甘肃省白银市2024届九年级上学期期中学习评价数学试卷(含解析)

这是一份甘肃省白银市2024届九年级上学期期中学习评价数学试卷(含解析)，共16页。试卷主要包含了 已知矩形的对角线，则， 一元二次方程的根的情况是等内容，欢迎下载使用。

满分：120分
一．选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共36分）
1. 若是常数，下列方程中一定是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C D.
答案：C
解析：A、，时，即时，原方程为：，是一元一次方程，故本选项错误；
B、，时，即时，原方程为：，是一元一次方程，故本选项错误；
C、，符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
D、，时，即时，原方程为：，是一元一次方程，故本选项错误．
故选：C．
2. 已知矩形的对角线，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：解：四边形是矩形，且对角线，
，
故选D．
3. 将一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：解：∵，
∴，
∴，
故选D．
4. 具有四条边都相等的性质的四边形是（ ）
A. 任意四边形B. 平行四边形C. 矩形D. 菱形
答案：D
解析：解：具有四条边都相等的性质的四边形是菱形，
故选：D．
5. 某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如下表格．则该结果发生的概率约为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：解：由表格数据，可知某一结果发生的概率约为，
∵，，，，
∴与最接近的是，
∴该结果发生的概率约为．
故选：B
6. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C 没有实数根D. 只有一个实数根
答案：A
解析：解：依题意，因为一元二次方程，
所以，
∴方程有两个不相等实数根，
故选：A．
7. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=cm，则AB边上的中线为（ ）
A. 1cmB. 2cmC. 1.5cmD. cm
答案：D
解析：解：如图，∵在Rt△ABC中，AC=cm，∠B=30°，
∴AB=2AC=2cm，
∴AB边上的中线CD=AB=cm．
故选：D．
8. 若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是（ ）
A. 2B. 1C. 0D.
答案：C
解析：解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，即，
解得：，
∴方程的另一个根是0，
故选：C．
9. 2023年12月13日，是我国第十个南京大屠杀死难者国家公祭日．某地从《南京！南京！》《东京审判》《屠城血证》三部影片中随机选取两部进行展播，则恰好展播《南京！南京！》《东京审判》的概率为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：解：将《南京！南京！》，《东京审判》，《屠城血证》三部影片分别标记为，，，
从中随机选取两部的可能结果有：，，，共3种可能，
则恰好展播《南京！南京！》《东京审判》的概率，即选取的概率为，
故选：B．
10. 如图，已知的四个内角的平分线分别交于点、、、，则四边形的形状是（ ）

A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形
答案：B
解析：解：因为四边形是平行四边形，
所以，
则，，
因为、、、分别是、、、的角平分线，
所以，，
所以，
在中，，
即；
在中，，
即；
在中，，
即；
所以四边形是矩形
故选：B
11. 某超市第一季度中，1月的营业额为200万元，2、3月的总营业额为1000万元，如果平均每月增长率为，由题意可列方程（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：解：∵该超市一月份的营业额为200万元，且平均每月增长率为x，
∴该超市二月份的营业额为万元，三月份的营业额为万元，
又∵2、3月的总营业额为1000万元，
∴．
故选：C．
12. 如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，，F为AB上一点，，P为AC上一点，则的最小值为（ ）
A. B. 4C. D.
答案：C
解析：解：作E关于直线AC的对称点，连接，则PF+PE的最小值为的长，
过F作FG⊥CD于G，
在中，
=CD-BE-BF=4-1-2=1，GF=4，
所以．
故选：C．
二．填空题．（每题3分，共12分）
13. 方程的根为________．
答案：，
解析：解∶，
或，
，．
故答案：，．
14. 为了解某地南迁到该区域某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回，经过一段时间后观察发现，200只A种候鸟只有10只戴着识别卡，由此可估计该湿地有______只A种候鸟．
答案：
解析：解：设该湿地约有x只A种候鸟，
则，
解得．
故答案为：．
15. 如图，矩形的顶点在轴上，点的坐标为，固定边，向左“推”矩形使点落在轴的点的位置，则点的对应点的坐标是______．

答案：
解析：∵点的坐标为，
．
∵向左“推”矩形后得，
，
．
∵点在第二象限，
．
故答案为：
16. 在中，分别为边上的点，若四边形为正方形，则的长为______．
答案：或
解析：如图所示，设则
因为四边形为正方形
所以
在中，根据勾股定理可得
解得或．
故答案为：或．
三．解答题．（本大题12个小题，共72分）
17. 解方程：．
答案：
解析：解：，
∴，
∴，
即，
解得：．
18. 解方程：(x＋3)²＝2(x＋3)；
答案：
解析：解: (x＋3)²＝2(x＋3)
(x＋3)²- 2(x＋3)=0,
(x+3)(x+1)=0,
x+1=0,或x+3=0,
解得:=-1,=-3.
19. 用配方法求证：代数式的值恒为正数．
答案：见解析
解析：证明：，
原代数式的值恒为正数．
20. 已知的两边的长是关于的方程的两个实数根，当为何值时，四边形是菱形？写出解题过程．
答案：当时，四边形是菱形．
解析：解：若是菱形，
∴，
∵的长是关于的方程的两个实数根，
∴，
整理得：，
解得：．
∴当时，四边形是菱形．
21. 如图，正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于O点，作分别交AB、BC于点E、F，若AE＝4，CF＝3，则EF的长是多少？
答案：5
解析：∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OC，AB=BC，， ， ，
∵OE⊥OF，
，
，

在△BEO与△CFO中
，
，
∴BE=CF=3．
∴AB−BE=BC−CF．
即BF=AE=4．
∴在中，由勾股定理得：．
22. 已知方程的负数根也是方程的一个根，求的值．
答案：
解析：解：解方程，
可得，
∵该方程的负数根是方程的根，
∴将代入方程，
可得，
解得．
23. 已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．
答案：（1）证明见解析；（2）正整数m的值为1或2
解析：（1）证明：∵m≠0，
=m2﹣4m+4
=（m﹣2）2，
而（m﹣2）2≥0，即，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：（x﹣1）（mx﹣2）=0，
x﹣1=0或mx﹣2=0，
∴x1=1，x2=，
当m为正整数1或2时，x2为整数，
即方程的两个实数根都是整数，
∴正整数m的值为1或2．
24. 为了调动同学们学习数学的积极性，班内组织开展了“数学小先生”讲题比赛，老师将四道备讲题的题号1，2，3，4，分别写在完全相同的4张卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀．
（1）随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是________；
（2）小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率．
答案：（1）
（2）
小问1解析：
解：随机抽取一张卡片，卡片上的数字是4的概率为，
故答案为：；
小问2解析：
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的数字是2和3的结果有2种，
∴两张卡片上的数字是2和3的概率为．
25. 小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框：
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
答案：两位同学的解法都错误，正确过程见解析
解析：解：
正确解答：
移项，得，
提取公因式，得，
去括号，得，
则或，
解得，．
26. 如图，在四边形ABCD中，ABCD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连接CE．
（1）求证：四边形AECD为菱形；
（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．
答案：（1）见解析 （2）△ABC的面积为
（2）由（1）及题意易得，则有△BCE是等边三角形，然后可得△ACB是直角三角形，则，进而问题可求解．
小问1解析：
证明：∵ABCD，AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠EAC，∠EAC=∠DCA，
∴∠DAC=∠DCA，
∴DA=DC，
∵AB＝2CD，E为AB中点，
∴，
∵，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵DA=DC，
∴四边形AECD是菱形；
小问2解析：
解：由（1）知：，
∵∠D＝120°，
∴，
∵E为AB中点，
∴，
∴△BCE是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
27. 2020年秋冬以来，由于全国大葱种植面积的减少与产量的减产，10月份到12月份，大葱的批发价格持续走高。10月份大葱的批发价格为5元/公斤，12月份大葱的批发价格涨到7.2元/公斤．
（1）求10月份到12月份大葱批发价格的月平均增长率；
（2）进入12月份以来，某农贸市场按照7.2元/公斤的批发价购进大葱进行销售，销售价格为10元/公斤，每天能销售大葱500公斤，为了扩大销售，增加盈利，最大限度让利于顾客，该农贸市场决定对大葱进行降价销售，根据市场调查发现，大葱的销售单价每降低0.1元，每天的销售量将增加40公斤，求当大葱的销售价格降低多少元时，该农贸市场每天销售大葱的利润为1640元？
答案：（1）10月份到12月份大葱的批发价格的月平均增长率为20%；（2）当大葱的销售价格降低0.8元时，该超市每天销售大葱的利润为1640元．
【解析】
解析：解：（1）设10月份到12月份大葱的批发价格的月平均增长率为，
根据题意，得．
解得，（不合题意，舍去）．
答：10月份到12月份大葱的批发价格的月平均增长率为20%．
（2）设大葱的销售价格降低元．
根据题意，得．
整理，得．
解得，．
因为最大限度让利于顾客，
则y=0.8
答：当大葱的销售价格降低0.8元时，该超市每天销售大葱的利润为1640元．
28. 如图，平行四边形中，，，，点，分别以，为起点，的速度沿，边运动，设点，运动的时间为秒．

（1）求边上高的长度；
（2）连接，，当为何值时，四边形为菱形；
（3）作于，于，当为何值时，四边形为正方形．
答案：（1）；
（2）当t为时，四边形为菱形；
（3）当t为或时，四边形为正方形．
【解析】
小问1解析：
解：∵四边形是平行四边形，
∴．
在中， ，
∴，
由勾股定理得，
∴；
小问2解析：
解：∵点M、N分别以A、C为起点，/秒的速度沿边运动，设点M、N运动的时间为t秒，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴当时，四边形为菱形．
∵，，
∴，
∴，
解得．
所以当t为时，四边形为菱形；
小问3解析：
解：∵于P，于Q，，
∴四边形为矩形，
∴当时，四边形为正方形．

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得或．
所以当t为或秒时，四边形为正方形．实验次数
100
500
1000
2000
4000
频率
037
0.32
0.345
0339
0.333
小敏：
两边同除以，得
，
则．
小霞：
移项，得，
提取公因式，得．
则或，
解得，．
小敏：
两边同除以，得
，
则．
（×）
小霞：
移项，得，
提取公因式，得．
则或，
解得，．
（×）