D，若有常数M，使得∀x1∈D，均存在唯一的x2∈D满足f(x1)+f(x2)2=M，则称M为函数y=f(x)的“均值”．
(1)判断1是否为函数f(x)=2x+1，−1≤x≤1的“均值”，并说明理由；
(2)若函数f(x)=ax2−2x(1(3)若函数f(x)是单调函数，且其值域为区间I，试探究函数f(x)的“均值”情况(是否存在、个数等)与区间I之间的关系，写出结论．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵A={0,1,2,4}，B={1,2,3}，
∴A∩B={0,1,2,4}∩{1,2,3}={1,2}．
故选：C．
直接利用交集的运算得答案．
本题考查交集及其运算，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：“∀x>0，x+5x≥2 5”的否定是：∃x0>0，x0+5x0<2 5．
故选：B．
任意改存在，将结论取反，即可求解．
本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：选项A，由a选项B，因为ab2，故B错误；
选项C，由a−b>0，则(−a)2>(−b)2，即a2>b2，故C错误；
选项D，由aab>0，则a2>−ab成立，故D正确．
故选：D．
根据不等式的基本性质即可判断各选项．
本题考查不等式的基本性质，属基础题．
4.【答案】A
【解析】解：不等式1−2xx>0，即x(2x−1)<0，
求得0故选：A．
由题意，把分式不等式等价转化为一元二次不等式，从而求出它的解集．
本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：根据题意，二次函数f(x)=4x2−kx−8的图象开口向上，对称轴为x=k8，
∵f(x)在[5,+∞)上单调递增，
∴5≥k8，即k≤40，
∴实数k的取值范围是(−∞,40]．
故选：A．
求出二次函数的对称轴可知5≥k8，从而即可求出实数k的取值范围．
本题考查二次函数的性质与图象，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了函数图象的识别，关键掌握函数的奇偶性和单调性，属于基础题．
先判断函数为偶函数，再判断函数在每个区间的单调性，即可求出．
【解答】
解：函数f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
∵f(−x)=(−x)2−1|−x|=x2−1|x|=f(x)，
∴函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，
当x>0时，f(x)=x2−1x，函数为增函数．
故选：B．
7.【答案】A
【解析】解：因为定义在R上的函数y=f(x)是奇函数，且f(x)在(0,+∞)是减函数，f(3)=0，所以f(0)=0，
f(x)在(−∞,0)为减函数，f(−3)=f(3)=0，
当x=0时，显然f(x)>0不成立；
当x<0时，由f(x)>0得f(x)>f(−3)，所以x<−3；
当x>0时，由f(x)>0得f(x)>f(3)，所以0综上所述，不等式f(x)>0的解集为(−∞,−3)∪(0,3)．
故选：A．
分x=0，x<0，x>0三种情况，根据奇函数和增函数的性质可解得答案．
本题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：由题意可得：f(A)=c A=15，
所以c=15 A
而f(4)=c 4=30，可得出15 A2=30
故 A=4，可得A=16
从而c=15 A=60
故选：D．
首先，x=A的函数值可由表达式直接得出，再根据x=4与x=A的函数值不相等，说明求f(4)要用x分段函数是函数的一种常见类型，解决的关键是寻找不同自变量所对应的范围，在相应区间内运用表达式加以解决．
9.【答案】D
【解析】解：“函数f(x)在区间[1,2]上不是增函数”的一个充要条件是：存在a，b∈[1,2]且a故选：D．
利用函数的单调性、充要条件的判定方法即可得出．
本题考查了函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10.【答案】B
【解析】解：当m≤0时，
当x接近+∞时，函数f(x)=2mx2−2(4−m)x+1与g(x)=mx均为负值，
显然不成立
当x=0时，因f(0)=1>0
当m>0时，
若−b2a=4−m2m≥0，即0若−b2a=4−m2m<0，时只要△=4(4−m)2−8m=4(m−8)(m−2)<0即可，即4则0故选B．
当m≤0时，显然不成立；当m>0时，因为f(0)=1>0，所以仅对对称轴进行讨论即可．
本题主要考查对一元二次函数图象的理解．对于一元二次不等式，一定要注意其开口方向、对称轴和判别式．
11.【答案】(−∞,2]
【解析】解：要使函数有意义，则需4−2x≥0，
解得：x≤2，
即函数的定义域为：(−∞,2]，
故答案为：(−∞,2]．
由一元一次不等式的解法得：要使函数有意义，则需4−2x≥0，解得：x≤2，得解．
本题考查了函数定义域的求法及一元一次不等式的解法，属简单题．
12.【答案】−1 ；；；x24−3x2+54
【解析】【分析】
本题考查函数解析式的定义及求法，换元求函数解析式的方法，以及已知函数求值的方法．
对于函数f(2x+1)=x2−2x，取x=1即可求出f(3)=−1；可令2x+1=t，求出x=t−12，从而可求出f(t)=t24−32t+54，这样t换成x即可求出f(x)的解析式．
【解答】
解：对于f(2x+1)=x2−2x，取x=1得，f(3)=−1；
设2x+1=t，则x=t−12；
∴f(t)=(t−12)2−(t−1)=t24−32t+54；
∴f(x)=x24−32x+54．
故答案为：−1；x24−32x+54．
13.【答案】2 2+1；1+ 2
【解析】解：∵x>1，
∴x−1>0，
由基本不等式可得y=x+2x−1=x−1+2x−1+1≥2 (x−1)⋅2x−1+1=2 2+1，
当且仅当x−1=2x−1即x=1+ 2时，函数取得最小值2 2+1．
故答案为：2 2+1；1+ 2．
由已知可知x−1>0，由y=x+2x−1=x−1+2x−1+1，结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题．
14.【答案】1 {1,2,4}
【解析】解：(1)x=1时，f(1)=3，
故f[f(1)]=f(3)=1，
(2)若f(x)≥2，则x=1，2，4，
故不等式的解集是{1,2,4}，
故答案为：1，{1,2,4}．
根据x，f(x)的对应关系表(1)计算f(1)，从而求出f[f(1)]的值即可；(2)求出不等式的解集．
本题考查了函数求值问题，考查解不等式问题，是一道基础题．
15.【答案】1 4
【解析】解：因为[a]表示不超过a的最大整数，
所以[23]=0，[43]=1，
(1)对于正整数k，f2(23)=[2×23]−2[23]=1−0=1．
(2)函数g(x)=f2(x)+f4(x)=[2x]−2[x]+[4x]−4[x]=[2x]+[4x]−6[x]，
所以g(x+1)=[2(x+1)]+[4(x+1)]−6[x+1]=2+[2x]+4+[4x]−6−6[x]=[2x]+[4x]−6[x]=g(x)，
所以g(x)的周期为1．
若x∈[0,14)，则g(x)=0+0−0=0，
若x∈[14,12)，则g(x)=0+1−0=1．
若x∈[12,34)，则g(x)=1+2−0=3．
若x∈[34,1)，则g(x)=1+3−0=4．
因此函数g(x)的值域为{0,1,3,4}，
集合所含元素的个数是4．
故答案为：(1)1；(2)4．
(1)结合已知定义可得，f2(23)=f[2×23]−2[23]，可求；
(2)先求出g(x)的表达式，进而可求g(x)的周期，结合周期及已知定义即可求解．
本题以新定义为载体，主要考出来函数值域的求解，属于中档题．
16.【答案】解：(1)A={x||x−1|<2}={x|−1B={x|x2+2x−3>0}={x|x>1或x<−3}，
故A∩B={x|1(2)A∪B={x|x>−1或x<−3}，
不等式ax2+2x+b>0的解集为A∪B，
则− 2a=−1−3ba=(−1)×(−3)，解得a=12，b=32．
【解析】(1)先求出集合A，B，再结合交集的定义，即可求解；
(2)结合并集的定义，以及韦达定理，即可求解．
本题主要考查一元二次不等式及其应用，属于基础题．
17.【答案】解：(1)因为函数f(x)=x+mx的图象过点P(1,5)，
可得5=1+m，解得m=4，
所以f(x)=x+4x，定义域为{x|x≠0),
在定义域内的任意x，则f(−x)=−x−4x=−(x+4x)=−f(x)，
所以函数f(x)为奇函数；
(2)证明：在区间[2,+∞)任意取x1，x2，且x1则f(x1)−f(x2)=x1+4x1−(x2+4x2)=x1−x2+(4x1−4x2)=(x1−x2)⋅x1x2−4x1x2，
因为x2>x1≥2，
可得x1−x2<0，x1x2>4，
所以f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)即函数f(x)在区间[2,+∞)上是增函数；
(3)令x=4x，解得x=±2，
由(2)及对勾函数的性质可得函数的单调递减区间为[−2,0)和(0,2]．
【解析】(1)将点P的坐标代入函数的解析式中，可得m的值，求出函数的定义域及f(−x)的解析式，可判断出函数f(x)为奇函数；
(2)用定义法可证得函数在(2,+∞)的单调性；
(3)由对勾函数的性质可得函数的单调递减区间．
本题考查函数奇偶性的判断，涉及函数的单调性的判断和证明，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由f(0)=2，可得c=2，
因为f(x+1)−f(x)=2x+1，
所以a(x+1)2+b(x+1)+2−(ax2+bx+2)=2x+1，
整理可得：2ax+a+b=2x+1，
可得2a=2a+b=1，解得a=1，b=0，
所以f(x)=x2+2；
(2)f(x)−m=0，可得f(x)=m，
即x2+2=m，在[−1,2]上有解，
因为x2∈[0,4]，所以x2+2∈[2,6]，
可得m∈[2,6]；
(3)x∈[t,t+2]，
因为函数f(x)=x2+2，开口向上，对称轴方程为x=0，
(i)当t≥0时，则函数f(x)在[t,t+2]单调递增，所以g(t)=f(x)min=f(t)=t2+2；
(ii)当t+2≤0，即t≤−2时，则函数f(x)在[t,t+2]单调递减，所以g(t)=f(x)min=f(t+2)=(t+2)2+2；
(iii)当−2综上所述：g(t)=t2+2,t≥02,−2【解析】(1)由题意及待定系数法可得a，b，c的值，即求出函数的解析式；
(2)由x的范围，可得x2+2的范围，进而求出m的范围；
(3)分类讨论函数在[t,t+2]上的单调性，可得g(t)的解析式．
本题考查二次函数的解析式的求法及分类讨论的思想求函数的最小值，属于中档题．
19.【答案】解：(1)对任意的x1∈[−1,1]有−x1∈[−1,1]，
当且仅当x2=−x1时，有f(x1)+f(x2)2=x1+x2+1=1，
故存在唯一x2∈[−1,1]，满足f(x1)+f′(x2)2=1，
所以1是函数f(x)=2x+1(−1≤x≤1)的“均值”．
(2)当a=0时，f(x)=−2x(1当a≠0时，由f(x)=ax2−2x(1从而有f(x)=ax2−2x(1故有1a≤1或1a≥2，解得a≥1或a<0或)综上，a≤12或a≥1，即a的取值范围是(−∞,12]∪[1,+∞)．
(3)①当I=(a,b)或[a,b]时，函数f(x)存在唯一的“均值”，这时函数f(x)的“均值”为a+b2；
②当I为(−∞,+∞)时，函数f(x)存在无数多个“均值”，这时任意实数均为函数f(x)的“均值”；
③当I=(a,+∞)或(−∞,a)或[a,+∞)或(−∞,a]或[a,b)或(a,b]时，函数f(x)不存在“均值”．
【解析】(1)根据均值的定义，要判断1是函数f(x)=2x+1(−1≤x≤1)的“均值”，即要验证f(x1)+f(x2)2=x1+x2+1=1；
(2)函数f(x)=ax2−2x(1(3)根据(1)，(2)的结论对于当I=(a,b)或[a,b]时，函数f(x)存在唯一的“均值”；当I为(−∞,+∞)时，函数f(x)存在无数多个“均值”，当为半开半闭区间时，函数f(x)不存在均值．
本题主要考查函数与方程的综合，考查运算求解能力，属于难题．x
1
2
3
4
f(x)
3
2
1
2